En el análisis matemático complejo , una aplicación cuasiconforme , introducida por Grötzsch (1928) y nombrada por Ahlfors (1935), es un homeomorfismo (débilmente diferenciable) entre dominios planos que en primer orden lleva desde círculos pequeños hasta elipses pequeñas de excentricidad acotada .
Intuitivamente, sea f : D → D ′ un homeomorfismo que preserva la orientación entre conjuntos abiertos en el plano. Si f es continuamente diferenciable , entonces es K -cuasiconformal si la derivada de f en cada punto convierte círculos en elipses con excentricidad acotada por K.
Supóngase f : D → D ′ donde D y D ′ son dos dominios en C . Hay una variedad de definiciones equivalentes, dependiendo de la suavidad requerida de f . Si se supone que f tiene derivadas parciales continuas , entonces f es cuasiconforme siempre que satisfaga la ecuación de Beltrami
para algún valor complejo de Lebesgue medible μ que satisfaga (Bers 1977). Esta ecuación admite una interpretación geométrica. Equipar D con el tensor métrico
donde Ω( z ) > 0. Entonces f satisface ( 1 ) precisamente cuando es una transformación conforme de D equipado con esta métrica al dominio D ′ equipado con la métrica euclidiana estándar. La función f se llama entonces μ-conforme . De manera más general, la diferenciabilidad continua de f puede reemplazarse por la condición más débil de que f esté en el espacio de Sobolev W 1,2 ( D ) de funciones cuyas derivadas distribucionales de primer orden están en L 2 ( D ) . En este caso, se requiere que f sea una solución débil de ( 1 ). Cuando μ es cero en casi todas partes, cualquier homeomorfismo en W 1,2 ( D ) que sea una solución débil de ( 1 ) es conforme.
Sin recurrir a una métrica auxiliar, consideremos el efecto del retroceso bajo f de la métrica euclidiana habitual. La métrica resultante viene dada por
que, en relación con la métrica euclidiana de fondo , tiene valores propios
Los valores propios representan, respectivamente, la longitud al cuadrado del eje mayor y menor de la elipse obtenida al tirar hacia atrás a lo largo del círculo unitario en el plano tangente.
En consecuencia, la dilatación de f en un punto z se define por
El supremo (esencial) de K ( z ) está dado por
y se llama dilatación de f .
Una definición basada en la noción de longitud extremal es la siguiente: si existe una K finita tal que para cada conjunto Γ de curvas en D la longitud extremal de Γ es como máximo K veces la longitud extremal de { f o γ : γ ∈ Γ }, entonces f es K -cuasiconformal.
Si f es K -cuasiconformal para algún K finito , entonces f es cuasiconformal.
Si K > 1 entonces las funciones x + iy ↦ Kx + iy y x + iy ↦ x + iKy son ambas cuasiconformales y tienen dilatación constante K.
Si s > −1, entonces la función es cuasiconformal (aquí z es un número complejo ) y tiene dilatación constante . Cuando s ≠ 0, este es un ejemplo de un homeomorfismo cuasiconformal que no es suave. Si s = 0, este es simplemente el mapa identidad.
Un homeomorfismo es 1-cuasiconformal si y solo si es conforme. Por lo tanto, la función identidad es siempre 1-cuasiconformal. Si f : D → D ′ es K -cuasiconformal y g : D ′ → D ′′ es K ′-cuasiconformal, entonces g o f es KK ′-cuasiconformal. La inversa de un homeomorfismo K -cuasiconformal es K -cuasiconformal. El conjunto de funciones 1-cuasiconformales forma un grupo bajo composición.
El espacio de aplicaciones K-cuasiconformales desde el plano complejo a sí mismo, que asigna tres puntos distintos a tres puntos dados, es compacto.
De importancia central en la teoría de aplicaciones cuasiconformales en dos dimensiones es el teorema de aplicación medible de Riemann , demostrado por Lars Ahlfors y Lipman Bers. El teorema generaliza el teorema de aplicación de Riemann de homeomorfismos conformes a cuasiconformales, y se enuncia de la siguiente manera. Supóngase que D es un dominio simplemente conexo en C que no es igual a C , y supóngase que μ : D → C es medible según Lebesgue y satisface . Entonces hay un homeomorfismo cuasiconforme f de D al disco unidad que está en el espacio de Sobolev W 1,2 ( D ) y satisface la ecuación de Beltrami correspondiente ( 1 ) en el sentido distribucional . Al igual que con el teorema de aplicación de Riemann, esta f es única hasta 3 parámetros reales.
Recientemente, la geometría cuasiconforme ha atraído la atención de diferentes campos, como las matemáticas aplicadas, la visión por computadora y las imágenes médicas. Se ha desarrollado la geometría cuasiconforme computacional, que extiende la teoría cuasiconforme a un entorno discreto. Ha encontrado varias aplicaciones importantes en el análisis de imágenes médicas, la visión por computadora y los gráficos.
