En álgebra abstracta , el término asociador se utiliza de distintas maneras como medida de la no asociatividad de una estructura algebraica . Los asociadores se estudian habitualmente como sistemas triples .
Para un anillo o álgebra no asociativa R , el asociador es la función multilineal dada por
Al igual que el conmutador
mide el grado de no conmutatividad , el asociador mide el grado de no asociatividad de R. Para un anillo asociativo o álgebra, el asociador es idénticamente cero.
El asociador en cualquier anillo obedece a la identidad
El asociador es alternante precisamente cuando R es un anillo alternativo .
El asociador es simétrico en sus dos argumentos más a la derecha cuando R es un álgebra anterior a Lie .
El núcleo es el conjunto de elementos que se asocian con todos los demás: es decir, los n en R tales que
El núcleo es un subanillo asociativo de R.
Un cuasigrupo Q es un conjunto con una operación binaria tal que para cada a , b en Q , las ecuaciones y tienen soluciones únicas x , y en Q . En un cuasigrupo Q , el asociador es la función definida por la ecuación
para todos a , b , c en Q . Al igual que con su análogo de teoría de anillos, el asociador de cuasigrupo es una medida de no asociatividad de Q .
En el álgebra de dimensiones superiores , donde puede haber morfismos no idénticos entre expresiones algebraicas, un asociador es un isomorfismo.
En la teoría de categorías , el asociador expresa las propiedades asociativas del funtor del producto interno en categorías monoidales .
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ,\cdot ]:R\veces R\veces R\a R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c21c2636857129351846852fa03966fa47c83b99)
![{\displaystyle [x,y,z]=(xy)zx(yz).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5e44f6b788a502ce2833621d6871c1fa2a89993)
![{\displaystyle [x,y]=xy-yx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42b4220c8122ebd2a21c517ca80639581679cfa6)
![{\displaystyle w[x,y,z]+[w,x,y]z=[wx,y,z]-[w,xy,z]+[w,x,yz].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec38ef54e22fb31fb569021bea5ff79f12c756ee)
![{\displaystyle [n,R,R]=[R,n,R]=[R,R,n]=\{0\}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb8a21a657e4199b3548278ec6100e3da78b9ee)
