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Bipirámide pentagonal

En geometría , la bipirámide pentagonal (o bipirámide pentagonal ) es un poliedro con 10 caras triangulares. Se construye uniendo dos pirámides pentagonales a cada una de sus bases. Si las caras triangulares son equiláteras , la bipirámide pentagonal es un ejemplo de deltaedro , poliedro compuesto y sólido de Johnson .

La bipirámide pentagonal puede representarse como un grafo bien cubierto de 4 conexiones . Este poliedro puede utilizarse en los compuestos químicos como descripción de un grupo de átomos conocido como geometría molecular bipiramidal pentagonal , como solución en el problema de Thomson , así como en nanopartículas decaédricas .

Casos especiales

Como una bipirámide recta

Al igual que otras bipirámides , la bipirámide pentagonal se puede construir uniendo la base de dos pirámides pentagonales . [1] Estas pirámides cubren su base pentagonal, de modo que el poliedro resultante tiene 10 triángulos como caras, 15 aristas y 7 vértices. [2] Se dice que la bipirámide pentagonal es recta si las pirámides son simétricamente regulares y ambos vértices están en la línea que pasa por el centro de la base; de ​​lo contrario, es oblicua. [3]

Al igual que otras bipirámides rectas, la bipirámide pentagonal tiene un grupo de simetría tridimensional de grupo diedro de orden 20: la apariencia es simétrica al girar alrededor del eje de simetría que pasa por los vértices y el centro de la base verticalmente, y tiene simetría especular relativa a cualquier bisectriz de la base; también es simétrica al reflejarla a través de un plano horizontal. [4] Por lo tanto, la bipirámide pentagonal es transitiva por las caras o isoédrica. [5]

La bipirámide pentagonal es 4-conexa , lo que significa que se necesitan cuatro vértices para desconectar los vértices restantes. Es uno de los cuatro únicos poliedros simpliciales bien cubiertos 4-conexos , lo que significa que todos los conjuntos independientes máximos de sus vértices tienen el mismo tamaño. Los otros tres poliedros con esta propiedad son el octaedro regular , el disfenoide romo y un poliedro irregular con 12 vértices y 20 caras triangulares. [6]

El poliedro dual de una bipirámide pentagonal es el prisma pentagonal . En términos más generales, el poliedro dual de cada bipirámide es el prisma, y ​​viceversa. [7] El prisma pentagonal tiene 2 caras pentagonales en la base, y el resto son 5 rectangulares. [8]

Como un sólido Johnson

Bipirámide pentagonal con caras regulares, a lo largo de su red .
Modelo 3D de una bipirámide pentagonal como un sólido de Johnson

Si las pirámides son regulares, entonces todas las aristas de la bipirámide triangular tienen la misma longitud, formando las caras triángulos equiláteros . Un poliedro con solo triángulos equiláteros como caras se llama deltaedro . [9] Solo hay ocho deltaedros convexos diferentes, uno de los cuales es la bipirámide pentagonal con caras regulares. De manera más general, el poliedro convexo en el que todas las caras son regulares es el sólido de Johnson , y cada deltaedro convexo es un sólido de Johnson. La bipirámide pentagonal con las caras regulares se encuentra entre los sólidos de Johnson numerados como , el decimotercer sólido de Johnson. [10] Es un ejemplo de un poliedro compuesto , porque se construye uniendo dos pirámides pentagonales regulares. [11] [2]

La superficie de una bipirámide pentagonal es 10 veces la de todos los triángulos, y su volumen se puede determinar dividiendo la pirámide en dos y sumando sus volúmenes. En el caso de la longitud de las aristas , son: [2]

El ángulo diedro de una bipirámide pentagonal con caras regulares se puede calcular sumando el ángulo de las pirámides pentagonales: [12]

Aplicaciones

En la geometría de los compuestos químicos , la bipirámide pentagonal puede utilizarse como el conjunto de átomos que rodea a un átomo. La geometría molecular bipiramidal pentagonal describe conjuntos para los cuales este poliedro es una bipirámide pentagonal. Un ejemplo de un conjunto de estos es el heptafluoruro de yodo en fase gaseosa. [13]

El problema de Thomson se refiere a la configuración de energía mínima de partículas cargadas en una esfera. Una de ellas es una bipirámide pentagonal, una solución conocida para el caso de siete electrones, al colocar los vértices de una bipirámide pentagonal inscritos en una esfera . [14]

Las bipirámides pentagonales y formas quíntuples relacionadas se encuentran en nanopartículas decaédricas , [15] que también pueden ser de tamaño macroscópico cuando también se las denomina maclas cíclicas quíntuplas en mineralogía . [16]

Referencias

  1. ^ Rajwade, AR (2001), Poliedros convexos con condiciones de regularidad y el tercer problema de Hilbert, Textos y lecturas de matemáticas, Hindustan Book Agency, pág. 84, doi :10.1007/978-93-86279-06-4, ISBN 978-93-86279-06-4.
  2. ^ abc Berman, Martin (1971), "Poliedros convexos de caras regulares", Journal of the Franklin Institute , 291 (5): 329–352, doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8, MR  0290245.
  3. ^ Polya, G. (1954), Matemáticas y razonamiento plausible: inducción y analogía en matemáticas, Princeton University Press, pág. 138, ISBN 0-691-02509-6
  4. ^ Alexander, Daniel C.; Koeberlin, Geralyn M. (2014). Geometría elemental para estudiantes universitarios (6.ª ed.). Cengage Learning. pág. 403. ISBN 978-1-285-19569-8.
  5. ^ McLean, K. Robin (1990), "Mazmorras, dragones y dados", The Mathematical Gazette , 74 (469): 243–256, doi :10.2307/3619822, JSTOR  3619822, S2CID  195047512.
  6. ^ Finbow, Arthur S.; Hartnell, Bert L.; Nowakowski, Richard J.; Plummer, Michael D. (2010), "Sobre triangulaciones bien cubiertas. III", Discrete Applied Mathematics , 158 (8): 894–912, doi : 10.1016/j.dam.2009.08.002 , MR  2602814.
  7. ^ Montroll, John (2011), Diseño de poliedros de origami, CRC Press , pág. 5, ISBN 978-1-4398-7106-5.
  8. ^ Goldberg, Nicholas; Haylett, Christine (2019), Matemáticas de Oxford para el Caribe: Libro 1 (6.ª ed.), Oxford University Press , ISBN 978-0-19-842569-4.
  9. ^ Trigg, Charles W. (1978), "Una clase infinita de deltaedros", Mathematics Magazine , 51 (1): 55–57, doi :10.1080/0025570X.1978.11976675, JSTOR  2689647, MR  1572246.
  10. ^ Uehara, Ryuhei (2020), Introducción al origami computacional: el mundo de la nueva geometría computacional, Springer, doi : 10.1007/978-981-15-4470-5, ISBN 978-981-15-4470-5, Número de identificación del sujeto  220150682.
  11. ^ Timofeenko, AV (2009), "Poliedros convexos con caras de parquet" (PDF) , Docklady Mathematics , 80 (2): 720–723, doi :10.1134/S1064562409050238.
  12. ^ Johnson, Norman W. (1966), "Poliedros convexos con caras regulares", Revista canadiense de matemáticas , 18 : 169–200, doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 , MR  0185507, S2CID  122006114, Zbl  0132.14603.
  13. ^ Gillespie, Ronald J.; Hargittai, István (2013), El modelo VSEPR de geometría molecular, Dover Publications , pág. 152, ISBN 978-0-486-48615-4.
  14. ^ Sloane, NJA ; Hardin, RH; Duff, TDS; Conway, JH (1995), "Cúmulos de esferas duras de energía mínima", Geometría discreta y computacional , 14 (3): 237–259, doi : 10.1007/BF02570704 , MR  1344734, S2CID  26955765.
  15. ^ Marks, LD; Peng, L (2016). "Forma de nanopartículas, termodinámica y cinética". Journal of Physics: Condensed Matter . 28 (5): 053001. Bibcode :2016JPCM...28e3001M. doi :10.1088/0953-8984/28/5/053001. ISSN  0953-8984. PMID  26792459.
  16. ^ Rosa, Gustav (1831). "Ueber die Krystallformen des Goldes und des Silbers". Annalen der Physik . 99 (10): 196-204. Código bibliográfico : 1831AnP....99..196R. doi : 10.1002/andp.18310991003. ISSN  0003-3804.

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