El modelo de Nilsson es un modelo de capa nuclear que trata el núcleo atómico como una esfera deformada. En 1953, se encontraron los primeros ejemplos experimentales de bandas rotacionales en núcleos, con sus niveles de energía siguiendo el mismo patrón de energías J(J+1) que en las moléculas en rotación. En mecánica cuántica, es imposible tener una rotación colectiva de una esfera, por lo que esto implicaba que la forma de estos núcleos era no esférica. En principio, estos estados de rotación podrían describirse como superposiciones coherentes de excitaciones de huecos de partículas en la base de estados de potencial esférico de una sola partícula. Pero, en realidad, la descripción de estos estados de esta manera es difícil de resolver, debido al gran número de partículas de valencia, y esta dificultad era aún mayor en la década de 1950, cuando la potencia de cálculo era extremadamente rudimentaria. Por estas razones, Aage Bohr , Ben Mottelson y Sven Gösta Nilsson construyeron modelos en los que el potencial se deformaba hasta adoptar una forma elipsoidal. El primer modelo exitoso de este tipo es el que ahora se conoce como modelo de Nilsson. Es esencialmente un modelo de capa nuclear que utiliza un potencial de oscilador armónico, pero con anisotropía añadida, de modo que las frecuencias del oscilador a lo largo de los tres ejes cartesianos no son todas iguales. Normalmente, la forma es un elipsoide alargado, cuyo eje de simetría se considera z.
Para una forma axialmente simétrica cuyo eje de simetría es el eje z, el hamiltoniano es
Aquí m es la masa del nucleón, N es el número total de cuantos del oscilador armónico en la base esférica, es el operador del momento angular orbital, es su cuadrado (con valores propios ), es el valor promedio de sobre la capa N y s es el giro intrínseco.
La anisotropía del potencial es tal que la longitud de un equipotencial a lo largo de z es mayor que la longitud en los ejes transversales en la relación . Esto se expresa convencionalmente en términos de un parámetro de deformación δ de modo que la parte del potencial del oscilador armónico se puede escribir como la suma de un oscilador armónico esféricamente simétrico y un término proporcional a δ. Los valores positivos de δ indican deformaciones prolatas, como una pelota de fútbol americano. La mayoría de los núcleos en sus estados fundamentales tienen formas de equilibrio tales que δ varía de 0 a 0,2, mientras que los estados superdeformados tienen (una relación de ejes de 2 a 1).
Los detalles matemáticos de los parámetros de deformación son los siguientes. Considerando el éxito del modelo de gota de líquido nuclear , en el que se considera que el núcleo es un fluido incompresible, las frecuencias del oscilador armónico se limitan de modo que permanece constante con la deformación, preservando el volumen de las superficies equipotenciales. Reproducir la densidad observada de la materia nuclear requiere , donde A es el número másico. La relación entre δ y la anisotropía es , mientras que la relación entre δ y la relación del eje es .
Los dos términos restantes del hamiltoniano no se relacionan con la deformación y también están presentes en el modelo de capa esférica. El término órbita de espín representa la dependencia de la órbita de espín de la fuerza nuclear fuerte ; es mucho más grande y tiene el signo opuesto en comparación con la división relativista especial de la órbita de espín. El objetivo del término es simular el perfil plano del potencial nuclear en función del radio. Para las funciones de onda nucleares (a diferencia de las funciones de onda atómicas), los estados con un momento angular alto tienen su densidad de probabilidad concentrada en radios mayores. El término evita que esto mueva un caparazón importante hacia arriba o hacia abajo en su conjunto. Las dos constantes ajustables se parametrizan convencionalmente como y . Los valores típicos de κ y μ para núcleos pesados son 0,06 y 0,5. Con esta parametrización, se produce como un factor de escala simple a lo largo de todos los cálculos.
Para facilitar el cálculo utilizando los recursos computacionales de la década de 1950, Nilsson utilizó una base que constaba de estados propios del hamiltoniano esférico. Los números cuánticos de Nilsson son . La diferencia entre el hamiltoniano esférico y el deformado es proporcional a y tiene elementos matriciales que son fáciles de calcular sobre esta base. Acoplan las diferentes capas N. Los estados propios del hamiltoniano deformado tienen buena paridad (correspondiente a N par o impar) y Ω, la proyección del momento angular total a lo largo del eje de simetría. En ausencia de un término de arranque (ver más abajo), la simetría de inversión temporal hace que los estados con signos opuestos de Ω se degeneren, de modo que en los cálculos solo se deben considerar valores positivos de Ω.
En un núcleo impar y bien deformado, los niveles de una sola partícula se llenan hasta el nivel de Fermi, y el Ω y la paridad de la partícula impar dan el espín y la paridad del estado fundamental.
Debido a que el potencial no es esféricamente simétrico, los estados de una sola partícula no son estados de buen momento angular J. Sin embargo, se puede agregar al hamiltoniano un multiplicador de Lagrange, conocido como término de "arranque". Por lo general, el vector de frecuencia angular ω se considera perpendicular al eje de simetría, aunque también se puede considerar el giro del eje inclinado. Llenar los estados de una sola partícula hasta el nivel de Fermi produce estados cuyo momento angular esperado a lo largo del eje de arranque tiene el valor deseado establecido por el multiplicador de Lagrange.
A menudo se quiere calcular la energía total en función de la deformación. Los mínimos de esta función son formas de equilibrio predichas. Sumar las energías de una sola partícula no funciona para este propósito, en parte porque los términos cinético y potencial están desproporcionados en un factor de dos, y en parte porque en la suma se acumulan pequeños errores en las energías. Por esta razón, estas sumas suelen renormalizarse mediante un procedimiento introducido por Strutinsky.
Los niveles de una sola partícula se pueden mostrar en un "gráfico de espagueti", como funciones de la deformación. Una gran brecha entre los niveles de energía con deformación cero indica un número de partículas en el que hay un cierre de capa: los tradicionales " números mágicos ". Cualquier espacio de este tipo, con una deformación cero o distinta de cero, indica que cuando el nivel de Fermi esté a esa altura, el núcleo será estable en relación con el modelo de gota de líquido.
