En álgebra conmutativa , un anillo N-1 es un dominio integral cuyo cierre integral en su cuerpo cociente es un módulo finitamente generado . Se denomina anillo japonés (o anillo N-2 ) si para cada extensión finita de su cuerpo cociente , el cierre integral de en es un módulo finitamente generado (o equivalentemente, un álgebra finita ). Un anillo se denomina universalmente japonés si todo dominio integral finitamente generado sobre él es japonés, y se denomina anillo de Nagata , llamado así por Masayoshi Nagata , o anillo pseudogeométrico si es noetheriano y universalmente japonés (o, lo que resulta ser lo mismo, si es noetheriano y todos sus cocientes por un ideal primo son anillos N-2). Un anillo se denomina geométrico si es el anillo local de una variedad algebraica o una compleción de dicho anillo local, [1] pero este concepto no se utiliza mucho.
Los cuerpos y anillos de polinomios o series de potencias en un número finito de indeterminados sobre cuerpos son ejemplos de anillos japoneses. Otro ejemplo importante es un dominio integralmente cerrado noetheriano (por ejemplo, un dominio de Dedekind ) que tiene un cuerpo perfecto de fracciones . Por otra parte, un dominio ideal principal o incluso un anillo de valoración discreto no es necesariamente japonés.
Cualquier anillo cuasi excelente es un anillo de Nagata, por lo que, en particular, casi todos los anillos noetherianos que aparecen en geometría algebraica son anillos de Nagata. El primer ejemplo de un dominio noetheriano que no es un anillo de Nagata lo dio Akizuki (1935).
A continuación se muestra un ejemplo de un anillo de valoración discreto que no es un anillo japonés. Elija un primo y una extensión de campo de grado infinito de un campo característico , tal que . Sea el anillo de valoración discreto el anillo de series de potencias formales sobre cuyos coeficientes generen una extensión finita de . Si es cualquier serie de potencias formales que no esté en entonces el anillo no es un anillo N-1 (su cierre integral no es un módulo finitamente generado) por lo que no es un anillo japonés.
Si es el subanillo del anillo polinomial en infinitos generadores generados por los cuadrados y cubos de todos los generadores, y se obtiene de mediante la unión de inversos a todos los elementos que no están en ninguno de los ideales generados por algún , entonces es un dominio noetheriano unidimensional que no es un anillo N-1, en otras palabras, su clausura integral en su cuerpo cociente no es un -módulo finitamente generado . También tiene una singularidad de cúspide en cada punto cerrado, por lo que el conjunto de puntos singulares no es cerrado.
![{\displaystyle R[y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2830de3cf0ec8c16cf343efacd1b3a37fd03129c)
![{\displaystyle k[x_{1},x_{2},...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ced87e7b941de56854f002337de93afc0bd34de2)
