El punto de vista relativo de Grothendieck es una heurística aplicada en ciertas situaciones matemáticas abstractas, con un significado aproximado de tomar para consideración familias de 'objetos' que dependen explícitamente de parámetros , como el campo básico de estudio, en lugar de un solo objeto de ese tipo. Recibe su nombre en honor a Alexander Grothendieck , quien lo utilizó ampliamente para tratar aspectos fundamentales de la geometría algebraica . Fuera de ese campo, ha sido influyente particularmente en la teoría de categorías y la lógica categórica .
En la formulación habitual, el punto de vista no trata de objetos X de una categoría dada C , sino de morfismos.
donde S es un objeto fijo. Esta idea se formaliza en la idea de la categoría de objetos de C 'por encima' de S. Para pasar de una porción a otra se requiere un cambio de base ; desde un punto de vista técnico, el cambio de base se convierte en un problema importante para todo el enfoque (ver, por ejemplo, las condiciones de Beck-Chevalley).
Un cambio de base 'a lo largo' de un morfismo dado
se da típicamente por el producto de fibras , produciendo un objeto sobre T a partir de uno sobre S . La terminología de "fibra" es significativa: la heurística subyacente es que X sobre S es una familia de fibras, una para cada "punto" de S ; el producto de fibras es entonces la familia en T , que descrita por fibras es para cada punto de T la fibra en su imagen en S . Este lenguaje de teoría de conjuntos es demasiado ingenuo para ajustarse al contexto requerido, ciertamente, de la geometría algebraica. Sin embargo, se combina con el uso del lema de Yoneda para reemplazar la idea de "punto" con la de tratar un objeto, como S , como "tan bueno como" el funtor representable que establece.
El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch de 1956 aproximadamente se cita habitualmente como el momento clave para la introducción de este círculo de ideas. Los tipos más clásicos del teorema de Riemann-Roch se recuperan en el caso en que S es un único punto (es decir, el objeto final en la categoría de trabajo C ). El uso de otros S es una forma de tener versiones de teoremas "con parámetros", es decir, que permiten una variación continua, para la que la versión "congelada" reduce los parámetros a constantes .
En otras aplicaciones, esta forma de pensar se ha utilizado en la teoría de topos para aclarar el papel de la teoría de conjuntos en cuestiones fundamentales. Suponiendo que no tenemos un compromiso con una "teoría de conjuntos" (todos los topos son en cierto sentido teorías de conjuntos igualmente para alguna lógica intuicionista ), es posible enunciar todo en relación con alguna teoría de conjuntos dada que actúe como un topos base.
Este artículo utiliza terminología de la teoría de categorías .