Fracción

Razón de dos números

Un pastel al que se le ha quitado una cuarta parte (un cuarto). Los tres cuartos restantes se muestran con líneas de puntos y se etiquetan con la fracción ⁠1/4⁠

Una fracción (del latín fractus , "roto") representa una parte de un todo o, de forma más general, cualquier número de partes iguales. Cuando se dice en inglés cotidiano, una fracción describe cuántas partes de un tamaño determinado hay, por ejemplo, un medio, ocho quintos, tres cuartos. Una fracción común , vulgar o simple (ejemplos: y ) consta de un numerador entero , que se muestra encima de una línea (o antes de una barra como 1 ⁄ 2 ), y un denominador entero distinto de cero , que se muestra debajo (o después) de esa línea. Si estos números enteros son positivos, entonces el numerador representa un número de partes iguales y el denominador indica cuántas de esas partes forman una unidad o un todo. Por ejemplo, en la fracción ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {17}{3}}}$3/4⁠ , el numerador 3 indica que la fracción representa 3 partes iguales, y el denominador 4 indica que 4 partes forman un todo. La imagen de la derecha ilustra ⁠3/4⁠ de un pastel.

Las fracciones se pueden utilizar para representar proporciones y divisiones . ^[1] Por lo tanto, la fracción ⁠3/4⁠ se puede utilizar para representar la relación 3:4 (la relación de la parte con el todo) y la división 3 ÷ 4 (tres dividido por cuatro).

También podemos escribir fracciones negativas, que representan el opuesto de una fracción positiva. Por ejemplo, si ⁠1/2⁠ representa una ganancia de medio dólar, entonces − ⁠1/2⁠ representa una pérdida de medio dólar. Debido a las reglas de división de números con signo (que establecen en parte que negativo dividido por positivo es negativo), − ⁠1/2⁠ , ⁠-1/2⁠ y ⁠1/-2⁠ todos representan la misma fracción: menos la mitad. Y como un negativo dividido por un negativo produce un positivo, ⁠-1/-2⁠ representa la mitad positiva.

En matemáticas, un número racional es un número que puede representarse mediante una fracción de la formaa/b⁠ , donde a y b son números enteros y b no es cero; el conjunto de todos los números racionales se representa comúnmente con el símbolo Q o ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , que significa cociente . El término fracción y la notación ⁠a/b⁠ También se puede utilizar para expresiones matemáticas que no representan un número racional (por ejemplo ), e incluso que no representan ningún número (por ejemplo la fracción racional ). ${\displaystyle \textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{x}}}$

Vocabulario

En una fracción, el número de partes iguales que se describe es el numerador (del latín : numerātor , "contador" o "numerador"), y el tipo o variedad de las partes es el denominador (del latín : dēnōminātor , "cosa que nombra o designa"). ^{[2] [3]} Como ejemplo, la fracción ⁠8/5⁠ equivale a ocho partes, cada una de las cuales es del tipo denominado "quinto". En términos de división , el numerador corresponde al dividendo y el denominador al divisor .

De manera informal, el numerador y el denominador pueden distinguirse solo por su ubicación, pero en contextos formales suelen estar separados por una barra de fracción . La barra de fracción puede ser horizontal (como en ⁠1/3⁠ ), oblicua (como en 2/5), o diagonal (como en 4 ⁄ 9 ). ^[4] Estas marcas se conocen respectivamente como la barra horizontal; la vírgula, barra ( EE. UU .) o trazo ( Reino Unido ); y la barra de fracción, sólido, ^[5] o barra de fracción . ^{[n 1]} En tipografía , las fracciones apiladas verticalmente también se conocen como " en " o " fracciones nut ", y las diagonales como " em " o "fracciones mutton", según si una fracción con un numerador y denominador de un solo dígito ocupa la proporción de un cuadrado en estrecho , o un cuadrado em más ancho . ^[4] En la tipografía tradicional , una pieza de tipo que lleva una fracción completa (por ejemplo ,1/2) se conocía como "fracción de caso", mientras que las que representaban solo una parte de la fracción se llamaban "fracciones de pieza".

Los denominadores de las fracciones inglesas generalmente se expresan como números ordinales , en plural si el numerador no es 1. (Por ejemplo, ⁠2/5⁠ y ⁠3/5⁠ ambos se leen como un número de "quintos".) Las excepciones incluyen el denominador 2, que siempre se lee "mitad" o "mitades", el denominador 4, que puede expresarse alternativamente como "cuarto"/"cuartos" o como "cuarto"/"cuartos", y el denominador 100, que puede expresarse alternativamente como "centésima"/"centésimas" o " por ciento ".

Cuando el denominador es 1, se puede expresar en términos de "números enteros", pero es más común ignorarlo y leer el numerador como un número entero. Por ejemplo, ⁠3/1⁠ puede describirse como "tres enteros" o simplemente como "tres". Cuando el numerador es 1, puede omitirse (como en "un décimo" o "cada cuarto").

La fracción entera puede expresarse como una única composición, en cuyo caso se une con guion, o como un número de fracciones con un numerador de uno, en cuyo caso no se unen. (Por ejemplo, "dos quintos" es la fracción ⁠2/5⁠ y "dos quintos" es la misma fracción entendida como 2 instancias de ⁠1/5⁠ .) Las fracciones siempre deben ir separadas por guiones cuando se usan como adjetivos. Alternativamente, una fracción puede describirse leyéndola como el numerador "sobre" el denominador, con el denominador expresado como un número cardinal . (Por ejemplo, ⁠3/1⁠ también puede expresarse como "tres sobre uno".) El término "sobre" se usa incluso en el caso de fracciones sólidas, donde los números se colocan a la izquierda y a la derecha de una barra diagonal . (Por ejemplo, 1/2 puede leerse "la mitad", "la mitad" o "uno sobre dos".) Las fracciones con denominadores grandes que no son potencias de diez a menudo se representan de esta manera (por ejemplo, ⁠1/117⁠ como "uno sobre ciento diecisiete"), mientras que aquellos con denominadores divisibles por diez se leen típicamente en la forma ordinal normal (por ejemplo, ⁠6/1000000⁠ como "seis millonésimas", "seis millonésimas" o "seis una millonésimas").

Formas de fracciones

Fracciones simples, comunes o vulgares

Una fracción simple (también conocida como fracción común o fracción vulgar , donde vulgar significa "común" en latín) es un número racional escrito como a / b o ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ , donde a y b son ambos números enteros . ^[9] Al igual que con otras fracciones, el denominador ( b ) no puede ser cero. Algunos ejemplos incluyen ⁠1/2⁠ , − ⁠8/5⁠ , ⁠-8/5⁠ , y ⁠8/-5⁠ . El término se utilizó originalmente para distinguir este tipo de fracción de la fracción sexagesimal utilizada en astronomía. ^[10]

Las fracciones comunes pueden ser positivas o negativas, y pueden ser propias o impropias (ver más abajo). Las fracciones compuestas, las fracciones complejas, los números mixtos y los decimales (ver más abajo) no son fracciones comunes ; sin embargo, a menos que sean irracionales, pueden evaluarse como una fracción común.

• Una fracción unitaria es una fracción común con un numerador de 1 (por ejemplo, ⁠1/7⁠ ). Las fracciones unitarias también se pueden expresar utilizando exponentes negativos, como en 2 ⁻¹ , que representa 1/2, y 2 ⁻² , que representa 1/(2 ² ) o 1/4.
• Una fracción diádica es una fracción común en la que el denominador es una potencia de dos , por ejemplo :1/8⁠ = ⁠1/2 ³⁠ .

En Unicode, los caracteres fraccionarios precompuestos se encuentran en el bloque Formas numéricas .

Fracciones propias e impropias

Las fracciones comunes se pueden clasificar como propias o impropias. Cuando tanto el numerador como el denominador son positivos, la fracción se denomina propia si el numerador es menor que el denominador, e impropia en caso contrario. ^[11] El concepto de "fracción impropia" es un desarrollo tardío, y la terminología deriva del hecho de que "fracción" significa "una parte", por lo que una fracción propia debe ser menor que 1. ^[10] Esto se explicó en el libro de texto del siglo XVII The Ground of Arts . ^{[12] [13]}

En general, se dice que una fracción común es una fracción propia si el valor absoluto de la fracción es estrictamente menor que uno, es decir, si la fracción es mayor que −1 y menor que 1. ^{[14] [15]} Se dice que es una fracción impropia , o a veces fracción con exceso de peso , ^[16] si el valor absoluto de la fracción es mayor o igual a 1. Ejemplos de fracciones propias son 2/3, −3/4 y 4/9, mientras que ejemplos de fracciones impropias son 9/4, −4/3 y 3/3.

Los recíprocos y el denominador invisible

El recíproco de una fracción es otra fracción con el numerador y el denominador intercambiados. El recíproco de ⁠3/7⁠ , por ejemplo, es ⁠7/3⁠ . El producto de una fracción por su recíproco es 1, por lo tanto, el recíproco es el inverso multiplicativo de una fracción. El recíproco de una fracción propia es impropio, y el recíproco de una fracción impropia no igual a 1 (es decir, numerador y denominador no son iguales) es una fracción propia.

Cuando el numerador y el denominador de una fracción son iguales (por ejemplo, ⁠7/7) , su valor es 1, y por lo tanto la fracción es impropia. Su recíproco es idéntico y por lo tanto también igual a 1 y impropio.

Cualquier número entero se puede escribir como fracción con el número uno como denominador. Por ejemplo, 17 se puede escribir como ⁠17/1⁠ , donde 1 a veces se denomina denominador invisible . ^[17] Por lo tanto, cada fracción o número entero, excepto el cero, tiene un recíproco. Por ejemplo, el recíproco de 17 es ⁠1/17⁠ .

Proporciones

Una razón es una relación entre dos o más números que a veces se puede expresar como una fracción. Normalmente, se agrupan y comparan varios elementos en una razón, especificando numéricamente la relación entre cada grupo. Las razones se expresan como "grupo 1 a grupo 2... a grupo n ". Por ejemplo, si un lote de autos tenía 12 vehículos, de los cuales

• 2 son blancos,
• 6 son rojos y
• 4 son amarillos,

entonces la relación de coches rojos a blancos a amarillos es de 6 a 2 a 4. La relación de coches amarillos a blancos es de 4 a 2 y puede expresarse como 4:2 o 2:1.

Una proporción se convierte a menudo en una fracción cuando se expresa como una proporción del total. En el ejemplo anterior, la proporción de autos amarillos con respecto a todos los autos en el lote es 4:12 o 1:3. Podemos convertir estas proporciones en una fracción y decir que4/12⁠ de los coches o ⁠1/3⁠ de los autos en el estacionamiento son amarillos. Por lo tanto, si una persona elige al azar un auto en el estacionamiento, entonces hay una probabilidad de uno en tres de que sea amarillo.

Fracciones decimales y porcentajes

Una fracción decimal es una fracción cuyo denominador no se da explícitamente, pero se entiende que es una potencia entera de diez. Las fracciones decimales se expresan comúnmente utilizando notación decimal en la que el denominador implícito está determinado por el número de dígitos a la derecha de un separador decimal , cuya apariencia (por ejemplo, un punto, un interpunto (·), una coma) depende de la configuración regional (para ejemplos, consulte Separador decimal ). Por lo tanto, para 0,75, el numerador es 75 y el denominador implícito es 10 elevado a la segunda potencia, es decir, 100, porque hay dos dígitos a la derecha del separador decimal. En números decimales mayores que 1 (como 3,75), la parte fraccionaria del número se expresa por los dígitos a la derecha del decimal (con un valor de 0,75 en este caso). 3,75 se puede escribir como una fracción impropia, 375/100, o como un número mixto, ⁠3+75/100⁠ .

Las fracciones decimales también se pueden expresar utilizando notación científica con exponentes negativos, como6,023 × 10 ⁻⁷ , lo que representa 0,0000006023. El10 ⁻⁷ representa un denominador de10 ⁷ . Dividir por10 ⁷ mueve el punto decimal 7 lugares a la izquierda.

Las fracciones decimales con una cantidad infinita de dígitos a la derecha del separador decimal representan una serie infinita . Por ejemplo ,1/3⁠ = 0,333... representa la serie infinita 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ....

Otro tipo de fracción es el porcentaje (del latín per centum , que significa "por cien", representado por el símbolo %), en el que el denominador implícito es siempre 100. Así, 51% significa 51/100. Los porcentajes mayores que 100 o menores que cero se tratan de la misma manera, por ejemplo, 311% es igual a 311/100 y −27% es igual a −27/100.

El concepto relacionado de permille o partes por mil (ppt) tiene un denominador implícito de 1000, mientras que la notación más general de partes por , como 75 partes por millón (ppm), significa que la proporción es 75/1.000.000.

El uso de fracciones comunes o fracciones decimales suele ser una cuestión de gustos y contexto. Las fracciones comunes se utilizan con mayor frecuencia cuando el denominador es relativamente pequeño. Mediante el cálculo mental , es más fácil multiplicar 16 por 3/16 que hacer el mismo cálculo utilizando el equivalente decimal de la fracción (0,1875). Y es más preciso multiplicar 15 por 1/3, por ejemplo, que multiplicar 15 por cualquier aproximación decimal de un tercio. Los valores monetarios se expresan comúnmente como fracciones decimales con denominador 100, es decir, con dos decimales, por ejemplo $3,75. Sin embargo, como se señaló anteriormente, en la moneda británica predecimal, a los chelines y peniques a menudo se les daba la forma (pero no el significado) de una fracción, como, por ejemplo, "3/6" (léase "tres y seis") que significa 3 chelines y 6 peniques, y no tiene relación con la fracción 3/6.

Números mixtos

Un número mixto (también llamado fracción mixta o numeral mixto ) es la suma de un entero distinto de cero y una fracción propia, que se escribe convencionalmente por yuxtaposición (o concatenación ) de las dos partes, sin el uso de un signo intermedio más (+) o menos (−). Cuando la fracción se escribe horizontalmente, se agrega un espacio entre el entero y la fracción para separarlos.

Como ejemplo básico, dos pasteles enteros y tres cuartos de otro pastel podrían escribirse como pasteles o tortas, con el numeral representando los pasteles enteros y la fracción representando el pastel parcial adicional yuxtapuesto; esto es más conciso que la notación más explícita pasteles. El número mixto ⁠2 ${\displaystyle 2{\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle 2\ \,3/4}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle 2+{\tfrac {3}{4}}}$+3/4⁠ se pronuncia "dos y tres cuartos", con las partes enteras y fraccionarias conectadas por la palabra y . ^[18] La resta o negación se aplica a todo el numeral mixto, por lo que significa ${\displaystyle -2{\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle -{\bigl (}2+{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}.}$

Cualquier número mixto se puede convertir en fracción impropia aplicando las reglas de la suma de cantidades desiguales. Por ejemplo, A la inversa, una fracción impropia se puede convertir en número mixto mediante la división con resto , donde la fracción propia consiste en el resto dividido por el divisor. Por ejemplo, dado que 4 cabe en 11 dos veces, sobra 3, ${\displaystyle 2+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {8}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {11}{4}}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {11}{4}}=2+{\tfrac {3}{4}}.}$

En la escuela primaria, los maestros a menudo insisten en que cada resultado fraccionario debe expresarse como un número mixto. ^[19] Fuera de la escuela, los números mixtos se utilizan comúnmente para describir medidas, por ejemplo ⁠2+1/2⁠ horas o 5 3/16 pulgadas , y siguen siendo comunes en la vida cotidiana y en los oficios, especialmente en regiones que no utilizan el sistema métrico decimal . Sin embargo, las mediciones científicas suelen utilizar el sistema métrico, que se basa en fracciones decimales, y a partir del nivel de secundaria, la pedagogía matemática trata cada fracción de manera uniforme como un número racional , el cociente .pag/q⁠ de números enteros, dejando atrás los conceptos de “fracción impropia” y “número mixto”. ^[20] Los estudiantes universitarios con años de formación matemática a veces se confunden cuando se reencuentran con números mixtos porque están acostumbrados a la convención de que la yuxtaposición en expresiones algebraicas significa multiplicación. ^[21]

Nociones históricas

Fracción egipcia

Una fracción egipcia es la suma de fracciones unitarias positivas distintas, por ejemplo . Esta definición se deriva del hecho de que los antiguos egipcios expresaban todas las fracciones excepto , y de esta manera. Todo número racional positivo se puede expandir como una fracción egipcia. Por ejemplo, se puede escribir como Cualquier número racional positivo se puede escribir como una suma de fracciones unitarias de infinitas maneras. Dos formas de escribir son y . ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {5}{7}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{21}}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {13}{17}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{68}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{68}}}$

Fracciones complejas y compuestas

En una fracción compleja , el numerador, el denominador o ambos son una fracción o un número mixto, ^{[22] [23]} correspondiente a la división de fracciones. Por ejemplo, y son fracciones complejas. Para interpretar fracciones anidadas escritas "apiladas" con barras de fracción horizontales, trate las barras más cortas como anidadas dentro de barras más largas. Las fracciones complejas se pueden simplificar utilizando la multiplicación por el recíproco, como se describe a continuación en § División. Por ejemplo: ${\displaystyle {\tfrac {1/2}{1/3}}}$ ${\displaystyle {\bigl (}12{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}{\big /}26}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\;\!{\tfrac {1}{2}}\;\!}{\tfrac {1}{3}}}&={\frac {1}{2}}\div {\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\times {\frac {3}{1}}={\frac {3}{2}},\qquad {\frac {\;\!{\tfrac {3}{2}}\;\!}{5}}={\frac {3}{2}}\div 5={\frac {3}{2}}\times {\frac {1}{5}}={\frac {3}{10}},\\[10mu]{\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}&={\frac {12\times 4+3}{4}}\div 26={\frac {12\times 4+3}{4}}\times {\frac {1}{26}}={\frac {51}{104}}.\end{aligned}}}$

Una fracción compleja nunca debe escribirse sin un marcador obvio que muestre qué fracción está anidada dentro de la otra, ya que tales expresiones son ambiguas. Por ejemplo, la expresión podría interpretarse de manera plausible como o como El significado puede hacerse explícito escribiendo las fracciones utilizando separadores distintos o agregando paréntesis explícitos, en este caso o ${\displaystyle 5/10/20}$ ${\displaystyle {\tfrac {5}{10}}{\big /}20={\tfrac {1}{40}}}$ ${\displaystyle 5{\big /}{\tfrac {10}{20}}=10.}$ ${\displaystyle (5/10){\big /}20}$ ${\displaystyle 5{\big /}(10/20).}$

Una fracción compuesta es una fracción de una fracción, o cualquier número de fracciones relacionadas con la palabra de , ^{[22] [23]} correspondiente a la multiplicación de fracciones. Para reducir una fracción compuesta a una fracción simple, simplemente realice la multiplicación (ver § Multiplicación ). Por ejemplo, de es una fracción compuesta, correspondiente a . Los términos fracción compuesta y fracción compleja están estrechamente relacionados y, a veces, uno se usa como sinónimo del otro. (Por ejemplo, la fracción compuesta es equivalente a la fracción compleja ⁠ ⁠ .) ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {5}{7}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}={\tfrac {15}{28}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3/4}{7/5}}}$

Sin embargo, tanto "fracción compleja" como "fracción compuesta" pueden considerarse obsoletas ^[24] y ahora se usan sin una forma bien definida, en parte incluso se toman como sinónimos entre sí ^[25] o para numerales mixtos. ^[26] Han perdido su significado como términos técnicos y los atributos "complejo" y "compuesto" tienden a usarse en su significado cotidiano de "que consta de partes".

Aritmética con fracciones

Al igual que los números enteros, las fracciones obedecen las leyes conmutativa , asociativa y distributiva , y la regla contra la división por cero .

La aritmética de números mixtos se puede realizar convirtiendo cada número mixto en una fracción impropia o tratando cada uno como una suma de partes enteras y fraccionarias.

Fracciones equivalentes

Multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número (distinto de cero) da como resultado una fracción que es equivalente a la fracción original. Esto es así porque para cualquier número distinto de cero , la fracción es igual a 1. Por lo tanto, multiplicar por es lo mismo que multiplicar por uno, y cualquier número multiplicado por uno tiene el mismo valor que el número original. A modo de ejemplo, comencemos con la fracción ⁠ ⁠ . Cuando el numerador y el denominador se multiplican por 2, el resultado es ⁠ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{n}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{n}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$2/4⁠ , que tiene el mismo valor (0,5) que ⁠1/2⁠ . Para ilustrar esto visualmente, imagine cortar un pastel en cuatro pedazos; dos de los pedazos juntos (2/4) constituyen la mitad del pastel ( ⁠1/2⁠ ).

Simplificando (reduciendo) fracciones

Dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número distinto de cero da como resultado una fracción equivalente: si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un número (llamado factor) mayor que 1, entonces la fracción se puede reducir a una fracción equivalente con un numerador y un denominador más pequeños. Por ejemplo, si tanto el numerador como el denominador de la fracción son divisibles por ⁠ ⁠ , entonces se pueden escribir como , , y la fracción se convierte en ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a=cd}$ ${\displaystyle b=ce}$cd/esto⁠ , que se puede reducir dividiendo tanto el numerador como el denominador por c para obtener la fracción reducida ⁠d/mi⁠ .

Si se toma como c el máximo común divisor del numerador y del denominador, se obtiene la fracción equivalente cuyo numerador y denominador tienen los menores valores absolutos . Se dice que la fracción ha sido reducida a sus términos más bajos .

Si el numerador y el denominador no comparten ningún factor mayor que 1, la fracción ya está reducida a su mínima expresión y se dice que es irreducible , reducida o, en términos más simples , . Por ejemplo, no está en su mínima expresión porque tanto 3 como 9 se pueden dividir exactamente por 3. En cambio, está en su mínima expresión: el único entero positivo que cabe en 3 y 8 de manera uniforme es 1. ${\displaystyle {\tfrac {3}{9}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}$

Usando estas reglas, podemos demostrar que ⁠5/10⁠ = ⁠1/2⁠ = ⁠10/20⁠ = ⁠50/100⁠ , por ejemplo.

Como otro ejemplo, dado que el máximo común divisor de 63 y 462 es 21, la fracción63/462⁠ se puede reducir a sus términos más bajos dividiendo el numerador y el denominador por 21:

${\displaystyle {\frac {63}{462}}={\frac {63\,\div \,21}{462\,\div \,21}}={\frac {3}{22}}.}$

El algoritmo euclidiano proporciona un método para encontrar el máximo común divisor de dos números enteros cualesquiera.

Comparando fracciones

Comparar fracciones con el mismo denominador positivo produce el mismo resultado que comparar los numeradores:

${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}>{\tfrac {2}{4}}}$porque 3 > 2 , y los denominadores iguales son positivos. ${\displaystyle 4}$

Si los denominadores iguales son negativos, entonces el resultado opuesto de comparar los numeradores se cumple para las fracciones:

${\displaystyle {\tfrac {3}{-4}}<{\tfrac {2}{-4}}{\text{ because }}{\tfrac {a}{-b}}={\tfrac {-a}{b}}{\text{ and }}-3<-2.}$

Si dos fracciones positivas tienen el mismo numerador, entonces la fracción con el denominador más pequeño es el número más grande. Cuando un entero se divide en partes iguales, si se necesitan menos partes iguales para formar el entero, entonces cada parte debe ser más grande. Cuando dos fracciones positivas tienen el mismo numerador, representan el mismo número de partes, pero en la fracción con el denominador más pequeño, las partes son más grandes.

Una forma de comparar fracciones con diferentes numeradores y denominadores es encontrar un denominador común. Para comparar y , se convierten en y (donde el punto significa multiplicación y es un símbolo alternativo a ×). Entonces bd es un denominador común y se pueden comparar los numeradores ad y bc . No es necesario determinar el valor del denominador común para comparar fracciones; uno puede simplemente comparar ad y bc , sin evaluar bd , por ejemplo, comparando  ? se obtiene . ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {a\cdot d}{b\cdot d}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {b\cdot c}{b\cdot d}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {4}{6}}>{\tfrac {3}{6}}}$

Para la pregunta más laboriosa  , multiplicamos la parte superior e inferior de cada fracción por el denominador de la otra fracción para obtener un denominador común, lo que da como resultado  ? . ​​No es necesario hacer cálculos , solo es necesario comparar los numeradores. Como 5×17 (= 85) es mayor que 4×18 (= 72), el resultado de la comparación es ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\tfrac {5}{18}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {4}{17}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {5\times 17}{18\times 17}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {18\times 4}{18\times 17}}}$ ${\displaystyle 18\times 17}$ ${\displaystyle {\tfrac {5}{18}}>{\tfrac {4}{17}}}$

Como todo número negativo, incluidas las fracciones negativas, es menor que cero, y todo número positivo, incluidas las fracciones positivas, es mayor que cero, se deduce que cualquier fracción negativa es menor que cualquier fracción positiva. Esto permite, junto con las reglas anteriores, comparar todas las fracciones posibles.

Suma

La primera regla de la suma es que sólo se pueden sumar cantidades iguales; por ejemplo, varias cantidades de monedas de veinticinco centavos. Las cantidades diferentes, como la suma de tercios a monedas de veinticinco centavos, primero se deben convertir en cantidades iguales, como se describe a continuación: Imaginemos un bolsillo que contiene dos monedas de veinticinco centavos y otro bolsillo que contiene tres monedas de veinticinco centavos; en total, hay cinco monedas de veinticinco centavos. Como cuatro monedas de veinticinco centavos equivalen a una (dólar), esto se puede representar de la siguiente manera:

${\displaystyle {\tfrac {2}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {5}{4}}=1{\tfrac {1}{4}}}$.

Si a una tarta se le añaden trozos de otra, los trozos se deben convertir en cantidades comparables, como octavos o cuartos de tarta. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$

Sumando cantidades diferentes

Para sumar fracciones que contienen cantidades diferentes (por ejemplo, cuartos y tercios), es necesario convertir todas las cantidades en cantidades iguales. Es fácil determinar el tipo de fracción elegido para convertir; simplemente multiplique los dos denominadores (número inferior) de cada fracción. En el caso de un número entero, aplique el denominador invisible 1.

Para sumar cuartos a tercios, ambos tipos de fracción se convierten a doceavos, así:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}={\frac {1\times 3}{4\times 3}}+{\frac {1\times 4}{3\times 4}}={\frac {3}{12}}+{\frac {4}{12}}={\frac {7}{12}}.}$

Considere agregar las siguientes dos cantidades:

${\displaystyle {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}.}$

Primero, convierte a quinceavos multiplicando tanto el numerador como el denominador por tres: ⁠ ⁠ . Ya que ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}\times {\tfrac {3}{3}}={\tfrac {9}{15}}}$3/3⁠ es igual a 1, multiplicación por ⁠3/3⁠ no cambia el valor de la fracción.

En segundo lugar, convertir2/3⁠ en quinceavos multiplicando tanto el numerador como el denominador por cinco: ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\times {\tfrac {5}{5}}={\tfrac {10}{15}}}$ .

Ahora se puede ver que

${\displaystyle {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}}$

es equivalente a

${\displaystyle {\frac {9}{15}}+{\frac {10}{15}}={\frac {19}{15}}=1{\frac {4}{15}}.}$

Este método se puede expresar algebraicamente:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+cb}{bd}}.}$

Este método algebraico siempre funciona, garantizando así que la suma de fracciones simples sea siempre otra vez una fracción simple. Sin embargo, si los denominadores simples contienen un factor común, se puede utilizar un denominador menor que el producto de estos. Por ejemplo, al sumar y los denominadores simples tienen un factor común 2, y por lo tanto, en lugar del denominador 24 (4 × 6), se puede utilizar el denominador dividido 12, no solo reduciendo el denominador en el resultado, sino también los factores en el numerador. ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {5}{6}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {3}{4}}+{\frac {5}{6}}&={\frac {3\cdot 6}{4\cdot 6}}+{\frac {4\cdot 5}{4\cdot 6}}={\frac {18}{24}}+{\frac {20}{24}}&&={\frac {19}{12}}\\[10mu]&={\frac {3\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {2\cdot 5}{2\cdot 6}}={\frac {9}{12}}+{\frac {10}{12}}&&={\frac {19}{12}}.\end{alignedat}}}$

El denominador más pequeño posible se obtiene por el mínimo común múltiplo de los denominadores simples, que resulta de dividir el múltiplo común por todos los factores comunes de los denominadores simples. Esto se llama mínimo común denominador.

Sustracción

El proceso para restar fracciones es, en esencia, el mismo que para sumarlas: se busca un denominador común y se convierte cada fracción en una fracción equivalente con el denominador común elegido. La fracción resultante tendrá ese denominador y su numerador será el resultado de restar los numeradores de las fracciones originales. Por ejemplo,

${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {4}{6}}-{\tfrac {3}{6}}={\tfrac {1}{6}}.}$

Para restar un número mixto, se puede tomar prestado un uno extra del minuendo, por ejemplo

${\displaystyle 4-2{\tfrac {3}{4}}=(4-2-1)+{\bigl (}1-{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}=1{\tfrac {1}{4}}.}$

Multiplicación

Multiplicar una fracción por otra fracción

Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores y se multiplican los denominadores. Así:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {6}{12}}.}$

Para explicar el proceso, considere un tercio de un cuarto. Usando el ejemplo de un pastel, si tres rebanadas pequeñas del mismo tamaño forman un cuarto, y cuatro cuartos forman un entero, doce de estas rebanadas pequeñas e iguales forman un entero. Por lo tanto, un tercio de un cuarto es un doceavo. Ahora considere los numeradores. La primera fracción, dos tercios, es el doble de grande que un tercio. Como un tercio de un cuarto es un doceavo, dos tercios de un cuarto son dos doceavos. La segunda fracción, tres cuartos, es tres veces más grande que un cuarto, por lo que dos tercios de tres cuartos es tres veces más grande que dos tercios de un cuarto. Por lo tanto, dos tercios por tres cuartos son seis doceavos.

Un atajo para multiplicar fracciones se llama "cancelación". En efecto, el resultado se reduce a los términos más bajos durante la multiplicación. Por ejemplo:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {{\color {RoyalBlue}{\cancel {\color {Black}2}}}^{~1}}{{\color {RedOrange}{\cancel {\color {Black}3}}}^{~1}}}\times {\frac {{\color {RedOrange}{\cancel {\color {Black}3}}}^{~1}}{{\color {RoyalBlue}{\cancel {\color {Black}4}}}^{~2}}}={\frac {1}{1}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}.}$

Un dos es un factor común tanto en el numerador de la fracción izquierda como en el denominador de la derecha y se divide entre ambos. Un tres es un factor común del denominador izquierdo y del numerador derecho y se divide entre ambos.

Multiplicar una fracción por un número entero

Dado que un número entero puede reescribirse como dividido por 1, las reglas normales de multiplicación de fracciones aún pueden aplicarse. Por ejemplo,

${\displaystyle 6\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {6}{1}}\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {18}{4}}.}$

Este método funciona porque la fracción 6/1 significa seis partes iguales, cada una de las cuales es un entero.

Multiplicar números mixtos

El producto de números mixtos se puede calcular convirtiendo cada uno en una fracción impropia. ^[27] Por ejemplo:

${\displaystyle 3\times 2{\frac {3}{4}}={\frac {3}{1}}\times {\frac {2\times 4+3}{4}}={\frac {33}{4}}=8{\frac {1}{4}}.}$

Alternativamente, los números mixtos pueden tratarse como sumas y multiplicarse como binomios . En este ejemplo,

${\displaystyle 3\times 2{\frac {3}{4}}=3\times 2+3\times {\frac {3}{4}}=6+{\frac {9}{4}}=8{\frac {1}{4}}.}$

División

Para dividir una fracción por un número entero, puedes dividir el numerador por el número, si cabe de manera uniforme en el numerador, o multiplicar el denominador por el número. Por ejemplo, es igual a y también es igual a , lo que se reduce a . Para dividir un número por una fracción, multiplica ese número por el recíproco de esa fracción. Por lo tanto, . ${\displaystyle {\tfrac {10}{3}}\div 5}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {10}{3\cdot 5}}={\tfrac {10}{15}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\div {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {4}{3}}={\tfrac {1\cdot 4}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{3}}}$

Conversión entre decimales y fracciones

Para convertir una fracción común en decimal, haz una división larga de las representaciones decimales del numerador por el denominador (esto también se expresa idiomáticamente como "dividir el denominador por el numerador") y redondea la respuesta a la precisión deseada. Por ejemplo, para cambiar ⁠1/4⁠ a un decimal, dividir1.00 por4 ("4 en1.00 "), para obtener0,25 . Para cambiar ⁠1/3⁠ a un decimal, dividir1.000... por3 ("3 en1.000... "), y se detendrá cuando se obtenga la precisión deseada, por ejemplo, en4 decimales con0,3333 . La fracción ⁠1/4⁠ se puede escribir exactamente con dos dígitos decimales, mientras que la fracción ⁠1/3⁠ no se puede escribir exactamente como un decimal con un número finito de dígitos. Para convertir un decimal en fracción, escribe en el denominador una1 seguido de tantos ceros como dígitos haya a la derecha del punto decimal, y escribir en el numerador todos los dígitos del decimal original, omitiendo únicamente el punto decimal. ${\displaystyle 12.3456={\tfrac {123456}{10000}}.}$

Convertir decimales periódicos en fracciones

Los números decimales, si bien son más útiles para realizar cálculos, a veces carecen de la precisión que tienen las fracciones comunes. A veces se requiere un decimal periódico infinito para alcanzar la misma precisión. Por lo tanto, a menudo resulta útil convertir decimales periódicos en fracciones.

Una forma convencional de indicar un decimal periódico es colocar una barra (conocida como vinculum ) sobre los dígitos que se repiten, por ejemplo 0,789 = 0,789789789... Para los patrones repetidos que comienzan inmediatamente después del punto decimal, el resultado de la conversión es la fracción con el patrón como numerador y la misma cantidad de nueves como denominador. Por ejemplo:

0,5 = 5/9

0,62 = 62/99

0,264 = 264/999

0,6291 = 6291/9999

Si los ceros iniciales preceden al patrón, los nueves tienen como sufijo el mismo número de ceros finales :

0,0 5 = 5/90

0,000 392 = 392/999000

0,00 12 = 12/9900

Si un conjunto de decimales no repetitivas precede al patrón (como 0,1523 987 ), se puede escribir el número como la suma de las partes no repetitivas y repetitivas, respectivamente:

0,1523 + 0,0000 987

Luego, convierte ambas partes en fracciones y súmalas utilizando los métodos descritos anteriormente:

1523/10000 + 987/9990000 = 1522464/9990000

Alternativamente, se puede utilizar el álgebra, como se muestra a continuación:

1. Sea x = el decimal periódico:

   x = 0,1523 987

2. Multiplica ambos lados por una potencia de 10 lo suficientemente grande (en este caso 10 ⁴ ) para mover el punto decimal justo antes de la parte repetida del número decimal:

   10.000 x = 1.523,987

3. Multiplica ambos lados por la potencia de 10 (en este caso 10 ³ ) que es igual al número de lugares que se repiten:

   10.000.000 x = 1.523.987,987

4. Resta las dos ecuaciones entre sí (si a = b y c = d , entonces a − c = b − d ):

   10 000 000 x - 10 000 x = 1 523 987,987 - 1 523,987

5. Continúe la operación de resta para borrar el decimal periódico:

   9.990.000 x = 1.523.987 − 1.523

   9.990.000 x = 1.522.464

6. Divida ambos lados por 9.990.000 para representar x como fracción

   x = ⁠1522464/9990000⁠

Fracciones en matemáticas abstractas

Además de su gran importancia práctica, las fracciones también son estudiadas por los matemáticos, quienes comprueban que las reglas para fracciones dadas anteriormente sean consistentes y confiables . Los matemáticos definen una fracción como un par ordenado de números enteros y para el cual las operaciones de suma , resta , multiplicación y división se definen de la siguiente manera: ^[28] ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b\neq 0,}$

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)\,}$

${\displaystyle (a,b)-(c,d)=(ad-bc,bd)\,}$

${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac,bd)}$

${\displaystyle (a,b)\div (c,d)=(ad,bc)\quad ({\text{with, additionally, }}c\neq 0)}$

Estas definiciones concuerdan en todos los casos con las definiciones dadas anteriormente; sólo la notación es diferente. Alternativamente, en lugar de definir la resta y la división como operaciones, las fracciones "inversas" con respecto a la suma y la multiplicación podrían definirse como:

${\displaystyle {\begin{aligned}-(a,b)&=(-a,b)&&{\text{additive inverse fractions,}}\\&&&{\text{with }}(0,b){\text{ as additive unities, and}}\\(a,b)^{-1}&=(b,a)&&{\text{multiplicative inverse fractions, for }}a\neq 0,\\&&&{\text{with }}(b,b){\text{ as multiplicative unities}}.\end{aligned}}}$

Además, la relación , especificada como

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\quad \iff \quad ad=bc,}$

es una relación de equivalencia de fracciones. Cada fracción de una clase de equivalencia puede considerarse como un representante de toda la clase, y cada clase entera puede considerarse como una fracción abstracta. Esta equivalencia se conserva mediante las operaciones definidas anteriormente, es decir, los resultados de operar con fracciones son independientes de la selección de representantes de su clase de equivalencia. Formalmente, para la suma de fracciones

${\displaystyle (a,b)\sim (a',b')\quad }$y dar a entender ${\displaystyle \quad (c,d)\sim (c',d')\quad }$

${\displaystyle ((a,b)+(c,d))\sim ((a',b')+(c',d'))}$

y lo mismo para las demás operaciones.

En el caso de fracciones de números enteros, las fracciones ⁠a/b⁠ Los números con a y b coprimos y b > 0 se toman a menudo como representantes unívocamente determinados de sus fracciones equivalentes , que se consideran el mismo número racional. De esta manera, las fracciones de números enteros forman el campo de los números racionales.

De manera más general, a y b pueden ser elementos de cualquier dominio integral R , en cuyo caso una fracción es un elemento del campo de fracciones de R . Por ejemplo, los polinomios en un indeterminado, con coeficientes de algún dominio integral D , son en sí mismos un dominio integral, llamémoslo P . Entonces, para a y b elementos de P , el campo generado de fracciones es el campo de fracciones racionales (también conocido como el campo de funciones racionales ).

Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas . Al igual que con las fracciones de números enteros, el denominador de una fracción algebraica no puede ser cero. Dos ejemplos de fracciones algebraicas son y ⁠ ⁠ . Las fracciones algebraicas están sujetas a las mismas propiedades de campo que las fracciones aritméticas. ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$

Si el numerador y el denominador son polinomios , como en ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$ , la fracción algebraica se llama fracción racional (o expresión racional ). Una fracción irracional es aquella que no es racional, como, por ejemplo, aquella que contiene la variable bajo un exponente o raíz fraccionaria, como en ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$ .

La terminología utilizada para describir las fracciones algebraicas es similar a la utilizada para las fracciones ordinarias. Por ejemplo, una fracción algebraica está en su forma más simple si los únicos factores comunes al numerador y al denominador son 1 y −1. Una fracción algebraica cuyo numerador o denominador, o ambos, contienen una fracción, como ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\frac {1+{\tfrac {1}{x}}}{1-{\tfrac {1}{x}}}}}$ , se denomina fracción compleja .

El campo de los números racionales es el campo de las fracciones de los números enteros, mientras que los números enteros en sí mismos no son un campo sino un dominio integral . De manera similar, las fracciones racionales con coeficientes en un campo forman el campo de las fracciones de polinomios con coeficiente en ese campo. Considerando las fracciones racionales con coeficientes reales, las expresiones radicales que representan números, como ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}/2}$ , también son fracciones racionales, al igual que los números trascendentales como ya que todos los y son números reales , y por lo tanto se consideran coeficientes. Estos mismos números, sin embargo, no son fracciones racionales con coeficientes enteros . ${\textstyle \pi /2,}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}},\pi ,}$ ${\displaystyle 2}$

El término fracción parcial se utiliza para descomponer fracciones racionales en sumas de fracciones más simples. Por ejemplo, la fracción racional se puede descomponer como la suma de dos fracciones: ⁠ ⁠ . Esto es útil para el cálculo de antiderivadas de funciones racionales (consulte la descomposición en fracciones parciales para obtener más información). ${\displaystyle {\frac {2x}{x^{2}-1}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{x-1}}}$

Expresiones radicales

Una fracción también puede contener radicales en el numerador o en el denominador. Si el denominador contiene radicales, puede ser útil racionalizarlo (comparar Forma simplificada de una expresión radical ), especialmente si se deben realizar operaciones posteriores, como sumar o comparar esa fracción con otra. También es más conveniente si la división se debe realizar manualmente. Cuando el denominador es una raíz cuadrada monomial , se puede racionalizar multiplicando tanto la parte superior como la inferior de la fracción por el denominador:

${\displaystyle {\frac {3}{\sqrt {7}}}={\frac {3}{\sqrt {7}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}={\frac {3{\sqrt {7}}}{7}}.}$

El proceso de racionalización de denominadores binomiales implica multiplicar la parte superior e inferior de una fracción por el conjugado del denominador, de modo que el denominador se convierta en un número racional. Por ejemplo:

${\displaystyle {\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3+2{\sqrt {5}}}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9+6{\sqrt {5}}}{11}},}$

${\displaystyle {\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3-2{\sqrt {5}}}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9-6{\sqrt {5}}}{11}}.}$

Incluso si este proceso da como resultado que el numerador sea irracional, como en los ejemplos anteriores, el proceso aún puede facilitar manipulaciones posteriores al reducir el número de irracionales con los que uno debe trabajar en el denominador.

Variaciones tipográficas

En las pantallas de ordenador y en la tipografía , las fracciones simples a veces se imprimen como un solo carácter, p. ej., ½ ( la mitad ). Consulta el artículo sobre formas numéricas para obtener información sobre cómo hacerlo en Unicode .

Las publicaciones científicas distinguen cuatro formas de expresar fracciones, junto con pautas sobre su uso: ^[29]

• Fracciones especiales : fracciones que se presentan como un solo carácter con una barra inclinada, con aproximadamente la misma altura y anchura que otros caracteres del texto. Generalmente se utilizan para fracciones simples, como: ½, ⅓, ⅔, ¼ y ¾. Dado que los números son más pequeños, la legibilidad puede ser un problema, especialmente para fuentes de tamaño pequeño. Estas no se utilizan en la notación matemática moderna, pero sí en otros contextos.
• Fracciones mayúsculas y minúsculas : similares a las fracciones especiales, se representan como un solo carácter tipográfico, pero con una barra horizontal, lo que las hace verticales . Un ejemplo sería ⁠1/2⁠ , pero se representan con la misma altura que los demás caracteres. Algunas fuentes incluyen todas las representaciones de fracciones como fracciones de mayúsculas y minúsculas si ocupan solo un espacio tipográfico, independientemente de la dirección de la barra. ^[30]
• Fracciones de chelín o solidus : 1/2, llamada así porque esta notación se usaba para la moneda británica predecimal ( £sd ), como en "2/6" para media corona , lo que significa dos chelines y seis peniques. Si bien la notación "dos chelines y seis peniques" no representaba una fracción, la barra diagonal se usa ahora en fracciones, especialmente para fracciones en línea con prosa (en lugar de mostradas), para evitar líneas desiguales. También se usa para fracciones dentro de fracciones (fracciones complejas) o dentro de exponentes para aumentar la legibilidad. Las fracciones escritas de esta manera, también conocidas como fracciones de pieza , ^[31] se escriben todas en una línea tipográfica, pero ocupan 3 o más espacios tipográficos.
• Fracciones construidas : esta notación utiliza dos o más líneas de texto ordinario y da como resultado una variación en el espaciado entre líneas cuando se incluyen dentro de otro texto. Si bien son grandes y legibles, pueden ser disruptivas, en particular para fracciones simples o dentro de fracciones complejas. ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

Historia

Las primeras fracciones eran recíprocas de números enteros : símbolos antiguos que representaban una parte de dos, una parte de tres, una parte de cuatro, etc. ^[32] Los egipcios usaban fracciones egipcias alrededor del año  1000  a. C. Hace unos 4000 años, los egipcios dividían con fracciones utilizando métodos ligeramente diferentes. Usaban el mínimo común múltiplo con fracciones unitarias . Sus métodos daban la misma respuesta que los métodos modernos. ^[33] Los egipcios también tenían una notación diferente para las fracciones diádicas , que se usaban para ciertos sistemas de pesos y medidas. ^[34]

Los griegos utilizaban fracciones unitarias y (más tarde) fracciones continuas simples . Los seguidores del filósofo griego Pitágoras ( c.  530  a. C.) descubrieron que la raíz cuadrada de dos no se puede expresar como fracción de números enteros . (Esto se atribuye comúnmente, aunque probablemente de forma errónea, a Hípaso de Metaponto , de quien se dice que fue ejecutado por revelar este hecho). En el año 150 a. C., los matemáticos jainistas de la India escribieron el " Sthananga Sutra ", que contiene trabajos sobre la teoría de números, operaciones aritméticas y operaciones con fracciones.

Una expresión moderna de fracciones conocida como bhinnarasi parece haberse originado en la India en la obra de Aryabhatta ( c.  500 d. C. ), ^{[ cita requerida ]} Brahmagupta ( c.  628 ) y Bhaskara ( c.  1150 ). ^[35] Sus obras forman fracciones colocando los numeradores ( sánscrito : amsa ) sobre los denominadores ( cheda ), pero sin una barra entre ellos. ^[35] En la literatura sánscrita , las fracciones siempre se expresaban como una adición o resta de un número entero. ^{[ cita requerida ]} El número entero se escribía en una línea y la fracción en sus dos partes en la siguiente línea. Si la fracción estaba marcada por un pequeño círculo ⟨०⟩ o una cruz ⟨+⟩ , se resta del número entero; si no aparece dicho signo, se entiende que se suma. Por ejemplo, Bhaskara I escribe: ^[36]

६ १ २

१ १ १ _०

Sí, sí.

que es el equivalente de

6 1 2

1 1 −1

4 5 9

y se escribiría en notación moderna como 6 ⁠1/41​​1/5⁠ , y 2 −  ⁠1/9⁠ (es decir, 1 ⁠8/9⁠ ).

La barra de fracción horizontal aparece por primera vez en la obra de Al-Hassār ( fl.  1200 ), ^[35] un matemático musulmán de Fez , Marruecos , que se especializó en jurisprudencia islámica sobre herencias . En su análisis escribe: "por ejemplo, si se le pide que escriba tres quintos y un tercio de un quinto, escriba así ". ^[37] La ​​misma notación fraccionaria (con la fracción dada antes del número entero) ^[35] aparece poco después en la obra de Leonardo Fibonacci en el siglo XIII. ^[38] ${\displaystyle {\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}}$

Al discutir los orígenes de las fracciones decimales , Dirk Jan Struik afirma: ^[39]

La introducción de las fracciones decimales como práctica computacional común se remonta al panfleto flamenco De Thiende , publicado en Leyden en 1585, junto con una traducción francesa, La Disme , del matemático flamenco Simon Stevin (1548-1620), establecido entonces en los Países Bajos del Norte. Es cierto que los chinos utilizaban fracciones decimales muchos siglos antes que Stevin y que el astrónomo persa Al-Kāshī utilizaba tanto fracciones decimales como sexagesimales con gran facilidad en su Clave de la aritmética ( Samarcanda , principios del siglo XV). ^[40]

Aunque el matemático persa Jamshīd al-Kāshī afirmó haber descubierto las fracciones decimales él mismo en el siglo XV, J. Lennart Berggren señala que estaba equivocado, ya que las fracciones decimales fueron utilizadas por primera vez cinco siglos antes que él por el matemático bagdadí Abu'l-Hasan al-Uqlidisi ya en el siglo X. ^{[41] [n 2]}

En la educación formal

Escuelas primarias

En las escuelas primarias , las fracciones se han demostrado a través de varillas de Cuisenaire , barras de fracciones, tiras de fracciones, círculos de fracciones, papel (para doblar o cortar), bloques de patrones , piezas con forma de pastel, rectángulos de plástico, papel cuadriculado, papel punteado, geoplanos , contadores y software de computadora.

Documentos para profesores

Varios estados de los Estados Unidos han adoptado trayectorias de aprendizaje de las pautas de la Iniciativa de Estándares Estatales Básicos Comunes para la educación matemática. Además de secuenciar el aprendizaje de fracciones y operaciones con fracciones, el documento proporciona la siguiente definición de fracción: "Un número expresable en la forma ⁠ ${\displaystyle a}$/ ${\displaystyle b}$⁠ donde es un número entero y es un número entero positivo. (La palabra fracción en estas normas siempre se refiere a un número no negativo.)" ^[43] El documento en sí también se refiere a fracciones negativas. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Véase también

• Multiplicación cruzada
• 0,999...
• Múltiple
• Fractrano

Notas

1. Algunos tipógrafos como Bringhurst distinguen erróneamente la barra ⟨ / ⟩ como la vírgula y la barra de fracción ⟨ ⁄ ⟩ como el sólido , ^[6] aunque de hecho ambas son sinónimos de la barra estándar. ^{[7] [8]}
2. Si bien existe cierto desacuerdo entre los estudiosos de la historia de las matemáticas en cuanto a la primacía de la contribución de al-Uqlidisi, no hay dudas en cuanto a su importante contribución al concepto de fracciones decimales. ^[42]

Referencias

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Enlaces externos

• "Fracción, aritmética". La enciclopedia en línea de matemáticas .
• "Fracción". Encyclopædia Britannica . 5 de enero de 2024.