En física nuclear , física atómica y química nuclear , el modelo de capas nucleares utiliza el principio de exclusión de Pauli para modelar la estructura de los núcleos atómicos en términos de niveles de energía. [1] El primer modelo de capas fue propuesto por Dmitri Ivanenko (junto con E. Gapon) en 1932. El modelo fue desarrollado en 1949 tras el trabajo independiente de varios físicos, en particular Maria Goeppert Mayer y J. Hans D. Jensen , que recibieron el Premio Nobel de Física en 1963 por sus contribuciones a este modelo, y Eugene Wigner , que recibió el Premio Nobel junto con ellos por su trabajo anterior sobre los núcleos atómicos. [2]
El modelo de capas nucleares es en parte análogo al modelo de capas atómicas , que describe la disposición de los electrones en un átomo, en el sentido de que una capa llena da como resultado una mejor estabilidad. Al agregar nucleones ( protones y neutrones ) a un núcleo, hay ciertos puntos donde la energía de enlace del siguiente nucleón es significativamente menor que la del último. Esta observación de que existen números cuánticos mágicos específicos de nucleones ( 2, 8, 20, 28, 50, 82 y 126 ) que están más fuertemente ligados que el siguiente número más alto es el origen del modelo de capas.
Las capas de protones y neutrones son independientes entre sí. Por lo tanto, pueden existir tanto "núcleos mágicos", en los que un tipo de nucleón u otro se encuentra en un número mágico, como " núcleos cuánticos doblemente mágicos ", en los que se encuentran ambos. Debido a las variaciones en el llenado orbital, los números mágicos superiores son 126 y, especulativamente, 184 para los neutrones, pero solo 114 para los protones, lo que desempeña un papel en la búsqueda de la llamada isla de estabilidad . Se han encontrado algunos números semimágicos, en particular Z = 40 , que da el llenado de la capa nuclear para los diversos elementos; 16 también puede ser un número mágico. [3]
Para obtener estos números, el modelo de capas nucleares parte de un potencial medio con una forma intermedia entre el pozo cuadrado y el oscilador armónico . A este potencial se le añade un término de espín-órbita. Aun así, la perturbación total no coincide con el experimento, y se debe añadir un acoplamiento espín-órbita empírico con al menos dos o tres valores diferentes de su constante de acoplamiento, dependiendo de los núcleos estudiados.
Los números mágicos de los núcleos, así como otras propiedades, se pueden obtener aproximando el modelo con un oscilador armónico tridimensional más una interacción espín-órbita . Un potencial más realista pero complicado se conoce como potencial de Woods-Saxon .
Consideremos un oscilador armónico tridimensional . Esto daría, por ejemplo, en los tres primeros niveles (" ℓ " es el número cuántico del momento angular ):
Los núcleos se construyen añadiendo protones y neutrones . Estos siempre llenarán el nivel más bajo disponible, con los dos primeros protones llenando el nivel cero, los siguientes seis protones llenando el nivel uno, y así sucesivamente. Al igual que con los electrones en la tabla periódica , los protones en la capa más externa estarán relativamente poco unidos al núcleo si solo hay unos pocos protones en esa capa porque están más alejados del centro del núcleo. Por lo tanto, los núcleos con una capa de protones externa completa tendrán una energía de enlace nuclear más alta que otros núcleos con un número total similar de protones. Lo mismo es cierto para los neutrones.
Esto significa que se espera que los números mágicos sean aquellos en los que todas las capas ocupadas estén llenas. De acuerdo con el experimento, obtenemos 2 (nivel 0 lleno) y 8 (niveles 0 y 1 llenos) para los dos primeros números. Sin embargo, el conjunto completo de números mágicos no resulta correcto. Estos se pueden calcular de la siguiente manera:
En particular, las primeras seis conchas son:
donde para cada ℓ hay 2 ℓ +1 valores diferentes de m l y 2 valores de m s , dando un total de 4 estados ℓ +2 para cada nivel específico.
Estos números son el doble de los valores de los números triangulares del Triángulo de Pascal: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ....
A continuación incluimos una interacción espín-órbita . Primero, tenemos que describir el sistema mediante los números cuánticos j , m j y paridad en lugar de ℓ , m l y m s , como en el átomo similar al hidrógeno . Dado que cada nivel par incluye solo valores pares de ℓ , incluye solo estados de paridad par (positiva). De manera similar, cada nivel impar incluye solo estados de paridad impar (negativa). Por lo tanto, podemos ignorar la paridad al contar estados. Las primeras seis capas, descritas por los nuevos números cuánticos, son
donde para cada j hay 2 j + 1 estados diferentes a partir de diferentes valores de m j .
Debido a la interacción espín-órbita, las energías de los estados del mismo nivel pero con diferente j ya no serán idénticas. Esto se debe a que en los números cuánticos originales, cuando es paralela a , la energía de interacción es positiva, y en este caso j = ℓ + s = ℓ + 1/2 . Cuando es antiparalelo a (es decir, alineado de manera opuesta), la energía de interacción es negativa y, en este caso, j = ℓ − s = ℓ − 1/2 . Además, la fuerza de la interacción es aproximadamente proporcional aℓ.
Por ejemplo, consideremos los estados del nivel 4:
El potencial del oscilador armónico crece infinitamente a medida que la distancia desde el centro r tiende al infinito. Un potencial más realista, como el potencial de Woods-Saxon , se acercaría a una constante en este límite. Una consecuencia principal es que el radio promedio de las órbitas de los nucleones sería mayor en un potencial realista. Esto conduce a un término reducido en el operador de Laplace del operador hamiltoniano . Otra diferencia principal es que las órbitas con radios promedio altos, como aquellas con n alto o ℓ alto, tendrán una energía menor que en un potencial de oscilador armónico. Ambos efectos conducen a una reducción en los niveles de energía de las órbitas con ℓ alto .
Junto con la interacción espín-órbita, y para magnitudes apropiadas de ambos efectos, se llega al siguiente cuadro cualitativo: en todos los niveles, los estados j más altos tienen sus energías desplazadas hacia abajo, especialmente para n alto (donde el j más alto es alto). Esto se debe tanto a la energía de interacción espín-órbita negativa como a la reducción de energía resultante de la deformación del potencial en uno más realista. Los estados j que están en segundo lugar , por el contrario, tienen su energía desplazada hacia arriba por el primer efecto y hacia abajo por el segundo efecto, lo que lleva a un pequeño desplazamiento general. Los desplazamientos en la energía de los estados j más altos pueden, por tanto, acercar la energía de los estados de un nivel a la energía de los estados de un nivel inferior. Las "capas" del modelo de capas ya no son idénticas a los niveles denotados por n , y los números mágicos cambian.
Podemos suponer entonces que los estados j más altos para n = 3 tienen una energía intermedia entre las energías promedio de n = 2 y n = 3, y suponer que los estados j más altos para n mayores (al menos hasta n = 7) tienen una energía más cercana a la energía promedio de n − 1 . Entonces obtenemos las siguientes capas (ver la figura)
etcétera.
Nótese que los números de estados después de la 4ta capa son números triangulares duplicados más dos . El acoplamiento espín-órbita hace que los llamados 'niveles intrusos' caigan desde la siguiente capa superior a la estructura de la capa anterior. Los tamaños de los intrusos son tales que los tamaños de capa resultantes se incrementan a su vez a los siguientes números triangulares duplicados más altos a partir de los del oscilador armónico. Por ejemplo, 1f2p tiene 20 nucleones, y el acoplamiento espín-órbita agrega 1g9/2 (10 nucleones), lo que lleva a una nueva capa con 30 nucleones. 1g2d3s tiene 30 nucleones, y agregar el intruso 1h11/2 (12 nucleones) produce un nuevo tamaño de capa de 42, y así sucesivamente.
Los números mágicos son entonces
y así sucesivamente. Esto proporciona todos los números mágicos observados y también predice uno nuevo (la llamada isla de estabilidad ) en el valor de 184 (para los protones, el número mágico 126 aún no se ha observado, y consideraciones teóricas más complicadas predicen que el número mágico será 114 en su lugar).
Otra forma de predecir números mágicos (y semimágicos) es mediante el diseño del orden de llenado idealizado (con división de espín-órbita pero con niveles de energía sin superposición). Para mantener la coherencia, s se divide en j = 1/2 y j = − 1/2 componentes con 2 y 0 miembros respectivamente. Tomando los recuentos totales más a la izquierda y más a la derecha dentro de secuencias delimitadas por / aquí se obtienen los números mágicos y semimágicos.
Los números mágicos predichos más a la derecha de cada par dentro de los cuartetos atravesados por / son números tetraédricos dobles del Triángulo de Pascal: 2, 8, 20, 40, 70, 112, 168, 240 son 2x 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, ..., y los miembros más a la izquierda de los pares difieren de los más a la derecha en números triangulares dobles: 2 − 2 = 0, 8 − 6 = 2, 20 − 14 = 6, 40 − 28 = 12, 70 − 50 = 20, 112 − 82 = 30, 168 − 126 = 42, 240 − 184 = 56, donde 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, ... son 2 × 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... .
Este modelo también predice o explica con cierto éxito otras propiedades de los núcleos, en particular el espín y la paridad de los estados fundamentales de los núcleos y, en cierta medida, también sus estados nucleares excitados .17
8O ( oxígeno-17 ) como ejemplo: Su núcleo tiene ocho protones que llenan las primeras tres "capas" de protones, ocho neutrones que llenan las primeras tres "capas" de neutrones y un neutrón adicional. Todos los protones en una capa de protones completa tienen un momento angular total cero , ya que sus momentos angulares se cancelan entre sí. Lo mismo es cierto para los neutrones. Todos los protones en el mismo nivel ( n ) tienen la misma paridad (ya sea +1 o −1), y como la paridad de un par de partículas es el producto de sus paridades, un número par de protones del mismo nivel ( n ) tendrá paridad +1. Por lo tanto, el momento angular total de los ocho protones y los primeros ocho neutrones es cero, y su paridad total es +1. Esto significa que el espín (es decir, el momento angular) del núcleo, así como su paridad, están completamente determinados por el del noveno neutrón. Este se encuentra en el primer estado (es decir, el de menor energía) de la cuarta capa, que es una capa d ( ℓ = 2), y dado que p = (−1) ℓ , esto le da al núcleo una paridad general de +1. Esta cuarta capa d tiene una j = 5/2 , así el núcleo de17
8Se espera que O tenga paridad positiva y momento angular total .5/2 , lo cual en efecto ha sucedido.
Las reglas para el ordenamiento de las capas del núcleo son similares a las reglas de Hund de las capas atómicas, sin embargo, a diferencia de su uso en la física atómica, la finalización de una capa no se indica al alcanzar la siguiente n , por lo que el modelo de capas no puede predecir con precisión el orden de los estados excitados del núcleo, aunque es muy exitoso en la predicción de los estados fundamentales. El orden de los primeros términos se enumeran de la siguiente manera: 1s, 1p 3/21p1/21d5/22s , 1d3/2... Para mayor aclaración sobre la notación consulte el artículo sobre el símbolo del término Russell-Saunders .
Para núcleos más alejados de los números cuánticos mágicos, se debe añadir el supuesto de que, debido a la relación entre la fuerza nuclear fuerte y el momento angular total, los protones o neutrones con el mismo n tienden a formar pares de momentos angulares opuestos. Por lo tanto, un núcleo con un número par de protones y un número par de neutrones tiene espín 0 y paridad positiva. Un núcleo con un número par de protones y un número impar de neutrones (o viceversa) tiene la paridad del último neutrón (o protón), y el espín igual al momento angular total de este neutrón (o protón). Por "último" nos referimos a las propiedades que provienen del nivel de energía más alto.
En el caso de un núcleo con un número impar de protones y un número impar de neutrones, se debe considerar el momento angular total y la paridad tanto del último neutrón como del último protón. La paridad del núcleo será un producto de la de ambos, mientras que el espín del núcleo será uno de los posibles resultados de la suma de sus momentos angulares (siendo otros posibles resultados los estados excitados del núcleo).
El ordenamiento de los niveles de momento angular dentro de cada capa se realiza de acuerdo con los principios descritos anteriormente, debido a la interacción espín-órbita, con estados de alto momento angular que tienen sus energías desplazadas hacia abajo debido a la deformación del potencial (es decir, pasando de un potencial de oscilador armónico a uno más realista). Sin embargo, para los pares de nucleones, a menudo es energéticamente favorable estar en un momento angular alto, incluso si su nivel de energía para un solo nucleón sería más alto. Esto se debe a la relación entre el momento angular y la fuerza nuclear fuerte .
El momento magnético nuclear de neutrones y protones se predice en parte mediante esta versión simple del modelo de capas. El momento magnético se calcula a través de j , ℓ y s del "último" nucleón, pero los núcleos no están en estados de ℓ y s bien definidos . Además, para núcleos impares-impares , uno tiene que considerar los dos "últimos" nucleones, como en el deuterio . Por lo tanto, uno obtiene varias respuestas posibles para el momento magnético nuclear, una para cada posible estado combinado de ℓ y s , y el estado real del núcleo es una superposición de ellos. Por lo tanto, el momento magnético nuclear real (medido) está en algún lugar entre las posibles respuestas.
El dipolo eléctrico de un núcleo es siempre cero, porque su estado fundamental tiene una paridad definida. La densidad de materia ( ψ 2 , donde ψ es la función de onda ) es siempre invariante bajo paridad. Esta suele ser la situación con el dipolo eléctrico atómico .
Esta versión simple del modelo de capas no permite predecir momentos multipolares eléctricos y magnéticos más elevados por razones similares a las del caso del deuterio .
En el caso de núcleos con dos o más nucleones de valencia (es decir, nucleones fuera de una capa cerrada), se debe añadir una interacción residual de dos cuerpos. Este término residual proviene de la parte de la interacción entre nucleones no incluida en el potencial medio aproximado. Mediante esta inclusión, se mezclan diferentes configuraciones de capas y se rompe la degeneración energética de los estados correspondientes a la misma configuración. [5] [6]
Estas interacciones residuales se incorporan mediante cálculos de modelos de capas en un espacio modelo truncado (o espacio de valencia). Este espacio está abarcado por una base de estados de múltiples partículas donde solo los estados de una sola partícula en el espacio modelo están activos. La ecuación de Schrödinger se resuelve sobre esta base, utilizando un hamiltoniano efectivo específicamente adaptado al espacio modelo. Este hamiltoniano es diferente del de los nucleones libres ya que, entre otras cosas, tiene que compensar las configuraciones excluidas. [6]
Se puede prescindir por completo de la aproximación del potencial promedio extendiendo el espacio del modelo hasta el núcleo previamente inerte y tratando todos los estados de partículas individuales hasta el truncamiento del espacio del modelo como activos. Esto forma la base del modelo de capa sin núcleo , que es un método ab initio . Es necesario incluir una interacción de tres cuerpos en dichos cálculos para lograr una concordancia con los experimentos. [7]
En 1953 se encontraron los primeros ejemplos experimentales de bandas rotacionales en núcleos, con sus niveles de energía siguiendo el mismo patrón de energías J(J+1) que en las moléculas rotatorias. Desde el punto de vista de la mecánica cuántica, es imposible tener una rotación colectiva de una esfera, por lo que esto implicaba que la forma de estos núcleos no era esférica. En principio, estos estados rotacionales podrían haberse descrito como superposiciones coherentes de excitaciones de partículas-huecos en la base consistente en estados de partículas individuales del potencial esférico. Pero en realidad, la descripción de estos estados de esta manera es intratable, debido a una gran cantidad de partículas de valencia, y esta intratabilidad era aún mayor en la década de 1950, cuando la potencia de cálculo era extremadamente rudimentaria. Por estas razones, Aage Bohr , Ben Mottelson y Sven Gösta Nilsson construyeron modelos en los que el potencial se deformaba en una forma elipsoidal. El primer modelo exitoso de este tipo ahora se conoce como el modelo de Nilsson . En esencia, se trata del modelo de oscilador armónico descrito en este artículo, pero con anisotropía añadida, de modo que las frecuencias del oscilador a lo largo de los tres ejes cartesianos no son todas iguales. Normalmente, la forma es un elipsoide alargado, cuyo eje de simetría se toma como z. Como el potencial no es esféricamente simétrico, los estados de una sola partícula no son estados de buen momento angular J. Sin embargo, se puede añadir un multiplicador de Lagrange , conocido como término de "cranking", al hamiltoniano. Normalmente, el vector de frecuencia angular ω se toma perpendicular al eje de simetría, aunque también se puede considerar el cranking de eje inclinado. Al completar los estados de una sola partícula hasta el nivel de Fermi se producen estados cuyo momento angular esperado a lo largo del eje de cranking es el valor deseado.
Igal Talmi desarrolló un método para obtener información de datos experimentales y utilizarla para calcular y predecir energías que no se habían medido. Este método ha sido utilizado con éxito por muchos físicos nucleares y ha permitido una comprensión más profunda de la estructura nuclear. Se desarrolló la teoría que proporciona una buena descripción de estas propiedades. Esta descripción resultó ser la base del modelo de capas del elegante y exitoso modelo de bosón interactuante .
Un modelo derivado del modelo de capas nucleares es el modelo de partículas alfa desarrollado por Henry Margenau , Edward Teller , JK Pering, TH Skyrme , también llamado a veces modelo Skyrme . [8] [9] Sin embargo, hay que tener en cuenta que el modelo Skyrme suele tomarse como un modelo del propio nucleón, como una "nube" de mesones (piones), en lugar de como un modelo del núcleo como una "nube" de partículas alfa.
