Divisor unitario

Un cierto tipo de divisor de un número entero

En matemáticas , un número natural a es un divisor unitario (o divisor de Hall ) de un número b si a es un divisor de b y si a y son coprimos , es decir, no tienen ningún factor común excepto 1. De manera equivalente, un divisor a de b es un divisor unitario si y solo si cada factor primo de a tiene la misma multiplicidad en a que en b . ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$

El concepto de divisor unitario se origina de R. Vaidyanathaswamy (1931), ^[1] quien utilizó el término divisor de bloque .

Ejemplo

El número entero 5 es divisor unitario de 60, porque 5 y tienen solo 1 como factor común. ${\displaystyle {\frac {60}{5}}=12}$

Por el contrario, 6 es un divisor pero no un divisor unitario de 60, ya que 6 y tienen un factor común distinto de 1, es decir, 2. ${\displaystyle {\frac {60}{6}}=10}$

Suma de divisores unitarios

La función suma de divisores unitarios se denota con la letra griega minúscula sigma, de la siguiente manera: σ*( n ). La suma de las potencias k -ésimas de los divisores unitarios se denota con σ* _k ( n ):

${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=\sum _{d\,\mid \,n \atop \gcd(d,\,n/d)=1}\!\!d^{k}.}$

Es una función multiplicativa . Si los divisores unitarios propios de un número dado suman ese número, entonces ese número se llama número perfecto unitario .

Propiedades

El número 1 es un divisor unitario de todo número natural.

El número de divisores unitarios de un número n es 2 ^k , donde k es el número de factores primos distintos de n . Esto se debe a que cada entero N > 1 es el producto de potencias positivas p ^{r _p} de números primos distintos p . Por lo tanto, cada divisor unitario de N es el producto, sobre un subconjunto dado S de los divisores primos { p } de N , de las potencias primas p ^{r _p} para p ∈ S . Si hay k factores primos, entonces hay exactamente 2 ^k subconjuntos S , y la afirmación es la siguiente.

La suma de los divisores unitarios de n es impar si n es una potencia de 2 (incluido 1), y par en caso contrario.

Tanto el recuento como la suma de los divisores unitarios de n son funciones multiplicativas de n que no son completamente multiplicativas . La función generadora de Dirichlet es

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s-k)}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{*}(n)}{n^{s}}}.}$

Todo divisor de n es unitario si y sólo si n es libre de cuadrados .

El conjunto de todos los divisores unitarios de n forma un álgebra de Boole con un máximo común divisor y un mínimo común múltiplo . De manera equivalente, el conjunto de divisores unitarios de n forma un anillo de Boole, donde la adición y la multiplicación están dadas por

${\displaystyle a\oplus b={\frac {ab}{(a,b)^{2}}},\qquad a\odot b=(a,b)}$

donde denota el máximo común divisor de a y b . ^[2] ${\displaystyle (a,b)}$

Divisores unitarios impares

La suma de las k -ésimas potencias de los divisores unitarios impares es

${\displaystyle \sigma _{k}^{(o)*}(n)=\sum _{{d\,\mid \,n \atop d\equiv 1{\pmod {2}}} \atop \gcd(d,n/d)=1}\!\!d^{k}.}$

También es multiplicativo, con función generadora de Dirichlet.

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)(1-2^{k-s})}{\zeta (2s-k)(1-2^{k-2s})}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{(o)*}(n)}{n^{s}}}.}$

Divisores biunitarios

Un divisor d de n es un divisor biunitario si el máximo común divisor unitario de d y n / d es 1. Este concepto se origina en D. Suryanarayana (1972). [El número de divisores biunitarios de un entero, en The Theory of Arithmetic Functions, Lecture Notes in Mathematics 251: 273–282, Nueva York, Springer–Verlag].

El número de divisores biunitarios de n es una función multiplicativa de n con orden promedio donde ^[3] ${\displaystyle A\log x}$

${\displaystyle A=\prod _{p}\left({1-{\frac {p-1}{p^{2}(p+1)}}}\right)\ .}$

Un número perfecto biunitario es aquel que es igual a la suma de sus divisores alícuotas biunitarios. Los únicos números de este tipo son 6, 60 y 90. ^[4]

OEISsecuencias

• OEIS : A034444 es σ ^* _​​0 ( n )
• OEIS : A034448 es σ ^* _​​1 ( n ) 
• OEIS : A034676 a OEIS : A034682 son σ ^* ₂ ( n ) a σ ^* ₈ ( n ) 
• OEIS : A034444 esel número de divisores unitarios ${\displaystyle 2^{\omega }(n)}$
• OEIS : A068068 es σ ^(o)* ₀ ( n ) 
• OEIS : A192066 es σ ^(o)* ₁ ( n ) 
• OEIS : A064609 es ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sigma _{1}(i)}$
• OEIS : A306071 es ${\displaystyle A}$

Referencias

1. R. Vaidyanathaswamy (1931). "La teoría de las funciones aritméticas multiplicativas". Transactions of the American Mathematical Society . 33 (2): 579–662. doi : 10.1090/S0002-9947-1931-1501607-1 .
2. Conway, JH; Norton, SP (1979). "Luz de luna monstruosa". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 11 (3): 308–339.
3. Ivić (1985) pág. 395
4. Sandor y otros (2006) pág. 115

• Richard K. Guy (2004). Problemas sin resolver en teoría de números . Springer-Verlag . pág. 84. ISBN. 0-387-20860-7. Sección B3.
• Paulo Ribenboim (2000). Mis números, mis amigos: conferencias populares sobre teoría de números . Springer-Verlag. pág. 352. ISBN 0-387-98911-0.
• Cohen, Eckford (1959). "Una clase de sistemas de residuos (mod r) y funciones aritméticas relacionadas. I. Una generalización de la inversión de Möbius". Pacific J. Math . 9 (1): 13–23. doi : 10.2140/pjm.1959.9.13 . MR  0109806.
• Cohen, Eckford (1960). "Funciones aritméticas asociadas con los divisores unitarios de un entero". Mathematische Zeitschrift . 74 : 66–80. doi :10.1007/BF01180473. MR  0112861. S2CID  53004302.
• Cohen, Eckford (1960). "El número de divisores unitarios de un entero". American Mathematical Monthly . 67 (9): 879–880. doi :10.2307/2309455. JSTOR  2309455. MR  0122790.
• Cohen, Graeme L. (1990). "Sobre los divisores infinitarios de números enteros". Math. Comp . 54 (189): 395–411. Bibcode :1990MaCom..54..395C. doi : 10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5 . MR  0993927.
• Cohen, Graeme L. (1993). "Funciones aritméticas asociadas con divisores infinitarios de un entero". Int. J. Math. Sci . 16 (2): 373–383. doi : 10.1155/S0161171293000456 .
• Finch, Steven (2004). "Unitarismo e infinitarismo" (PDF) .
• Ivić, Aleksandar (1985). La función zeta de Riemann. La teoría de la función zeta de Riemann con aplicaciones . Una publicación de Wiley-Interscience. Nueva York, etc.: John Wiley & Sons. pág. 395. ISBN 0-471-80634-X.Zbl 0556.10026  .
• Mathar, RJ (2011). "Estudio de series de Dirichlet de funciones aritméticas multiplicativas". arXiv : 1106.4038 [math.NT].Sección 4.2
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual de teoría de números I. Dordrecht: Springer-Verlag . ISBN 1-4020-4215-9.Zbl 1151.11300  .
• Toth, L. (2009). "Sobre los análogos biunitarios de la función aritmética de Euler y la función suma-mcd". J. Int. Seq . 12 .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Divisor unitario". MathWorld .
• Mathoverflow | Anillo booleano de divisores unitarios