Aproximación de ángulos pequeños

Simplificación de las funciones trigonométricas básicas

Comportamiento aproximadamente igual de algunas funciones (trigonométricas) para x → 0

Las aproximaciones de ángulos pequeños se pueden utilizar para aproximar los valores de las principales funciones trigonométricas , siempre que el ángulo en cuestión sea pequeño y se mida en radianes :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &\approx \theta \\\cos \theta &\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1\\\tan \theta &\approx \theta \end{aligned}}}$

Estas aproximaciones tienen una amplia gama de usos en ramas de la física y la ingeniería , incluyendo la mecánica , el electromagnetismo , la óptica , la cartografía , la astronomía y la informática . ^{[1] [2]} Una razón para esto es que pueden simplificar en gran medida las ecuaciones diferenciales que no necesitan ser respondidas con absoluta precisión.

Existen varias formas de demostrar la validez de las aproximaciones de ángulos pequeños. El método más directo consiste en truncar la serie de Maclaurin para cada una de las funciones trigonométricas. Según el orden de la aproximación , , se aproxima como o como . ^[3] ${\displaystyle \textstyle \cos \theta }$ ${\displaystyle 1}$ ${\textstyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$

Justificaciones

Gráfico

La precisión de las aproximaciones se puede ver a continuación en la Figura 1 y la Figura 2. A medida que la medida del ángulo se acerca a cero, la diferencia entre la aproximación y la función original también se acerca a 0.

• 
  Figura 1. Comparación de las funciones trigonométricas impares básicas con θ . Se observa que a medida que el ángulo se acerca a 0, las aproximaciones son mejores.
• 
  Figura 2. Una comparación de cos θ con 1 − ⁠θ2^​/2⁠ . Se ve que a medida que el ángulo se acerca a 0 la aproximación se vuelve mejor.

Geométrico

La sección roja a la derecha, d , es la diferencia entre las longitudes de la hipotenusa, H , y el lado adyacente, A . Como se muestra, H y A tienen casi la misma longitud, lo que significa que cos θ está cerca de 1 y ⁠θ2^​/2⁠ ayuda a eliminar el rojo. $${\displaystyle \cos {\theta }\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$$

El cateto opuesto, O , es aproximadamente igual a la longitud del arco azul, s . Recopilando datos de geometría, s = Aθ , de trigonometría, sen θ = ⁠Oh/yo⁠ y tan θ = ⁠Oh/A⁠ , y de la imagen, O ≈ s y H ≈ A conduce a: $${\displaystyle \sin \theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan \theta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {A\theta }{A}}=\theta .}$$

Simplificando hojas, $${\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta .}$$

Cálculo

Utilizando el teorema de compresión , ^[4] podemos demostrar que es una reformulación formal de la aproximación para valores pequeños de θ . $${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1,}$$ ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$

Una aplicación más cuidadosa del teorema del apretón demuestra que , para valores pequeños de θ . $${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}=1,}$$ ${\displaystyle \tan(\theta )\approx \theta }$

Finalmente, la regla de L'Hôpital nos dice que que se reordena en para valores pequeños de θ . Alternativamente, podemos usar la fórmula del ángulo doble . Al hacer , obtenemos que . $${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\cos(\theta )-1}{\theta ^{2}}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {-\sin(\theta )}{2\theta }}=-{\frac {1}{2}},}$$ ${\textstyle \cos(\theta )\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle \cos 2A\equiv 1-2\sin ^{2}A}$ ${\displaystyle \theta =2A}$ ${\textstyle \cos \theta =1-2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$

Algebraico

La aproximación de ángulo pequeño para la función seno.

La expansión de Maclaurin (la expansión de Taylor alrededor de 0) de la función trigonométrica relevante es ^[5] donde θ es el ángulo en radianes. En términos más claros, $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\theta ^{2n+1}\\&=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{6}}+{\frac {\theta ^{5}}{120}}-{\frac {\theta ^{7}}{5040}}+\cdots }$$

Se ve fácilmente que el segundo término más significativo (de tercer orden) cae como el cubo del primer término; por lo tanto, incluso para un argumento no tan pequeño como 0,01, el valor del segundo término más significativo es del orden de0,000 001 , o ⁠1/10 000⁠ el primer término. Por lo tanto, se puede aproximar con seguridad: $${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$$

Por extensión, dado que el coseno de un ángulo pequeño es casi 1, y la tangente está dada por el seno dividido por el coseno, $${\displaystyle \tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta ,}$$

Números duales

También se pueden utilizar números duales , definidos como números en la forma , con y que satisfacen por definición y . Al utilizar la serie de MacLaurin de coseno y seno, se puede demostrar que y . Además, no es difícil demostrar que se cumple la identidad pitagórica : ${\displaystyle a+b\varepsilon }$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}$ ${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$ ${\displaystyle \cos(\theta \varepsilon )=1}$ ${\displaystyle \sin(\theta \varepsilon )=\theta \varepsilon }$ $${\displaystyle \sin ^{2}(\theta \varepsilon )+\cos ^{2}(\theta \varepsilon )=(\theta \varepsilon )^{2}+1^{2}=\theta ^{2}\varepsilon ^{2}+1=\theta ^{2}\cdot 0+1=1}$$

Error de las aproximaciones

Figura 3. Gráfico de los errores relativos para las aproximaciones de ángulos pequeños.

La figura 3 muestra los errores relativos de las aproximaciones de ángulos pequeños. Los ángulos en los que el error relativo supera el 1% son los siguientes:

• cos θ ≈ 1 a aproximadamente 0,1408 radianes (8,07°)
• tan θ ≈ θ a aproximadamente 0,1730 radianes (9,91°)
• sen θ ≈ θ a aproximadamente 0,2441 radianes (13,99°)
• porque θ ≈ 1 − ⁠θ2^​/2⁠ a unos 0,6620 radianes (37,93°)

Suma y diferencia de ángulos

Los teoremas de suma y resta de ángulos se reducen a lo siguiente cuando uno de los ángulos es pequeño ( β ≈ 0):

Usos específicos

Astronomía

En astronomía , el tamaño angular o ángulo subtendido por la imagen de un objeto distante es a menudo sólo de unos pocos segundos de arco (denotados por el símbolo ″), por lo que es muy adecuado para la aproximación de ángulos pequeños. ^[6] El tamaño lineal ( D ) está relacionado con el tamaño angular ( X ) y la distancia del observador ( d ) mediante la sencilla fórmula:

${\displaystyle D=X{\frac {d}{206\,265{''}}}}$

donde X se mide en segundos de arco.

La cantidad206 265 ″ es aproximadamente igual al número de segundos de arco en un círculo (1 296 000 ″ ), dividido por 2π , o, el número de segundos de arco en 1 radián.

La fórmula exacta es

${\displaystyle D=d\tan \left(X{\frac {2\pi }{1\,296\,000{''}}}\right)}$

y la aproximación anterior se obtiene cuando tan X se reemplaza por X .

Movimiento de un péndulo

La aproximación del coseno de segundo orden es especialmente útil para calcular la energía potencial de un péndulo , que luego puede aplicarse con un lagrangiano para encontrar la ecuación indirecta (de energía) del movimiento.

Al calcular el período de un péndulo simple, se utiliza la aproximación de ángulo pequeño para el seno para permitir que la ecuación diferencial resultante se resuelva fácilmente mediante comparación con la ecuación diferencial que describe el movimiento armónico simple .

Óptica

En óptica, las aproximaciones de ángulos pequeños forman la base de la aproximación paraxial .

Interferencia de ondas

Las aproximaciones de ángulo pequeño de seno y tangente se utilizan en relación con el experimento de doble rendija o una rejilla de difracción para desarrollar ecuaciones simplificadas como las siguientes, donde y es la distancia de una franja desde el centro de máxima intensidad de luz, m es el orden de la franja, D es la distancia entre las rendijas y la pantalla de proyección, y d es la distancia entre las rendijas: ^[7] $${\displaystyle y\approx {\frac {m\lambda D}{d}}}$$

Mecánica estructural

La aproximación de ángulos pequeños también aparece en mecánica estructural, especialmente en análisis de estabilidad y bifurcación (principalmente de columnas cargadas axialmente listas para sufrir pandeo ). Esto conduce a simplificaciones significativas, aunque a costa de la precisión y la comprensión del comportamiento real.

Pilotaje

La regla de 1 en 60 utilizada en la navegación aérea tiene su base en la aproximación de ángulos pequeños, más el hecho de que un radián equivale aproximadamente a 60 grados.

Interpolación

Las fórmulas de suma y resta que involucran un ángulo pequeño se pueden utilizar para interpolar entre valores de la tabla trigonométrica :

Ejemplo: sin(0,755) donde los valores de sin(0,75) y cos(0,75) se obtienen de una tabla trigonométrica. El resultado es preciso hasta los cuatro dígitos indicados. $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(0.755)&=\sin(0.75+0.005)\\&\approx \sin(0.75)+(0.005)\cos(0.75)\\&\approx (0.6816)+(0.005)(0.7317)\\&\approx 0.6853.\end{aligned}}}$$

Véase también

• Triángulo delgado
• Pequeñas oscilaciones de un péndulo
• Versina y haversina
• Exsecante y excosecante

Referencias

1. Holbrow, Charles H.; et al. (2010), Física introductoria moderna (2.ª ed.), Springer Science & Business Media, págs. 30-32, ISBN 978-0387790794.
2. Plesha, Michael; et al. (2012), Ingeniería mecánica: estática y dinámica (2.ª ed.), McGraw-Hill Higher Education, pág. 12, ISBN 978-0077570613.
3. "Aproximación de ángulos pequeños | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org . Consultado el 22 de julio de 2020 .
4. Larson, Ron; et al. (2006), Cálculo de una sola variable: funciones trascendentales tempranas (4.ª ed.), Cengage Learning, pág. 85, ISBN 0618606254.
5. Boas, Mary L. (2006). Métodos matemáticos en las ciencias físicas . Wiley. pág. 26. ISBN 978-0-471-19826-0.
6. Green, Robin M. (1985), Astronomía esférica, Cambridge University Press, pág. 19, ISBN 0521317797.
7. "Interferencia de rendija".