Media aritmética-geométrica

Mathematical function of two positive real arguments

"Gráfico de la media aritmético-geométrica entre varias medias generalizadas ". ${\displaystyle \operatorname {agm} (1,x)}$

En matemáticas , la media aritmético-geométrica (AGM o agM ^[1] ) de dos números reales positivos x e y es el límite mutuo de una secuencia de medias aritméticas y una secuencia de medias geométricas . La media aritmético-geométrica se utiliza en algoritmos rápidos para funciones exponenciales , trigonométricas y otras funciones especiales , así como algunas constantes matemáticas , en particular, para calcular π .

La AGM se define como el límite de las secuencias interdependientes y . Suponiendo , escribimos: Estas dos secuencias convergen en el mismo número, la media aritmético-geométrica de x e y ; se denota por M ( x , y ) , o a veces por agm( x , y ) o AGM( x , y ) . ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle x\geq y\geq 0}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=x,\\g_{0}&=y\\a_{n+1}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}+g_{n}),\\g_{n+1}&={\sqrt {a_{n}g_{n}}}\,.\end{aligned}}}$$

La media aritmético-geométrica se puede extender a números complejos y, cuando se permite tomar las ramas de la raíz cuadrada de manera inconsistente, generalmente es una función multivaluada . ^[1]

Ejemplo

Para encontrar la media aritmético-geométrica de a ₀ = 24 y g ₀ = 6 , itere de la siguiente manera: Las primeras cinco iteraciones dan los siguientes valores: $${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}a_{1}&=&{\tfrac {1}{2}}(24+6)&=&15\\g_{1}&=&{\sqrt {24\cdot 6}}&=&12\\a_{2}&=&{\tfrac {1}{2}}(15+12)&=&13.5\\g_{2}&=&{\sqrt {15\cdot 12}}&=&13.416\ 407\ 8649\dots \\&&\vdots &&\end{array}}}$$

El número de dígitos en los que a _n y g _n concuerdan (subrayados) aproximadamente se duplica con cada iteración. La media aritmético-geométrica de 24 y 6 es el límite común de estas dos secuencias, que es aproximadamente13.458 171 481 725 615 420 766 813 156 974 399 243 053 838 8544 . ^[2]

Historia

El primer algoritmo basado en este par de secuencias apareció en los trabajos de Lagrange . Sus propiedades fueron analizadas más a fondo por Gauss . ^[1]

Propiedades

Tanto la media geométrica como la media aritmética de dos números positivos xey están entre los dos números. (Están estrictamente entre cuando x ≠ y ). La media geométrica de dos números positivos nunca es mayor que la media aritmética . ^[3] Entonces las medias geométricas son una secuencia creciente g ₀ ≤ g ₁ ≤ g ₂ ≤ ... ; las medias aritméticas son una secuencia decreciente a ₀ ≥ a ₁ ≥ a ₂ ≥ ... ; y g _n ≤ M ( x , y ) ≤ a _n para cualquier n . Estas son desigualdades estrictas si x ≠ y .

M ( x , y ) es , por tanto ,un número entre xey ; también está entre la media geométrica y aritmética de x e y .

Si r ≥ 0 entonces M ( rx , ry ) = r M ( x , y ) .

Existe una expresión en forma integral para M ( x , y ) : ^[4] donde K ( k ) es la integral elíptica completa de primer tipo : dado que el proceso aritmético-geométrico converge tan rápidamente, proporciona una manera eficiente de calcular Integrales elípticas, que se utilizan, por ejemplo, en el diseño de filtros elípticos . ^[5] $${\displaystyle {\begin{aligned}M(x,y)&={\frac {\pi }{2}}\left(\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}\right)^{-1}\\&=\pi \left(\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {t(t+x^{2})(t+y^{2})}}}\right)^{-1}\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}}$$

La media aritmético-geométrica está conectada a la función theta de Jacobi mediante ^[6] que, al configurarla, da ${\displaystyle \theta _{3}}$ $${\displaystyle M(1,x)=\theta _{3}^{-2}\left(\exp \left(-\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)=\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }\exp \left(-n^{2}\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)^{-2},}$$ ${\displaystyle x=1/{\sqrt {2}}}$ $${\displaystyle M(1,1/{\sqrt {2}})=\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-n^{2}\pi }\right)^{-2}.}$$

Conceptos relacionados

El recíproco de la media aritmético-geométrica de 1 y la raíz cuadrada de 2 es la constante de Gauss . En 1799, Gauss demostró ^{[nota 1]} que dónde está la constante lemniscata . $${\displaystyle {\frac {1}{M(1,{\sqrt {2}})}}=G=0.8346268\dots }$$ $${\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})={\frac {\pi }{\varpi }}}$$ ${\displaystyle \varpi }$

En 1941, (y por tanto ) Theodor Schneider demostró ser trascendental . ^{[nota 2] [7] [8]} El conjunto es algebraicamente independiente sobre , ^{[9] [10]} pero el conjunto (donde el primo denota la derivada con respecto a la segunda variable) no es algebraicamente independiente sobre . De hecho, ^[11] La media geométrica-armónica GH se puede calcular usando secuencias análogas de medias geométricas y armónicas , y de hecho GH( x , y ) = 1/ M (1/ x , 1/ y ) = xy / M ( x , y ) . ^[12] La media aritmético-armónica es equivalente a la media geométrica . ${\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{\pi ,M(1,1/{\sqrt {2}})\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \{\pi ,M(1,1/{\sqrt {2}}),M'(1,1/{\sqrt {2}})\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ $${\displaystyle \pi =2{\sqrt {2}}{\frac {M^{3}(1,1/{\sqrt {2}})}{M'(1,1/{\sqrt {2}})}}.}$$

La media aritmético-geométrica se puede utilizar para calcular, entre otros, logaritmos , integrales elípticas completas e incompletas de primer y segundo tipo , ^[13] y funciones elípticas de Jacobi . ^[14]

Prueba de existencia

La desigualdad de medias aritméticas y geométricas implica que , por lo tanto, la secuencia g _n no es decreciente y está acotada arriba por el mayor de x e y . Según el teorema de convergencia monótona , la secuencia es convergente, por lo que existe una g tal que: Sin embargo, también podemos ver que: y entonces: $${\displaystyle g_{n}\leq a_{n}}$$ $${\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {g_{n}\cdot a_{n}}}\geq {\sqrt {g_{n}\cdot g_{n}}}=g_{n}}$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }g_{n}=g}$$ $${\displaystyle a_{n}={\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}}$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}={\frac {g^{2}}{g}}=g}$$

QED

Prueba de la expresión en forma integral

Esta prueba la da Gauss. ^[1] dejar

$${\displaystyle I(x,y)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}},}$$

Cambiando la variable de integración a , donde ${\displaystyle \theta '}$

$${\displaystyle \sin \theta ={\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},}$$

$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},}$$

$${\displaystyle \cos \theta \ d\theta =2x{\frac {(x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta '}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}\ \cos \theta 'd\theta '\ ,}$$

$${\displaystyle d\theta ={\frac {2x\cos \theta '((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '){\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}}}d\theta '\ ,}$$ $${\displaystyle x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta ={\frac {x^{2}((x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta ')+4x^{2}y^{2}\sin ^{2}\theta '}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}={\frac {x^{2}((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}}$$

Esto produce $${\displaystyle {\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {2x\cos \theta '((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '){\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}}}{\frac {((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{x((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}}={\frac {2\cos \theta 'd\theta '}{\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}},}$$

da

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta '}{\sqrt {{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y){\bigr )}^{2}\cos ^{2}\theta '+{\bigl (}{\sqrt {xy}}{\bigr )}^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&=I{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}(x+y),{\sqrt {xy}}{\bigr )}.\end{aligned}}}$$

Así, tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=I(a_{1},g_{1})=I(a_{2},g_{2})=\cdots \\&=I{\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}=\pi /{\bigr (}2M(x,y){\bigl )}.\end{aligned}}}$$La última igualdad surge de observar eso . ${\displaystyle I(z,z)=\pi /(2z)}$

Finalmente obtenemos el resultado deseado.

$${\displaystyle M(x,y)=\pi /{\bigl (}2I(x,y){\bigr )}.}$$

Aplicaciones

El númeroπ

Según el algoritmo de Gauss-Legendre , ^[15]

$${\displaystyle \pi ={\frac {4\,M(1,1/{\sqrt {2}})^{2}}{1-\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }2^{j+1}c_{j}^{2}}},}$$

dónde

$${\displaystyle c_{j}={\frac {1}{2}}\left(a_{j-1}-g_{j-1}\right),}$$

con y , que se puede calcular sin pérdida de precisión usando ${\displaystyle a_{0}=1}$ ${\displaystyle g_{0}=1/{\sqrt {2}}}$

$${\displaystyle c_{j}={\frac {c_{j-1}^{2}}{4a_{j}}}.}$$

Integral elíptica completak(pecadoα)

Tomando y cede la Asamblea General Anual ${\displaystyle a_{0}=1}$ ${\displaystyle g_{0}=\cos \alpha }$

$${\displaystyle M(1,\cos \alpha )={\frac {\pi }{2K(\sin \alpha )}},}$$

donde K ( k ) es una integral elíptica completa de primer tipo :

$${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\pi /2}(1-k^{2}\sin ^{2}\theta )^{-1/2}\,d\theta .}$$

Es decir, este trimestre podrá computarse eficientemente a través de la Asamblea General Anual, $${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2M(1,{\sqrt {1-k^{2}}})}}.}$$

Otras aplicaciones

Utilizando esta propiedad del AGM junto con las transformaciones ascendentes de John Landen , ^[16] Richard P. Brent [ ^17] sugirió los primeros algoritmos AGM para la evaluación rápida de funciones trascendentales elementales ( ex ^, cos  x , sin  x ). Posteriormente, muchos autores pasaron a estudiar el uso de los algoritmos AGM. ^[18]

Ver también

• La transformación de Landen
• Algoritmo de Gauss-Legendre
• Media generalizada

Referencias

Notas

1. En 1799, Gauss tenía dos demostraciones del teorema, pero ninguna de ellas era rigurosa desde el punto de vista moderno.
2. En particular, demostró que la función beta es trascendental para todo lo que . El hecho de que sea trascendental se deriva de ${\displaystyle \mathrm {B} (a,b)}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a+b\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}}$ ${\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}}\right).}$

Citas

1. Cox, David (enero de 1984). "La media aritmético-geométrica de Gauss". L'Enseignement Mathématique . 30 (2): 275–330.
2. agm(24, 6) en Wolfram Alpha
3. Bullen, PS (2003). "Las medias aritméticas, geométricas y armónicas". Manual de medias y sus desigualdades. Dordrecht: Springer Países Bajos. págs. 60-174. doi :10.1007/978-94-017-0399-4_2. ISBN 978-90-481-6383-0. Consultado el 11 de diciembre de 2023 .
4. Carson, antes de Cristo (2010). "Integrales elípticas". En Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.). Manual de funciones matemáticas del NIST . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-19225-5. SEÑOR  2723248..
5. Dimopoulos, Hércules G. (2011). Filtros electrónicos analógicos: teoría, diseño y síntesis. Saltador. págs. 147-155. ISBN 978-94-007-2189-0.
6. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.páginas 35, 40
7. Schneider, Theodor (1941). "Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 183 (19): 110-128. doi :10.1515/crll.1941.183.110. S2CID  118624331.
8. Todd, John (1975). "Las constantes de la lemniscata". Comunicaciones de la ACM . 18 (1): 14-19. doi : 10.1145/360569.360580 . S2CID  85873.
9. GV Choodnovsky: Independencia algebraica de constantes relacionadas con las funciones de análisis , Avisos de la AMS 22, 1975, p. A-486
10. GV Chudnovsky: Contribuciones a la teoría de los números trascendentales , Sociedad Matemática Estadounidense, 1984, p. 6
11. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.pag. 45
12. Newman, DJ (1985). "Una versión simplificada de los algoritmos rápidos de Brent y Salamin". Matemáticas de la Computación . 44 (169): 207–210. doi :10.2307/2007804. JSTOR  2007804.
13. Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 17". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. págs. 598–599. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. SEÑOR  0167642. LCCN  65-12253.
14. Rey, Luis V. (1924). Sobre el cálculo numérico directo de funciones elípticas e integrales. Prensa de la Universidad de Cambridge.
15. Salamin, Eugenio (1976). "Cálculo de π utilizando la media aritmético-geométrica". Matemáticas de la Computación . 30 (135): 565–570. doi :10.2307/2005327. JSTOR  2005327. SEÑOR  0404124.
16. Landen, Juan (1775). "Una investigación de un teorema general para encontrar la longitud de cualquier arco de cualquier hipérbola cónica, mediante dos arcos elípticos, con algunos otros teoremas nuevos y útiles deducidos de allí". Transacciones filosóficas de la Royal Society . 65 : 283–289. doi :10.1098/rstl.1775.0028. S2CID  186208828.
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18. Borwein, Jonathan M .; Borwein, Peter B. (1987). Pi y la Asamblea General Anual . Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-83138-7. SEÑOR  0877728.

Fuentes

• Daróczy, Zoltán; Pales, Zsolt (2002). "Composición de medios de Gauss y solución del problema de Matkowski-Suto". Publicaciones Mathematicae Debrecen . 61 (1–2): 157–218. doi :10.5486/PMD.2002.2713.
• "Proceso de media aritmético-geométrica". Enciclopedia de Matemáticas . Prensa EMS . 2001 [1994].
• Weisstein, Eric W. "Media aritmética-geométrica". MundoMatemático .