Anillo de números enteros

Construcción algebraica

En matemáticas , el anillo de números enteros de un cuerpo de números algebraicos es el anillo de todos los números enteros algebraicos contenidos en . ^[1] Un número entero algebraico es una raíz de un polinomio mónico con coeficientes enteros : . ^[2] Este anillo se denota a menudo por o . Dado que cualquier número entero pertenece a y es un elemento integral de , el anillo siempre es un subanillo de . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{0}}$ ${\displaystyle O_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle O_{K}}$

El anillo de números enteros es el anillo de números enteros más simple posible. ^[a] Es decir, donde es el campo de números racionales . ^[3] Y, de hecho, en la teoría de números algebraicos los elementos de a menudo se denominan "enteros racionales" debido a esto. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} =O_{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

El siguiente ejemplo más simple es el anillo de números enteros de Gauss , que consiste en números complejos cuyas partes reales e imaginarias son números enteros. Es el anillo de números enteros en el cuerpo de números de los racionales de Gauss , que consiste en números complejos cuyas partes reales e imaginarias son números racionales. Al igual que los enteros racionales, es un dominio euclidiano . ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$

El anillo de números enteros de un cuerpo de números algebraicos es el único orden máximo en el cuerpo. Siempre es un dominio de Dedekind . ^[4]

Propiedades

El anillo de números enteros O _K es un módulo Z finitamente generado . De hecho, es un módulo Z libre y, por lo tanto, tiene una base integral , es decir, una base b ₁ , ..., b _n ∈ O _K del espacio vectorial Q K tal que cada elemento  x en O _K puede representarse de forma única como  

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},}$

con un _i ∈ Z . ^[5] El rango  n de O _K como módulo Z libre es igual al grado de  K sobre Q .

Ejemplos

Herramienta computacional

Una herramienta útil para calcular el cierre integral del anillo de números enteros en un cuerpo algebraico K / Q es el discriminante . Si K es de grado n sobre Q , y forma una base de K sobre Q , hagamos . Entonces, es un submódulo del módulo Z generado por . ^{[6] pág. 33} De hecho, si d no tiene cuadrados, entonces forma una base integral para . ^{[6] pág. 35} ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle d=\Delta _{K/\mathbb {Q} }(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}/d,\ldots ,\alpha _{n}/d}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Extensiones ciclotómicas

Si p es un primo , ζ  es una raíz p -ésima de la unidad y K = Q ( ζ  ) es el campo ciclotómico correspondiente , entonces una base integral de O _K = Z [ ζ ] está dada por (1,  ζ ,  ζ ² , ...,  ζ ^{p −2} ) . ^[7]

Extensiones cuadráticas

Si es un entero libre de cuadrados y es el cuerpo cuadrático correspondiente , entonces es un anillo de enteros cuadráticos y su base integral está dada por (1, (1 + √ d ) /2) si d ≡ 1 ( mod 4) y por (1,  √ d ) si d ≡ 2, 3 (mod 4) . ^[8] Esto se puede encontrar calculando el polinomio mínimo de un elemento arbitrario donde . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}\in \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbf {Q} }$

Estructura multiplicativa

En un anillo de números enteros, cada elemento tiene una factorización en elementos irreducibles , pero el anillo no necesita tener la propiedad de factorización única : por ejemplo, en el anillo de números enteros Z [ √ −5 ] , el elemento 6 tiene dos factorizaciones esencialmente diferentes en irreducibles: ^{[4] [9]}

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}}).}$

Un anillo de números enteros es siempre un dominio de Dedekind y, por lo tanto, tiene una factorización única de ideales en ideales primos . ^[10]

Las unidades de un anillo de números enteros O _K son un grupo abeliano finitamente generado por el teorema de unidad de Dirichlet . El subgrupo de torsión consiste en las raíces de la unidad de K. Un conjunto de generadores sin torsión se denomina conjunto de unidades fundamentales . ^[11]

Generalización

El anillo de números enteros de un cuerpo local no arquimediano F se define como el conjunto de todos los elementos de F con valor absoluto ≤ 1 ; se trata de un anillo debido a la fuerte desigualdad triangular. ^[12] Si F es la completitud de un cuerpo de números algebraicos, su anillo de números enteros es la completitud del anillo de números enteros de este último. El anillo de números enteros de un cuerpo de números algebraicos puede caracterizarse como los elementos que son números enteros en cada completitud no arquimediana. ^[3]

Por ejemplo, los enteros p -ádicos Z _p son el anillo de enteros de los números p -ádicos Q _p  .

Véase también

• Polinomio mínimo (teoría de campos)
• Cierre integral : proporciona una técnica para calcular cierres integrales.

Notas

1. El anillo de números enteros , sin especificar el cuerpo, se refiere al anillo de números enteros "ordinarios", el objeto prototípico de todos esos anillos. Es una consecuencia de la ambigüedad de la palabra "entero" en el álgebra abstracta. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Citas

1. Alaca & Williams 2003, pág. 110, Defs. 6.1.2-3.
2. Alaca & Williams 2003, pág. 74, Defs. 4.1.1-2.
3. Cassels 1986, pág. 192.
4. Samuel 1972, pág. 49.
5. Cassels (1986) pág. 193
6. Baker. "Teoría algebraica de números" (PDF) . págs. 33–35.
7. Samuel 1972, pág. 43.
8. Samuel 1972, pág. 35.
9. Artín, Michael (2011). Álgebra . Prentice Hall. pag. 360.ISBN​ 978-0-13-241377-0.
10. Samuel 1972, pág. 50.
11. Samuel 1972, págs. 59–62.
12. Cassels 1986, pág. 41.

Referencias

• Alaca, Saban; Williams, Kenneth S. (2003). Introducción a la teoría algebraica de números. Cambridge University Press . ISBN 9780511791260.
• Cassels, JWS (1986). Campos locales. Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 3. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-31525-5.Zbl 0595.12006  .
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . vol. 322. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8.MR  1697859.Zbl 0956.11021  .​
• Samuel, Pierre (1972). Teoría algebraica de números . Hermann/Kershaw.