Mapa antilineal

Mapa aditivo homogéneo conjugado

En matemáticas , una función entre dos espacios vectoriales complejos se dice que es antilineal o lineal conjugada si es válida para todos los vectores y cada número complejo donde denota el conjugado complejo de ${\displaystyle f:V\to W}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}f(x+y)&=f(x)+f(y)&&\qquad {\text{ (additivity) }}\\f(sx)&={\overline {s}}f(x)&&\qquad {\text{ (conjugate homogeneity) }}\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle x,y\in V}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle {\overline {s}}}$ ${\displaystyle s.}$

Las funciones antilineales contrastan con las funciones lineales , que son funciones aditivas que son homogéneas en lugar de homogéneas conjugadas . Si los espacios vectoriales son reales , entonces la antilinealidad es lo mismo que la linealidad.

Los mapas antilineales se dan en mecánica cuántica en el estudio de la inversión del tiempo y en el cálculo de espinores, donde es habitual sustituir las barras sobre los vectores base y los componentes de los objetos geométricos por puntos colocados sobre los índices. Los mapas antilineales con valores escalares suelen surgir cuando se trabaja con productos internos complejos y espacios de Hilbert .

Definiciones y caracterizaciones

Una función se denomina antilineal o lineal conjugada si es aditiva y homogénea conjugada . Una función antilineal en un espacio vectorial es una función antilineal de valor escalar. ${\displaystyle V}$

Una función se llama aditiva si mientras que se llama homogénea conjugada si Por el contrario, una función lineal es una función que es aditiva y homogénea , donde se llama homogénea si ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ for all vectors }}x,y}$$ $${\displaystyle f(ax)={\overline {a}}f(x)\quad {\text{ for all vectors }}x{\text{ and all scalars }}a.}$$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(ax)=af(x)\quad {\text{ for all vectors }}x{\text{ and all scalars }}a.}$$

Un mapa antilineal puede describirse de manera equivalente en términos del mapa lineal de al espacio vectorial conjugado complejo ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle {\overline {f}}:V\to {\overline {W}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\overline {W}}.}$

Ejemplos

Mapa dual antilineal

Dado un espacio vectorial complejo de rango 1, podemos construir una función dual antilineal que es una función antilineal que envía un elemento de a para algunos números reales fijos. Podemos extender esto a cualquier espacio vectorial complejo de dimensión finita, donde si escribimos la base estándar y cada elemento de la base estándar como entonces una función compleja antilineal de a tendrá la forma para ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle l:V\to \mathbb {C} }$$ ${\displaystyle x_{1}+iy_{1}}$ ${\displaystyle x_{1},y_{1}\in \mathbb {R} }$ $${\displaystyle x_{1}+iy_{1}\mapsto a_{1}x_{1}-ib_{1}y_{1}}$$ ${\displaystyle a_{1},b_{1}.}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ $${\displaystyle e_{k}=x_{k}+iy_{k}}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \sum _{k}x_{k}+iy_{k}\mapsto \sum _{k}a_{k}x_{k}-ib_{k}y_{k}}$$ ${\displaystyle a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} .}$

Isomorfismo de dual antilineal con dual real

El dual antilineal ^{[1] pg 36} de un espacio vectorial complejo es un ejemplo especial porque es isomorfo al dual real del espacio vectorial real subyacente de Esto se da por el mapa que envía un mapa antilineal a En la otra dirección, está el mapa inverso que envía un vector dual real a dando el mapa deseado. ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\overline {\mathbb {C} }}(V,\mathbb {C} )}$$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {R} ).}$ $${\displaystyle \ell :V\to \mathbb {C} }$$ $${\displaystyle \operatorname {Im} (\ell ):V\to \mathbb {R} }$$ $${\displaystyle \lambda :V\to \mathbb {R} }$$ $${\displaystyle \ell (v)=-\lambda (iv)+i\lambda (v)}$$

Propiedades

La composición de dos funciones antilineales es una función lineal . La clase de funciones semilineales generaliza la clase de funciones antilineales.

Espacio anti-dual

El espacio vectorial de todas las formas antilineales en un espacio vectorial se denomina espacio antidual algebraico de Si es un espacio vectorial topológico , entonces el espacio vectorial de todas las funcionales antilineales continuas en denotado por se denomina espacio antidual continuo o simplemente espacio antidual de ^[2] si no puede surgir ninguna confusión. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$ ${\displaystyle X}$

Cuando es un espacio normado entonces la norma canónica en el espacio antidual (continuo) denotado por se define usando esta misma ecuación: ^[2] ${\displaystyle H}$ ${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$ ${\textstyle \|f\|_{{\overline {X}}^{\prime }},}$ $${\displaystyle \|f\|_{{\overline {X}}^{\prime }}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in {\overline {X}}^{\prime }.}$$

Esta fórmula es idéntica a la fórmula para la norma dual en el espacio dual continuo que se define por ^[2] ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle \|f\|_{X^{\prime }}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in X^{\prime }.}$$

Isometría canónica entre lo dual y lo antidual

El conjugado complejo de un funcional se define enviando a Satisface para todos y cada Esto dice exactamente que la biyección antilineal canónica definida por así como su inversa son isometrías antilineales y en consecuencia también homeomorfismos . ${\displaystyle {\overline {f}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {domain} f}$ ${\textstyle {\overline {f(x)}}.}$ $${\displaystyle \|f\|_{X^{\prime }}~=~\left\|{\overline {f}}\right\|_{{\overline {X}}^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \left\|{\overline {g}}\right\|_{X^{\prime }}~=~\|g\|_{{\overline {X}}^{\prime }}}$$ ${\displaystyle f\in X^{\prime }}$ ${\textstyle g\in {\overline {X}}^{\prime }.}$ $${\displaystyle \operatorname {Cong} ~:~X^{\prime }\to {\overline {X}}^{\prime }\quad {\text{ where }}\quad \operatorname {Cong} (f):={\overline {f}}}$$ ${\displaystyle \operatorname {Cong} ^{-1}~:~{\overline {X}}^{\prime }\to X^{\prime }}$

Si entonces y este mapa canónico se reduce al mapa identidad. ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle X^{\prime }={\overline {X}}^{\prime }}$ ${\displaystyle \operatorname {Cong} :X^{\prime }\to {\overline {X}}^{\prime }}$

Espacios interiores de productos

Si es un espacio de producto interno , entonces tanto la norma canónica en como en satisfacen la ley del paralelogramo , lo que significa que la identidad de polarización se puede usar para definir un producto interno canónico en y también en que este artículo denotará por las notaciones donde este producto interno forma y en espacios de Hilbert. Los productos internos y son antilineales en sus segundos argumentos. Además, la norma canónica inducida por este producto interno (es decir, la norma definida por ) es consistente con la norma dual (es decir, como se define anteriormente por el supremo sobre la bola unidad); explícitamente, esto significa que lo siguiente se cumple para cada ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime },}$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle _{X^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{X^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}$$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime }}$ ${\textstyle \langle f,g\rangle _{X^{\prime }}}$ ${\textstyle \langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}$ ${\textstyle f\mapsto {\sqrt {\left\langle f,f\right\rangle _{X^{\prime }}}}}$ ${\displaystyle f\in X^{\prime }:}$ $${\displaystyle \sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|=\|f\|_{X^{\prime }}~=~{\sqrt {\langle f,f\rangle _{X^{\prime }}}}~=~{\sqrt {\langle f\mid f\rangle _{X^{\prime }}}}.}$$

Si es un espacio de producto interno , entonces los productos internos en el espacio dual y el espacio antidual denotados respectivamente por y están relacionados por y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$ ${\textstyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{X^{\prime }}}$ ${\textstyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }},}$ $${\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{X^{\prime }}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{X^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in X^{\prime }}$$ $${\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{X^{\prime }}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in {\overline {X}}^{\prime }.}$$

Véase también

• Ecuación funcional de Cauchy  – Ecuación funcional
• Conjugado complejo  – Operación fundamental sobre números complejos
• Espacio vectorial complejo conjugado  – Concepto matemáticoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teorema fundamental de los espacios de Hilbert
• Espacio de producto interno  : generalización del producto escalar; se utiliza para definir espacios de Hilbert
• Aplicación lineal  – Función matemática, en álgebra lineal
• Consimilitud de matrices
• Teorema de representación de Riesz  – Teorema sobre el dual de un espacio de Hilbert
• Forma sesquilineal  – Generalización de una forma bilineal
• Inversión del tiempo  – Simetría de inversión del tiempo en física

Citas

1. Birkenhake, Christina (2004). Variedades abelianas complejas. Herbert Lange (segunda edición aumentada). Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-06307-1.OCLC 851380558  .
2. Trèves 2006, págs. 112-123.

Referencias

• Budinich, P. y Trautman, A. The Spinorial Chessboard . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (Los mapas antilineales se analizan en la sección 3.3). 
• Horn y Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2 . (Los mapas antilineales se analizan en la sección 4.6). 
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .