Ecuación de Cauchy del momento

Ecuación

La ecuación de momento de Cauchy es una ecuación diferencial parcial vectorial propuesta por Cauchy que describe el transporte de momento no relativista en cualquier continuo . ^[1]

Ecuación principal

En forma convectiva (o lagrangiana ) la ecuación del momento de Cauchy se escribe como: $${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} }$$

dónde

• ${\displaystyle \mathbf {u} }$es el campo vectorial de velocidad de flujo , que depende del tiempo y del espacio, (unidad: ) ${\displaystyle \mathrm {m/s} }$
• ${\displaystyle t}$es tiempo , (unidad :) ${\displaystyle \mathrm {s} }$
• ${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}}$es la derivada material de , igual a , (unidad: ) ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \partial _{t}\mathbf {u} +\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathrm {m/s^{2}} }$
• ${\displaystyle \rho }$es la densidad en un punto dado del continuo (para el cual se cumple la ecuación de continuidad ), (unidad: ) ${\displaystyle \mathrm {kg/m^{3}} }$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$es el tensor de tensión , (unidad: ) ${\displaystyle \mathrm {Pa=N/m^{2}=kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-2}} }$
• ${\displaystyle \mathbf {f} ={\begin{bmatrix}f_{x}\\f_{y}\\f_{z}\end{bmatrix}}}$es un vector que contiene todas las aceleraciones causadas por las fuerzas corporales (a veces simplemente aceleración gravitacional ), (unidad: ) ${\displaystyle \mathrm {m/s^{2}} }$
• ${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial \sigma _{yx}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial \sigma _{zx}}{\partial z}}\\{\dfrac {\partial \sigma _{xy}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial \sigma _{zy}}{\partial z}}\\{\dfrac {\partial \sigma _{xz}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial \sigma _{yz}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}\\\end{bmatrix}}}$es la divergencia del tensor de tensión. ^{[2] [3] [4]} (unidad: ) ${\displaystyle \mathrm {Pa/m=kg\cdot m^{-2}\cdot s^{-2}} }$

Las unidades SI comúnmente utilizadas se dan entre paréntesis, aunque las ecuaciones son de naturaleza general y se pueden ingresar otras unidades en ellas o se pueden eliminar unidades por completo mediante la no dimensionalización .

Tenga en cuenta que solo usamos vectores de columna (en el sistema de coordenadas cartesianas ) arriba para mayor claridad, pero la ecuación está escrita usando componentes físicos (que no son covariantes ("columna") ni contravariantes ("fila")). ^[5] Sin embargo, si elegimos un sistema de coordenadas curvilíneas no ortogonales , entonces deberíamos calcular y escribir ecuaciones en forma covariante ("vectores fila") o contravariante ("vectores columna").

Después de un cambio apropiado de variables, también se puede escribir en forma de conservación :

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {s} }$$

donde j es la densidad de momento en un punto espacio-temporal dado, F es el flujo asociado a la densidad de momento y s contiene todas las fuerzas del cuerpo por unidad de volumen.

Derivación diferencial

Empecemos por el principio generalizado de conservación del momento, que puede escribirse de la siguiente manera: “El cambio en el momento del sistema es proporcional a la fuerza resultante que actúa sobre este sistema”. Se expresa mediante la fórmula: ^[6]

$${\displaystyle {\vec {p}}(t+\Delta t)-{\vec {p}}(t)=\Delta t{\vec {\bar {F}}}}$$

donde es el momento en el tiempo t y es la fuerza promediada sobre . Después de dividir por y pasar al límite obtenemos ( derivada ): ${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {\bar {F}}}}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t\to 0}$

$${\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}}$$

Analicemos cada lado de la ecuación anterior.

Lado derecho

El componente X de las fuerzas que actúan sobre las paredes de un elemento de fluido cúbico (verde para las paredes superior e inferior; rojo para las paredes izquierda y derecha; negro para las paredes delantera y trasera).

En el gráfico superior vemos la aproximación de la función (línea azul) utilizando una diferencia finita (línea amarilla). En el gráfico inferior vemos "vecindad del punto infinitamente ampliada " (cuadrado violeta del gráfico superior). En el gráfico inferior, la línea amarilla está completamente cubierta por la azul, por lo que no es visible. En la figura inferior, se han utilizado dos formas derivadas equivalentes: ], y se utilizó la designación. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\textstyle f'(x_{1})={\frac {df(x_{1})}{dx_{1}}}}$ ${\displaystyle \Delta f=f(x_{1}+\Delta x)-f(x_{1})}$

Dividimos las fuerzas en fuerzas corporales y fuerzas superficiales. ${\displaystyle {\vec {F}}_{m}}$ ${\displaystyle {\vec {F}}_{p}}$

$${\displaystyle {\vec {F}}={\vec {F}}_{p}+{\vec {F}}_{m}}$$

Las fuerzas superficiales actúan sobre las paredes del elemento cúbico de fluido. Para cada pared, el componente X de estas fuerzas se marcó en la figura con un elemento cúbico (en forma de producto de la tensión por el área de la superficie, por ejemplo , con unidades ). ${\displaystyle -\sigma _{xx}\,dy\,dz}$ ${\textstyle \mathrm {Pa\cdot m\cdot m={\frac {N}{m^{2}}}\cdot m^{2}=N} }$

Sumando fuerzas (sus componentes X ) que actúan sobre cada una de las paredes del cubo, obtenemos:

$${\displaystyle F_{p}^{x}=\left(\sigma _{xx}+{\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}dx\right)dy\,dz-\sigma _{xx}dy\,dz+\left(\sigma _{yx}+{\frac {\partial \sigma _{yx}}{\partial y}}dy\right)dx\,dz-\sigma _{yx}dx\,dz+\left(\sigma _{zx}+{\frac {\partial \sigma _{zx}}{\partial z}}dz\right)dx\,dy-\sigma _{zx}dx\,dy}$$

Después de ordenar y realizar un razonamiento similar para los componentes (no se han mostrado en la figura, pero serían vectores paralelos a los ejes Y y Z, respectivamente) obtenemos: ${\displaystyle F_{p}^{x}}$ ${\displaystyle F_{p}^{y},F_{p}^{z}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{p}^{x}&={\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz+{\frac {\partial \sigma _{yx}}{\partial y}}\,dy\,dx\,dz+{\frac {\partial \sigma _{zx}}{\partial z}}\,dz\,dx\,dy\\[6pt]F_{p}^{y}&={\frac {\partial \sigma _{xy}}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz+{\frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}\,dy\,dx\,dz+{\frac {\partial \sigma _{zy}}{\partial z}}\,dz\,dx\,dy\\[6pt]F_{p}^{z}&={\frac {\partial \sigma _{xz}}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz+{\frac {\partial \sigma _{yz}}{\partial y}}\,dy\,dx\,dz+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}\,dz\,dx\,dy{\vphantom {\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}}\end{aligned}}}$$

Podemos entonces escribirlo en la forma operacional simbólica:

$${\displaystyle {\vec {F}}_{p}=(\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }})\,dx\,dy\,dz}$$

Existen fuerzas de masa que actúan en el interior del volumen de control. Podemos escribirlas utilizando el campo de aceleración (por ejemplo, la aceleración gravitacional): ${\displaystyle \mathbf {f} }$ $${\displaystyle {\vec {F}}_{m}=\mathbf {f} \rho \,dx\,dy\,dz}$$

Lado izquierdo

Calculemos el momento del cubo: $${\displaystyle {\vec {p}}=\mathbf {u} m=\mathbf {u} \rho \,dx\,dy\,dz}$$

Porque asumimos que la masa probada (cubo) es constante en el tiempo, entonces ${\displaystyle m=\rho \,dx\,dy\,dz}$ $${\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\frac {d\mathbf {u} }{dt}}\rho \,dx\,dy\,dz}$$

Comparación del lado izquierdo y derecho

Tenemos

$${\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}}$$

entonces

$${\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}_{p}+{\vec {F}}_{m}}$$entonces $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} }{dt}}\rho \,dx\,dy\,dz=(\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }})dx\,dy\,dz+\mathbf {f} \rho \,dx\,dy\,dz}$$

Dividimos ambos lados por , y porque obtenemos: ${\displaystyle \rho \,dx\,dy\,dz}$ ${\textstyle {\frac {d\mathbf {u} }{dt}}={\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}}$ $${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} }$$

que termina la derivación.

Derivación integral

La aplicación de la segunda ley de Newton ( componente i ) a un volumen de control en el continuo que se está modelando da como resultado:

$${\displaystyle ma_{i}=F_{i}}$$

Luego, basándose en el teorema de transporte de Reynolds y utilizando la notación de derivada material , se puede escribir

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Omega }\rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}\,dV&=\int _{\Omega }\nabla _{j}\sigma _{i}^{j}\,dV+\int _{\Omega }\rho f_{i}\,dV\\\int _{\Omega }\left(\rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}-\nabla _{j}\sigma _{i}^{j}-\rho f_{i}\right)\,dV&=0\\\rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}-\nabla _{j}\sigma _{i}^{j}-\rho f_{i}&=0\\{\frac {Du_{i}}{Dt}}-{\frac {\nabla _{j}\sigma _{i}^{j}}{\rho }}-f_{i}&=0\end{aligned}}}$$

donde Ω representa el volumen de control. Dado que esta ecuación debe cumplirse para cualquier volumen de control, debe ser cierto que el integrando es cero, de lo cual se deduce la ecuación de Cauchy sobre el momento. El paso principal (no realizado anteriormente) para derivar esta ecuación es establecer que la derivada del tensor de tensión es una de las fuerzas que constituyen F _i . ^[1]

Formulario de conservación

La ecuación del momento de Cauchy también se puede expresar en la siguiente forma:

Ecuación de momento de Cauchy (forma de conservación)

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {s} }$

simplemente definiendo:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {j} }&=\rho \mathbf {u} \\{\mathbf {F} }&=\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} -{\boldsymbol {\sigma }}\\{\mathbf {s} }&=\rho \mathbf {f} \end{aligned}}}$$

donde j es la densidad de momento en el punto considerado en el continuo (para el cual se cumple la ecuación de continuidad ), F es el flujo asociado a la densidad de momento y s contiene todas las fuerzas del cuerpo por unidad de volumen. u ⊗ u es la díada de la velocidad.

Aquí j y s tienen el mismo número de dimensiones N que la velocidad del flujo y la aceleración del cuerpo, mientras que F , al ser un tensor , tiene N ² . ^{[nota 1]}

En las formas eulerianas es evidente que el supuesto de que no hay tensión desviatoria lleva las ecuaciones de Cauchy a las ecuaciones de Euler .

Aceleración convectiva

Un ejemplo de aceleración convectiva. El flujo es constante (independiente del tiempo), pero el fluido se desacelera a medida que avanza por el conducto divergente (suponiendo que el flujo es incompresible o subsónico compresible).

Una característica importante de las ecuaciones de Navier-Stokes es la presencia de aceleración convectiva: el efecto de la aceleración independiente del tiempo de un flujo con respecto al espacio. Si bien las partículas individuales del continuo experimentan una aceleración dependiente del tiempo, la aceleración convectiva del campo de flujo es un efecto espacial, como por ejemplo el fluido que se acelera en una boquilla.

Independientemente del tipo de continuo con el que se esté tratando, la aceleración convectiva es un efecto no lineal . La aceleración convectiva está presente en la mayoría de los flujos (las excepciones incluyen el flujo incompresible unidimensional), pero su efecto dinámico se ignora en el flujo reptante (también llamado flujo de Stokes). La aceleración convectiva está representada por la cantidad no lineal u ⋅ ∇ u , que puede interpretarse como ( u ⋅ ∇) u o como u ⋅ (∇ u ) , donde ∇ u es la derivada tensorial del vector de velocidad u . Ambas interpretaciones dan el mismo resultado. ^[7]

Operador de advección vs derivada tensorial

La aceleración convectiva ( u ⋅ ∇) u puede considerarse como el operador de advección u ⋅ ∇ que actúa sobre el campo de velocidad u . ^[7] Esto contrasta con la expresión en términos de la derivada del tensor ∇ u , que es la derivada componente por componente del vector de velocidad definido por [∇ u ] _mi = ∂ _m v _i , de modo que $${\displaystyle \left[\mathbf {u} \cdot \left(\nabla \mathbf {u} \right)\right]_{i}=\sum _{m}v_{m}\partial _{m}v_{i}=\left[(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right]_{i}\,.}$$

Forma de cordero

La identidad del cálculo vectorial del producto vectorial de un rizo se cumple:

$${\displaystyle \mathbf {v} \times \left(\nabla \times \mathbf {a} \right)=\nabla _{a}\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} \right)-\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {a} }$$

donde se utiliza la notación de subíndice de Feynman ∇ _a , lo que significa que el gradiente subíndice opera solo en el factor a .

Lamb en su famoso libro clásico Hidrodinámica (1895), ^[8] utilizó esta identidad para cambiar el término convectivo de la velocidad del flujo en forma rotacional, es decir sin una derivada tensorial: ^{[9] [10]}

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =\nabla \left({\frac {\|\mathbf {u} \|^{2}}{2}}\right)+\left(\nabla \times \mathbf {u} \right)\times \mathbf {u} }$$

donde el vector se denomina vector Lamb . La ecuación de Cauchy se convierte en: ${\displaystyle \mathbf {l} =\left(\nabla \times \mathbf {u} \right)\times \mathbf {u} }$

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} ={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} }$$

Usando la identidad:

$${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\rho }}\right)={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \rho }$$

La ecuación de Cauchy se convierte en:

$${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}u^{2}-{\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\rho }}\right)-\mathbf {f} ={\frac {1}{\rho ^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}}$$

De hecho, en el caso de un campo conservativo externo , al definir su potencial φ :

$${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi -{\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\rho }}\right)={\frac {1}{\rho ^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}}$$

En el caso de un flujo constante, la derivada temporal de la velocidad del flujo desaparece, por lo que la ecuación del momento se convierte en:

$${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi -{\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\rho }}\right)={\frac {1}{\rho ^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )}$$

Y al proyectar la ecuación de momento sobre la dirección del flujo, es decir a lo largo de una línea de corriente , el producto vectorial desaparece debido a una identidad de cálculo vectorial del triple producto escalar :

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi -{\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\rho }}\right)={\frac {1}{\rho ^{2}}}\mathbf {u} \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \rho )}$$

Si el tensor de tensión es isótropo, entonces solo entra la presión: (donde I es el tensor identidad), y la ecuación de momento de Euler en el caso incompresible estable se convierte en: ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} }$

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)+{\frac {p}{\rho ^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0}$$

En el caso incompresible estable, la ecuación de masa es simplemente:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0\,,}$$

Es decir, la conservación de la masa para un flujo incompresible estacionario establece que la densidad a lo largo de una línea de corriente es constante . Esto conduce a una simplificación considerable de la ecuación de momento de Euler:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=0}$$

Ahora resulta evidente la conveniencia de definir la altura total para un flujo de líquido no viscoso:

$${\displaystyle b_{l}\equiv {\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\,,}$$

De hecho, la ecuación anterior se puede escribir simplemente como:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla b_{l}=0}$$

Es decir, el equilibrio de momento para un flujo constante no viscoso e incompresible en un campo conservativo externo establece que la altura total a lo largo de una línea de corriente es constante .

Flujos irrotacionales

La forma Lamb también es útil en el flujo irrotacional, donde el rizo de la velocidad (llamada vorticidad ) ω = ∇ × u es igual a cero. En ese caso, el término de convección en se reduce a ${\displaystyle D\mathbf {u} /Dt}$

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =\nabla \left({\frac {\|\mathbf {u} \|^{2}}{2}}\right).}$$

Estresa

El efecto de la tensión en el flujo continuo está representado por los términos ∇ p y ∇ ⋅ τ ; estos son gradientes de fuerzas superficiales, análogos a las tensiones en un sólido. Aquí ∇ p es el gradiente de presión y surge de la parte isotrópica del tensor de tensiones de Cauchy . Esta parte está dada por las tensiones normales que ocurren en casi todas las situaciones. La parte anisotrópica del tensor de tensiones da lugar a ∇ ⋅ τ , que generalmente describe fuerzas viscosas; para el flujo incompresible, esto es solo un efecto de corte. Por lo tanto, τ es el tensor de tensiones desviador , y el tensor de tensiones es igual a: ^[11]

$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +{\boldsymbol {\tau }}}$$

donde I es la matriz identidad en el espacio considerado y τ el tensor de cortante.

Todas las ecuaciones de conservación de momento no relativistas, como la ecuación de Navier-Stokes , se pueden derivar comenzando con la ecuación de momento de Cauchy y especificando el tensor de tensión a través de una relación constitutiva . Al expresar el tensor de cizallamiento en términos de viscosidad y velocidad del fluido , y suponiendo una densidad y viscosidad constantes, la ecuación de momento de Cauchy conducirá a las ecuaciones de Navier-Stokes . Al suponer un flujo no viscoso , las ecuaciones de Navier-Stokes pueden simplificarse aún más a las ecuaciones de Euler .

La divergencia del tensor de tensión se puede escribir como

$${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}.}$$

El efecto del gradiente de presión sobre el flujo es acelerar el flujo en la dirección de alta presión a baja presión.

Como se indica en la ecuación de Cauchy sobre el momento, los términos de tensión p y τ aún son desconocidos, por lo que esta ecuación por sí sola no puede utilizarse para resolver problemas. Además de las ecuaciones de movimiento (la segunda ley de Newton), se necesita un modelo de fuerza que relacione las tensiones con el movimiento del flujo. ^[12] Por este motivo, a menudo se aplican suposiciones basadas en observaciones naturales para especificar las tensiones en términos de otras variables del flujo, como la velocidad y la densidad.

Fuerzas externas

El campo vectorial f representa las fuerzas que ejerce un cuerpo por unidad de masa. Normalmente, estas fuerzas consisten únicamente en la aceleración de la gravedad , pero pueden incluir otras, como las fuerzas electromagnéticas. En sistemas de coordenadas no inerciales, pueden surgir otras "aceleraciones inerciales" asociadas con las coordenadas rotatorias .

A menudo, estas fuerzas pueden representarse como el gradiente de alguna cantidad escalar χ , con f = ∇ χ , en cuyo caso se denominan fuerzas conservativas . La gravedad en la dirección z , por ejemplo, es el gradiente de − ρgz . Debido a que la presión de dicha gravitación surge solo como un gradiente, podemos incluirla en el término de presión como una fuerza corporal h = p − χ . Los términos de presión y fuerza en el lado derecho de la ecuación de Navier-Stokes se convierten en

$${\displaystyle -\nabla p+\mathbf {f} =-\nabla p+\nabla \chi =-\nabla \left(p-\chi \right)=-\nabla h.}$$

También es posible incluir influencias externas en el término de tensión en lugar del término de fuerza del cuerpo. Esto puede incluso incluir tensiones antisimétricas (entradas de momento angular), en contraste con las contribuciones internas generalmente simétricas al tensor de tensión. ^[13] ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$

No dimensionalización

Para que las ecuaciones sean adimensionales, es necesario definir una longitud característica r ₀ y una velocidad característica u _{0. Estas deben elegirse de modo que las variables adimensionales sean todas de orden uno. De este modo, se obtienen las siguientes variables adimensionales:}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{*}&\equiv {\frac {\rho }{\rho _{0}}}&u^{*}&\equiv {\frac {u}{u_{0}}}&r^{*}&\equiv {\frac {r}{r_{0}}}&t^{*}&\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t\\[6pt]\nabla ^{*}&\equiv r_{0}\nabla &\mathbf {f} ^{*}&\equiv {\frac {\mathbf {f} }{f_{0}}}&p^{*}&\equiv {\frac {p}{p_{0}}}&{\boldsymbol {\tau }}^{*}&\equiv {\frac {\boldsymbol {\tau }}{\tau _{0}}}\end{aligned}}}$$

La sustitución de estas relaciones invertidas en las ecuaciones de momento de Euler da como resultado:

$${\displaystyle {\frac {\rho _{0}u_{0}^{2}}{r_{0}}}{\frac {\partial \rho ^{*}\mathbf {u} ^{*}}{\partial t^{*}}}+{\frac {\nabla ^{*}}{r_{0}}}\cdot \left(\rho _{0}u_{0}^{2}\rho ^{*}\mathbf {u} ^{*}\otimes \mathbf {u} ^{*}+p_{0}p^{*}\right)=-{\frac {\tau _{0}}{r_{0}}}\nabla ^{*}\cdot {\boldsymbol {\tau }}^{*}+f_{0}\mathbf {f} ^{*}}$$

y dividiendo por el primer coeficiente:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\rho } ^{*}u^{*}}{\partial t^{*}}}+\nabla ^{*}\cdot \left(\rho ^{*}\mathbf {u} ^{*}\otimes \mathbf {u} ^{*}+{\frac {p_{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}}p^{*}\right)=-{\frac {\tau _{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}}\nabla ^{*}\cdot {\boldsymbol {\tau }}^{*}+{\frac {f_{0}r_{0}}{u_{0}^{2}}}\mathbf {f} ^{*}}$$

Ahora definamos el número de Froude :

$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u_{0}^{2}}{f_{0}r_{0}}},}$$

El número de Euler :

$${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {p_{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}},}$$

y el coeficiente de fricción superficial o el que habitualmente se denomina ' coeficiente de arrastre ' en el campo de la aerodinámica:

$${\displaystyle C_{\mathrm {f} }={\frac {2\tau _{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}},}$$

pasando respectivamente a las variables conservadoras, es decir la densidad de momento y la densidad de fuerza :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} &=\rho \mathbf {u} \\\mathbf {g} &=\rho \mathbf {f} \end{aligned}}}$$

Las ecuaciones quedan finalmente expresadas (omitiendo ahora los índices):

Ecuación de momento de Cauchy ( forma conservativa adimensional )

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +\mathrm {Eu} \,p\right)=-{\frac {C_{\mathrm {f} }}{2}}\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+{\frac {1}{\mathrm {Fr} }}\mathbf {g} }$

Las ecuaciones de Cauchy en el límite de Froude Fr → ∞ (que corresponde a un campo externo despreciable) se denominan ecuaciones de Cauchy libres:

Ecuación de Cauchy libre ( forma conservativa adimensional )

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} }{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +\mathrm {Eu} \,p\right)=-{\frac {C_{\mathrm {f} }}{2}}\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}}$

y pueden ser eventualmente ecuaciones de conservación . El límite de números de Froude altos (campo externo bajo) es, por lo tanto, notable para tales ecuaciones y se estudia con la teoría de perturbaciones .

Finalmente en forma convectiva las ecuaciones son:

Ecuación de momento de Cauchy ( forma convectiva adimensional )

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} \,{\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} }}\mathbf {f} }$

Formas convectivas explícitas en 3D

Coordenadas cartesianas 3D

Para tensores de tensión asimétricos, las ecuaciones en general toman las siguientes formas: ^{[2] [3] [4] [14]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&:&{\frac {\partial u_{x}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}&={\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{zx}}{\partial z}}\right)+f_{x}\\[8pt]y&:&{\frac {\partial u_{y}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}&={\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \sigma _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{zy}}{\partial z}}\right)+f_{y}\\[8pt]z&:&{\frac {\partial u_{z}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}&={\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \sigma _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}\right)+f_{z}\end{aligned}}}$$

Coordenadas 3D cilíndricas

A continuación, escribimos la ecuación principal en forma de presión-tau asumiendo que el tensor de tensión es simétrico ( ): ${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}\Longrightarrow \tau _{ij}=\tau _{ji}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}r&:&{\frac {\partial u_{r}}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+u_{z}{\frac {\partial u_{r}}{\partial z}}-{\frac {u_{\phi }^{2}}{r}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {1}{r\rho }}{\frac {\partial \left(r\tau _{rr}\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{r\rho }}{\frac {\partial \tau _{\phi r}}{\partial \phi }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{zr}}{\partial z}}-{\frac {\tau _{\phi \phi }}{r\rho }}+f_{r}\\[8pt]\phi &:&{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r}}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{z}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial z}}+{\frac {u_{r}u_{\phi }}{r}}&=-{\frac {1}{r\rho }}{\frac {\partial P}{\partial \phi }}+{\frac {1}{r\rho }}{\frac {\partial \tau _{\phi \phi }}{\partial \phi }}+{\frac {1}{r^{2}\rho }}{\frac {\partial \left(r^{2}\tau _{r\phi }\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{z\phi }}{\partial z}}+f_{\phi }\\[8pt]z&:&{\frac {\partial u_{z}}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r}}{\frac {\partial u_{z}}{\partial \phi }}+u_{z}{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial z}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{zz}}{\partial z}}+{\frac {1}{r\rho }}{\frac {\partial \tau _{\phi z}}{\partial \phi }}+{\frac {1}{r\rho }}{\frac {\partial \left(r\tau _{rz}\right)}{\partial r}}+f_{z}\end{aligned}}}$$

Véase también

• Ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos)
• Ecuaciones de Navier-Stokes
• Ecuaciones de Burnett
• Expansión de Chapman-Enskog

Notas

1. En 3D por ejemplo, con respecto a algún sistema de coordenadas, el vector j tiene 3 componentes, mientras que los tensores σ y F tienen 9 (3×3), por lo que las formas explícitas escritas como matrices serían: Nótese, sin embargo, que si es simétrica, F solo contendrá 6 grados de libertad . Y la simetría de F es equivalente a la simetría de σ (que estará presente para los tensores de tensión de Cauchy más comunes ), ya que las díadas de vectores consigo mismas son siempre simétricas. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {j} }&={\begin{pmatrix}\rho u_{1}\\\rho u_{2}\\\rho u_{3}\end{pmatrix}}\\{\mathbf {s} }&={\begin{pmatrix}\rho g_{1}\\\rho g_{2}\\\rho g_{3}\end{pmatrix}}\\{\mathbf {F} }&={\begin{pmatrix}\rho u_{1}^{2}+\sigma _{11}&\rho u_{1}u_{2}+\sigma _{12}&\rho u_{1}u_{3}+\sigma _{13}\\\rho u_{2}u_{1}+\sigma _{12}&\rho u_{2}^{2}+\sigma _{22}&\rho u_{2}u_{3}+\sigma _{23}\\\rho u_{3}u_{1}+\sigma _{13}&\rho u_{3}u_{2}+\sigma _{23}&\rho u_{3}^{2}+\sigma _{33}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

Referencias

1. Acheson, DJ (1990). Dinámica de fluidos elemental . Oxford University Press . pág. 205. ISBN 0-19-859679-0.
2. Berdahl, CI; Strang, WZ (octubre de 1986). Comportamiento de un tensor de tensión asimétrico influenciado por la vorticidad en el flujo de fluidos (PDF) (Informe). AIR FORCE WRIGHT AERONAUTICAL LABORATORIES. p. 13 (Debajo de la ecuación principal, los autores describen ). ${\displaystyle \sigma _{ki,k}=\partial \sigma _{ki}/\partial x_{k}=\nabla \cdot \sigma }$
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