Operador de momento angular

Operador mecánico cuántico relacionado con la simetría rotacional

En mecánica cuántica , el operador de momento angular es uno de varios operadores relacionados análogos al momento angular clásico . El operador de momento angular juega un papel central en la teoría de la física atómica y molecular y otros problemas cuánticos que involucran simetría rotacional . Al ser un observable, sus funciones propias representan los estados físicos distinguibles del momento angular de un sistema, y ​​los valores propios correspondientes los valores experimentales observables. Cuando se aplica a una representación matemática del estado de un sistema, produce el mismo estado multiplicado por su valor de momento angular si el estado es un estado propio (según la ecuación de estados propios/valores propios). Tanto en los sistemas mecánicos clásicos como en los cuánticos, el momento angular (junto con el momento lineal y la energía ) es una de las tres propiedades fundamentales del movimiento. ^[1]

Existen varios operadores de momento angular: momento angular total (generalmente denominado J ), momento angular orbital (generalmente denominado L ) y momento angular de espín ( espín para abreviar, generalmente denominado S ). El término operador de momento angular puede referirse (de manera confusa) tanto al momento angular total como al orbital. El momento angular total siempre se conserva , véase el teorema de Noether .

Descripción general

"Conos vectoriales" del momento angular total J (verde), el orbital L (azul) y el espín S (rojo). Los conos surgen debido a la incertidumbre cuántica entre los componentes de medición del momento angular (ver a continuación).

En mecánica cuántica, el momento angular puede referirse a una de tres cosas diferentes, pero relacionadas.

Momento angular orbital

La definición clásica del momento angular es . Las contrapartes mecánico-cuánticas de estos objetos comparten la misma relación: donde r es el operador de posición cuántica , p es el operador de momento cuántico , × es el producto vectorial y L es el operador de momento angular orbital . L (al igual que p y r ) es un operador vectorial (un vector cuyos componentes son operadores), es decir, donde L _x , L _y , L _z son tres operadores mecánico-cuánticos diferentes. ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$ $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$$ ${\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)}$

En el caso especial de una sola partícula sin carga eléctrica y sin espín , el operador de momento angular orbital se puede escribir en la base de la posición como: donde ∇ es el operador diferencial vectorial, del . $${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )}$$

Momento angular de giro

Existe otro tipo de momento angular, llamado momento angular de espín (más a menudo abreviado como espín ), representado por el operador de espín . El espín se representa a menudo como una partícula que gira literalmente alrededor de un eje, pero esto es solo una metáfora: el análogo clásico más cercano se basa en la circulación de ondas. ^[2] Todas las partículas elementales tienen un espín característico ( los bosones escalares tienen espín cero). Por ejemplo, los electrones siempre tienen "espín 1/2", mientras que los fotones siempre tienen "espín 1" (detalles a continuación). ${\displaystyle \mathbf {S} =\left(S_{x},S_{y},S_{z}\right)}$

Momento angular total

Por último, existe el momento angular total , que combina tanto el momento angular de giro como el momento angular orbital de una partícula o sistema: ${\displaystyle \mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)}$ $${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .}$$

La conservación del momento angular establece que J para un sistema cerrado o J para todo el universo se conserva. Sin embargo, L y S no se conservan en general. Por ejemplo, la interacción espín-órbita permite que el momento angular se transfiera de ida y vuelta entre L y S , mientras que el J total permanece constante.

Relaciones de conmutación

Relaciones de conmutación entre componentes

El operador de momento angular orbital es un operador vectorial, lo que significa que puede escribirse en términos de sus componentes vectoriales . Los componentes tienen las siguientes relaciones de conmutación entre sí: ^[3] ${\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)}$ $${\displaystyle \left[L_{x},L_{y}\right]=i\hbar L_{z},\;\;\left[L_{y},L_{z}\right]=i\hbar L_{x},\;\;\left[L_{z},L_{x}\right]=i\hbar L_{y},}$$

donde [ , ] denota el conmutador $${\displaystyle [X,Y]\equiv XY-YX.}$$

Esto se puede escribir de forma general como donde l , m , n son los índices de los componentes (1 para x , 2 para y , 3 para z ) y ε _lmn denota el símbolo de Levi-Civita . $${\displaystyle \left[L_{l},L_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}L_{n},}$$

También es posible una expresión compacta como una ecuación vectorial: ^[4] $${\displaystyle \mathbf {L} \times \mathbf {L} =i\hbar \mathbf {L} }$$

Las relaciones de conmutación pueden demostrarse como una consecuencia directa de las relaciones de conmutación canónicas , donde δ _lm es el delta de Kronecker . ${\displaystyle [x_{l},p_{m}]=i\hbar \delta _{lm}}$

Existe una relación análoga en la física clásica: ^[5] donde L _n es un componente del operador de momento angular clásico , y es el corchete de Poisson . $${\displaystyle \left\{L_{i},L_{j}\right\}=\varepsilon _{ijk}L_{k}}$$ ${\displaystyle \{,\}}$

Las mismas relaciones de conmutación se aplican para los demás operadores de momento angular (espín y momento angular total): ^[6] $${\displaystyle \left[S_{l},S_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}S_{n},\quad \left[J_{l},J_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}J_{n}.}$$

Se puede suponer que estos valores son válidos en analogía con L. Alternativamente, se pueden derivar como se analiza a continuación.

Estas relaciones de conmutación significan que L tiene la estructura matemática de un álgebra de Lie , y ε _lmn son sus constantes de estructura . En este caso, el álgebra de Lie es SU(2) o SO(3) en notación física ( o respectivamente en notación matemática), es decir, álgebra de Lie asociada con rotaciones en tres dimensiones. Lo mismo es cierto para J y S. La razón se analiza a continuación. Estas relaciones de conmutación son relevantes para la medición y la incertidumbre, como se analiza más adelante. ${\displaystyle \operatorname {su} (2)}$ ${\displaystyle \operatorname {so} (3)}$

En las moléculas, el momento angular total F es la suma del momento angular rovibrónico (orbital) N , el momento angular de espín electrónico S y el momento angular de espín nuclear I. Para los estados singlete electrónicos, el momento angular rovibrónico se denota J en lugar de N. Como explicó Van Vleck, ^[7] los componentes del momento angular rovibrónico molecular referidos a ejes fijos de la molécula tienen relaciones de conmutación diferentes de las dadas anteriormente, que son para los componentes sobre ejes fijos del espacio.

Relaciones de conmutación que involucran magnitud vectorial

Como cualquier vector, el cuadrado de una magnitud se puede definir para el operador de momento angular orbital, $${\displaystyle L^{2}\equiv L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.}$$

${\displaystyle L^{2}}$es otro operador cuántico . Conmuta con los componentes de , ${\displaystyle \mathbf {L} }$ $${\displaystyle \left[L^{2},L_{x}\right]=\left[L^{2},L_{y}\right]=\left[L^{2},L_{z}\right]=0.}$$

Una forma de demostrar que estos operadores conmutan es comenzar desde las relaciones de conmutación [ L _ℓ , L _m ] en la sección anterior:

Prueba de [ L ² , L _x ] = 0, a partir de las relaciones de conmutación [ L _ℓ , L _m ^{] [8]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[L^{2},L_{x}\right]&=\left[L_{x}^{2},L_{x}\right]+\left[L_{y}^{2},L_{x}\right]+\left[L_{z}^{2},L_{x}\right]\\&=L_{y}\left[L_{y},L_{x}\right]+\left[L_{y},L_{x}\right]L_{y}+L_{z}\left[L_{z},L_{x}\right]+\left[L_{z},L_{x}\right]L_{z}\\&=L_{y}\left(-i\hbar L_{z}\right)+\left(-i\hbar L_{z}\right)L_{y}+L_{z}\left(i\hbar L_{y}\right)+\left(i\hbar L_{y}\right)L_{z}\\&=0\end{aligned}}}$$

Matemáticamente, es un invariante de Casimir del álgebra de Lie SO(3) abarcado por . ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

Como se indicó anteriormente, existe una relación análoga en la física clásica: donde es un componente del operador de momento angular clásico , y es el corchete de Poisson . ^[9] $${\displaystyle \left\{L^{2},L_{x}\right\}=\left\{L^{2},L_{y}\right\}=\left\{L^{2},L_{z}\right\}=0}$$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle \{,\}}$

Volviendo al caso cuántico, las mismas relaciones de conmutación se aplican también a los demás operadores de momento angular (espín y momento angular total), $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[S^{2},S_{i}\right]&=0,\\\left[J^{2},J_{i}\right]&=0.\end{aligned}}}$$

Principio de incertidumbre

En general, en mecánica cuántica, cuando dos operadores observables no conmutan, se denominan observables complementarios . Dos observables complementarios no se pueden medir simultáneamente; en cambio, satisfacen un principio de incertidumbre . Cuanto más exactamente se conoce un observable, con menos precisión se puede conocer el otro. Así como existe un principio de incertidumbre que relaciona la posición y el momento, existen principios de incertidumbre para el momento angular.

La relación de Robertson-Schrödinger da el siguiente principio de incertidumbre: donde es la desviación estándar en los valores medidos de X y denota el valor esperado de X . Esta desigualdad también es verdadera si x, y, z se reordenan, o si L se reemplaza por J o S . $${\displaystyle \sigma _{L_{x}}\sigma _{L_{y}}\geq {\frac {\hbar }{2}}\left|\langle L_{z}\rangle \right|.}$$ ${\displaystyle \sigma _{X}}$ ${\displaystyle \langle X\rangle }$

Por lo tanto, dos componentes ortogonales del momento angular (por ejemplo L _x y L _y ) son complementarios y no pueden conocerse ni medirse simultáneamente, excepto en casos especiales como . ${\displaystyle L_{x}=L_{y}=L_{z}=0}$

Sin embargo, es posible medir o especificar simultáneamente L ² y cualquier componente de L ; por ejemplo, L ² y L _z . Esto suele ser útil, y los valores se caracterizan por el número cuántico azimutal ( l ) y el número cuántico magnético ( m ). En este caso, el estado cuántico del sistema es un estado propio simultáneo de los operadores L ² y L _z , pero no de L _x o L _y . Los valores propios están relacionados con l y m , como se muestra en la tabla siguiente.

Cuantización

En mecánica cuántica , el momento angular está cuantizado , es decir, no puede variar de forma continua, sino solo en "saltos cuánticos" entre ciertos valores permitidos. Para cualquier sistema, se aplican las siguientes restricciones a los resultados de las mediciones, donde se reduce la constante de Planck : ^[10] ${\displaystyle \hbar }$

Derivación mediante operadores de escalera

Una forma común de derivar las reglas de cuantificación anteriores es el método de operadores de escalera . ^[12] Los operadores de escalera para el momento angular total se definen como: ${\displaystyle \mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}&\equiv J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&\equiv J_{x}-iJ_{y}\end{aligned}}}$$

Supongamos que es un estado propio simultáneo de y (es decir, un estado con un valor definido para y un valor definido para ). Luego, utilizando las relaciones de conmutación para los componentes de , se puede demostrar que cada uno de los estados y es cero o un estado propio simultáneo de y , con el mismo valor que para pero con valores para que aumentan o disminuyen en respectivamente. El resultado es cero cuando el uso de un operador de escalera daría como resultado un estado con un valor para que está fuera del rango permitido. Usando los operadores de escalera de esta manera, se pueden encontrar los posibles valores y números cuánticos para y . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle J_{+}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle J_{-}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$

Derivación de los posibles valores y números cuánticos para y . ^[13] ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J^{2}}$

Sea una función de estado para el sistema con valor propio para y valor propio para . ^{[nota 1]} ${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$ ${\displaystyle {J^{2}}'}$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}'}$ ${\displaystyle J_{z}}$

De se obtiene, Aplicando ambos lados de la ecuación anterior a , Dado que y son observables reales, no es negativo y . Por lo tanto, tiene un límite superior e inferior. ${\displaystyle J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}}$ $${\displaystyle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}.}$$ ${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$ $${\displaystyle (J_{x}^{2}+J_{y}^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')=({J^{2}}'-J_{z}'^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}').}$$ ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle J_{y}}$ ${\displaystyle {J^{2}}'-J_{z}'^{2}}$ ${\textstyle |J_{z}'|\leq {\sqrt {{J^{2}}'}}}$ ${\displaystyle J_{z}'}$

Dos de las relaciones de conmutación para los componentes de son, Se pueden combinar para obtener dos ecuaciones, que se escriben juntas usando signos en lo siguiente, donde una de las ecuaciones usa los signos y la otra usa los signos. Aplicando ambos lados de lo anterior a , Lo anterior muestra que son dos funciones propias de con respectivos valores propios , a menos que una de las funciones sea cero, en cuyo caso no es una función propia. Para las funciones que no son cero, Se pueden encontrar más funciones propias de y valores propios correspondientes aplicando repetidamente siempre que la magnitud del valor propio resultante sea . Dado que los valores propios de están acotados, sea el valor propio más bajo y sea el más alto. Entonces y dado que no hay estados donde el valor propio de sea o . Aplicando a la primera ecuación, a la segunda, usando , y usando también , se puede demostrar que y Restando la primera ecuación de la segunda y reordenando, Dado que , el segundo factor es negativo. Entonces el primer factor debe ser cero y, por lo tanto , . ${\displaystyle \mathbf {J} }$ $${\displaystyle [J_{y},J_{z}]=i\hbar J_{x},\;\;[J_{z},J_{x}]=i\hbar J_{y}.}$$ ${\displaystyle \pm }$ $${\displaystyle J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar ),}$$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')&=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar )\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\\&=(J_{z}'\pm \hbar )(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\;.\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle (J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle {J_{z}}'\pm \hbar }$ $${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}'\pm \hbar )=(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}').}$$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J_{x}\pm iJ_{y}}$ ${\displaystyle \leq {\sqrt {{J^{2}}'}}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J_{z}^{0}}$ ${\displaystyle J_{z}^{1}}$ $${\displaystyle (J_{x}-iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{0})=0}$$ $${\displaystyle (J_{x}+iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{1})=0,}$$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle <J_{z}^{0}}$ ${\displaystyle >J_{z}^{1}}$ ${\displaystyle (J_{x}+iJ_{y})}$ ${\displaystyle (J_{x}-iJ_{y})}$ ${\displaystyle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}}$ ${\displaystyle J_{+}J_{-}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[J_{x},J_{y}]=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}}$ $${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0}$$ $${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{1})^{2}-\hbar J_{z}^{1}=0.}$$ $${\displaystyle (J_{z}^{1}+J_{z}^{0})(J_{z}^{0}-J_{z}^{1}-\hbar )=0.}$$ ${\displaystyle J_{z}^{1}\geq J_{z}^{0}}$ ${\displaystyle J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}}$

La diferencia proviene de la aplicación sucesiva de o que disminuyen o aumentan el valor propio de de modo que, Sea donde Entonces, utilizando y lo anterior, y y los valores propios permitidos de son Expresando en términos de un número cuántico , y sustituyendo en de lo anterior, ${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}}$ ${\displaystyle J_{x}-iJ_{y}}$ ${\displaystyle J_{x}+iJ_{y}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle \hbar }$ $${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=0,\hbar ,2\hbar ,\dots }$$ $${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=2j\hbar ,}$$ $${\displaystyle j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.}$$ ${\displaystyle J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}}$ $${\displaystyle J_{z}^{0}=-j\hbar }$$ $${\displaystyle J_{z}^{1}=j\hbar ,}$$ ${\displaystyle J_{z}}$ $${\displaystyle J_{z}'=-j\hbar ,-j\hbar +\hbar ,-j\hbar +2\hbar ,\dots ,j\hbar .}$$ ${\displaystyle J_{z}'}$ ${\displaystyle m_{j}\;}$ ${\displaystyle J_{z}^{0}=-j\hbar }$ ${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}'&=m_{j}\hbar &m_{j}&=-j,-j+1,-j+2,\dots ,j\\{J^{2}}'&=j(j+1)\hbar ^{2}&j&=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.\end{aligned}}}$

Dado que y tienen las mismas relaciones de conmutación que , se les puede aplicar el mismo análisis de escalera, excepto que existe una restricción adicional sobre los números cuánticos: deben ser enteros. ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

Derivación tradicional de la restricción a números cuánticos enteros para y . ^[14] ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

En la representación de Schrödinger, el componente z del operador de momento angular orbital se puede expresar en coordenadas esféricas como, ^[15] Para y función propia con valor propio , Despejando para , donde es independiente de . Dado que se requiere que sea de un solo valor, y sumando a da como resultado una coordenada para el mismo punto en el espacio, Despejando para el valor propio , donde es un entero. ^[16] De lo anterior y la relación , se deduce que también es un entero. Esto muestra que los números cuánticos y para el momento angular orbital están restringidos a números enteros, a diferencia de los números cuánticos para el momento angular total y el espín , que pueden tener valores semienteros. ^[17] $${\displaystyle L_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}.}$$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle L_{z}'}$ $${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}\psi =L_{z}'\psi .}$$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \psi =Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar },}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}Ae^{iL_{z}'(\phi +2\pi )/\hbar }&=Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar },\\e^{iL_{z}'2\pi /\hbar }&=1.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle L_{z}'}$ $${\displaystyle L_{z}'=m_{l}\hbar \;,}$$ ${\displaystyle m_{l}}$ ${\displaystyle m_{\ell }=-\ell ,(-\ell +1),\ldots ,(\ell -1),\ell \ \ }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m_{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

A continuación se presenta una derivación alternativa que no supone funciones de onda de valor único y otro argumento que utiliza grupos de Lie.

Derivación alternativa de la restricción a números cuánticos enteros para y ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Una parte clave de la derivación tradicional anterior es que la función de onda debe tener un solo valor. Hoy en día, muchos reconocen que esto no es completamente correcto: una función de onda no es observable y solo se requiere que la densidad de probabilidad tenga un solo valor. Las posibles funciones de onda de semienteros de doble valor tienen una densidad de probabilidad de un solo valor. ^[18] Pauli lo reconoció en 1939 (citado por Japaridze et al. ^[19] ). ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi ^{*}\psi }$

... no existe ningún argumento convincente a priori que afirme que las funciones de onda que describen algunos estados físicos deben ser funciones univalentes. Para que las magnitudes físicas, que se expresan mediante cuadrados de funciones de onda, sean univalentes, es suficiente que, después de moverse por un contorno cerrado, estas funciones ganen un factor exp(iα)

Se han encontrado funciones de onda de doble valor, como y . ^{[20] [21]} Estas no se comportan bien bajo los operadores de escalera, pero se ha descubierto que son útiles para describir partículas cuánticas rígidas ^[22] ${\displaystyle \left|{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right\rangle =e^{i\phi /2}\sin ^{\frac {1}{2}}\theta }$ ${\displaystyle \left|{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}}\right\rangle =e^{-i\phi /2}\sin ^{\frac {1}{2}}\theta }$

Ballentine ^[23] ofrece un argumento basado únicamente en el formalismo del operador y que no depende de que la función de onda sea univalente. El momento angular azimutal se define como Definir nuevos operadores (La corrección dimensional se puede mantener insertando factores de masa y frecuencia angular unitaria numéricamente iguales a uno). Entonces Pero los dos términos de la derecha son solo los hamiltonianos para el oscilador armónico cuántico con masa y frecuencia angular unitarias y , , y todos conmutan. $${\displaystyle L_{z}=Q_{x}P_{y}-Q_{y}P_{x}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}q_{1}&={\frac {Q_{x}+P_{y}}{\sqrt {2}}}&q_{2}&={\frac {Q_{x}-P_{y}}{\sqrt {2}}}\\p_{1}&={\frac {P_{x}-Q_{y}}{\sqrt {2}}}&p_{2}&={\frac {P_{x}+Q_{y}}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle L_{z}={\tfrac {1}{2}}\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}\right)-{\tfrac {1}{2}}\left(p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}&={\tfrac {1}{2}}\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}\right)\\H_{2}&={\tfrac {1}{2}}\left(p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

Para los operadores hermíticos conmutativos se puede elegir un conjunto completo de vectores base que sean vectores propios de los cuatro operadores. (El argumento de Glorioso ^[24] se puede generalizar fácilmente a cualquier número de operadores conmutativos.)

Para cualquiera de estos vectores propios con para algunos números enteros , encontramos que como diferencia de dos números enteros, debe ser un número entero, del cual también es integral. ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L^{2}\psi &=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)\psi \\L_{z}\psi &=\hbar m\psi \\H_{1}\psi &=\hbar \left(n_{1}+{\tfrac {1}{2}}\right)\psi \\H_{2}\psi &=\hbar \left(n_{2}+{\tfrac {1}{2}}\right)\psi \end{aligned}}}$$ ${\displaystyle n_{1},n_{2}}$ $${\displaystyle m=\left(n_{1}+{\tfrac {1}{2}}\right)-\left(n_{2}+{\tfrac {1}{2}}\right)=n_{1}-n_{2}}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \ell }$

Buchdahl ha propuesto una versión más compleja de este argumento utilizando los operadores de escalera del oscilador armónico cuántico . ^[25]

Interpretación visual

Ilustración del modelo vectorial del momento angular orbital.

Dado que los momentos angulares son operadores cuánticos, no se pueden dibujar como vectores como en la mecánica clásica. Sin embargo, es común representarlos heurísticamente de esta manera. A la derecha se muestra un conjunto de estados con números cuánticos , y para los cinco conos de abajo a arriba. Como , todos los vectores se muestran con longitud . Los anillos representan el hecho de que se conoce con certeza, pero y son desconocidos; por lo tanto, se dibuja cada vector clásico con la longitud y el componente z adecuados , formando un cono. El valor esperado del momento angular para un conjunto dado de sistemas en el estado cuántico caracterizado por y podría estar en algún lugar de este cono, mientras que no se puede definir para un solo sistema (ya que los componentes de no conmutan entre sí). ${\displaystyle \ell =2}$ ${\displaystyle m_{\ell }=-2,-1,0,1,2}$ ${\displaystyle |L|={\sqrt {L^{2}}}=\hbar {\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle \hbar {\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle L_{y}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m_{\ell }}$ ${\displaystyle L}$

Cuantización en sistemas macroscópicos

Se cree que las reglas de cuantificación son válidas incluso para sistemas macroscópicos, como el momento angular L de un neumático que gira. Sin embargo, no tienen ningún efecto observable, por lo que esto no se ha comprobado. Por ejemplo, si es aproximadamente 100000000, no hay prácticamente ninguna diferencia si el valor preciso es un entero como 100000000 o 100000001, o un valor no entero como 100000000.2: los pasos discretos son actualmente demasiado pequeños para medirlos. ^[26] ${\displaystyle L_{z}/\hbar }$

El momento angular como generador de rotaciones

La definición más general y fundamental del momento angular es la de generador de rotaciones. ^[6] Más específicamente, sea un operador de rotación , que rota cualquier estado cuántico sobre el eje en un ángulo . Como , el operador se aproxima al operador identidad , porque una rotación de 0° asigna todos los estados a sí mismos. Entonces, el operador de momento angular sobre el eje se define como: ^[6] ${\displaystyle R({\hat {n}},\phi )}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi \rightarrow 0}$ ${\displaystyle R({\hat {n}},\phi )}$ ${\displaystyle J_{\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ $${\displaystyle J_{\hat {n}}\equiv i\hbar \lim _{\phi \rightarrow 0}{\frac {R\left({\hat {n}},\phi \right)-1}{\phi }}=\left.i\hbar {\frac {\partial R\left({\hat {n}},\phi \right)}{\partial \phi }}\right|_{\phi =0}}$$

donde 1 es el operador identidad . Observe también que R es un morfismo aditivo :  ; como consecuencia ^[6] donde exp es exponencial matricial . La existencia del generador está garantizada por el teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro . ${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi _{1}+\phi _{2}\right)=R\left({\hat {n}},\phi _{1}\right)R\left({\hat {n}},\phi _{2}\right)}$ $${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi J_{\hat {n}}}{\hbar }}\right)}$$

En términos más simples, el operador de momento angular total caracteriza cómo cambia un sistema cuántico cuando se lo rota. La relación entre los operadores de momento angular y los operadores de rotación es la misma que la relación entre las álgebras de Lie y los grupos de Lie en matemáticas, como se analiza más adelante.

Los diferentes tipos de operadores de rotación . El cuadro superior muestra dos partículas, con estados de espín indicados esquemáticamente por flechas.

1. El operador R , relacionado con J , rota todo el sistema.
2. El operador R _espacial , relacionado con L , rota las posiciones de las partículas sin alterar sus estados de giro internos.
3. El operador R _interno , relacionado con S , rota los estados de espín internos de las partículas sin cambiar sus posiciones.

Así como J es el generador de operadores de rotación , L y S son generadores de operadores de rotación parcial modificados. El operador rota la posición (en el espacio) de todas las partículas y campos, sin rotar el estado interno (espín) de ninguna partícula. Asimismo, el operador rota el estado interno (espín) de todas las partículas, sin mover ninguna partícula o campo en el espacio. La relación J = L + S proviene de: $${\displaystyle R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi L_{\hat {n}}}{\hbar }}\right),}$$ $${\displaystyle R_{\text{internal}}\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi S_{\hat {n}}}{\hbar }}\right),}$$ $${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)=R_{\text{internal}}\left({\hat {n}},\phi \right)R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},\phi \right)}$$

es decir, si se rotan las posiciones y luego se rotan los estados internos, entonces en conjunto se ha rotado todo el sistema.

SU(2), SO(3) y rotaciones de 360°

Aunque se podría esperar (una rotación de 360° es el operador identidad), esto no se asume en la mecánica cuántica, y resulta que a menudo no es cierto: cuando el número cuántico del momento angular total es un semientero (1/2, 3/2, etc.), , y cuando es un entero, . ^[6] Matemáticamente, la estructura de las rotaciones en el universo no es SO(3) , el grupo de rotaciones tridimensionales en la mecánica clásica. En cambio, es SU(2) , que es idéntica a SO(3) para rotaciones pequeñas, pero donde una rotación de 360° se distingue matemáticamente de una rotación de 0°. (Una rotación de 720° es, sin embargo, lo mismo que una rotación de 0°.) ^[6] ${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=1}$ ${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=-1}$ ${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1}$

Por otra parte, en todas las circunstancias, debido a que una rotación de 360° de una configuración espacial es lo mismo que ninguna rotación en absoluto. (Esto es diferente de una rotación de 360° del estado interno (de espín) de la partícula, que podría o no ser lo mismo que ninguna rotación en absoluto). En otras palabras, los operadores llevan la estructura de SO(3) , mientras que y llevan la estructura de SU(2) . ${\displaystyle R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1}$ ${\displaystyle R_{\text{spatial}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{\text{internal}}}$

A partir de la ecuación , se escoge un estado propio y se dibuja, es decir, que los números cuánticos del momento angular orbital solo pueden ser números enteros, no semienteros. ${\displaystyle +1=R_{\text{spatial}}\left({\hat {z}},360^{\circ }\right)=\exp \left(-2\pi iL_{z}/\hbar \right)}$ ${\displaystyle L_{z}|\psi \rangle =m\hbar |\psi \rangle }$ $${\displaystyle e^{-2\pi im}=1}$$

Conexión con la teoría de la representación

Partiendo de un determinado estado cuántico , considere el conjunto de estados para todos los posibles y , es decir, el conjunto de estados que surgen al rotar el estado inicial en todas las formas posibles. El espacio lineal de ese conjunto es un espacio vectorial y, por lo tanto, la manera en que los operadores de rotación asignan un estado a otro es una representación del grupo de operadores de rotación. ${\displaystyle |\psi _{0}\rangle }$ ${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)\left|\psi _{0}\right\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle \phi }$

Cuando los operadores de rotación actúan sobre estados cuánticos, forman una representación del grupo de Lie SU(2) (para R y R _internos ), o SO(3) (para R _espaciales ).

De la relación entre J y los operadores de rotación,

Cuando los operadores de momento angular actúan sobre estados cuánticos, forman una representación del álgebra de Lie o . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

(Las álgebras de Lie de SU(2) y SO(3) son idénticas.)

La derivación del operador de escalera anterior es un método para clasificar las representaciones del álgebra de Lie SU(2).

Conexión a las relaciones de conmutación

Las rotaciones clásicas no conmutan entre sí: por ejemplo, rotar 1° sobre el eje x y luego 1° sobre el eje y da como resultado una rotación general ligeramente diferente que rotar 1° sobre el eje y y luego 1° sobre el eje x . Al analizar cuidadosamente esta no conmutatividad, se pueden derivar las relaciones de conmutación de los operadores de momento angular. ^[6]

(Este mismo procedimiento de cálculo es una forma de responder a la pregunta matemática "¿Cuál es el álgebra de Lie de los grupos de Lie SO(3) o SU(2) ?")

Conservación del momento angular

El hamiltoniano H representa la energía y la dinámica del sistema. En una situación de simetría esférica, el hamiltoniano es invariante bajo rotaciones: donde R es un operador de rotación . En consecuencia, , y luego debido a la relación entre J y R . Por el teorema de Ehrenfest , se deduce que J se conserva. $${\displaystyle RHR^{-1}=H}$$ ${\displaystyle [H,R]=0}$ ${\displaystyle [H,\mathbf {J} ]=\mathbf {0} }$

En resumen, si H es invariante en rotación (simetría esférica), entonces el momento angular total J se conserva. Este es un ejemplo del teorema de Noether .

Si H es solo el hamiltoniano de una partícula, el momento angular total de esa partícula se conserva cuando la partícula está en un potencial central (es decir, cuando la función de energía potencial depende solo de ). Alternativamente, H puede ser el hamiltoniano de todas las partículas y campos del universo, y entonces H siempre es rotacionalmente invariante, ya que las leyes fundamentales de la física del universo son las mismas independientemente de la orientación. Esta es la base para decir que la conservación del momento angular es un principio general de la física. ${\displaystyle \left|\mathbf {r} \right|}$

Para una partícula sin espín, J = L , por lo que el momento angular orbital se conserva en las mismas circunstancias. Cuando el espín no es cero, la interacción espín-órbita permite que el momento angular se transfiera de L a S o viceversa. Por lo tanto, L no se conserva por sí solo.

Acoplamiento del momento angular

A menudo, dos o más tipos de momento angular interactúan entre sí, de modo que el momento angular puede transferirse de uno a otro. Por ejemplo, en el acoplamiento espín-órbita , el momento angular puede transferirse entre L y S , pero solo se conserva el total J = L + S. En otro ejemplo, en un átomo con dos electrones, cada uno tiene su propio momento angular J ₁ y J ₂ , pero solo se conserva el total J = J ₁ + J _{2 .}

En estas situaciones, suele ser útil conocer la relación entre, por un lado, los estados en los que todos tienen valores definidos y, por otro, los estados en los que todos tienen valores definidos, ya que los cuatro últimos suelen conservarse (constantes de movimiento). El procedimiento para ir y venir entre estas bases es utilizar los coeficientes de Clebsch-Gordan . ${\displaystyle \left(J_{1}\right)_{z},\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)_{z},\left(J_{2}\right)^{2}}$ ${\displaystyle \left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2},J_{z}}$

Un resultado importante en este campo es que existe una relación entre los números cuánticos para : ${\displaystyle \left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2}}$ $${\displaystyle j\in \left\{\left|j_{1}-j_{2}\right|,\left(\left|j_{1}-j_{2}\right|+1\right),\ldots ,\left(j_{1}+j_{2}\right)\right\}.}$$

Para un átomo o molécula con J = L + S , el término símbolo da los números cuánticos asociados con los operadores . ${\displaystyle L^{2},S^{2},J^{2}}$

Momento angular orbital en coordenadas esféricas

Los operadores de momento angular suelen aparecer al resolver un problema con simetría esférica en coordenadas esféricas . El momento angular en la representación espacial es ^{[27] [28]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\\&=i\hbar \left({\hat {\mathbf {x} }}\left(\sin(\phi ){\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot(\theta )\cos(\phi ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)+{\hat {\mathbf {y} }}\left(-\cos(\phi ){\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot(\theta )\sin(\phi ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)-{\hat {\mathbf {z} }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\L_{+}&=\hbar e^{i\phi }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot(\theta ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right),\\L_{-}&=\hbar e^{-i\phi }\left(-{\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot(\theta ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right),\\L^{2}&=-\hbar ^{2}\left({\frac {1}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin(\theta ){\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right),\\L_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}.\end{aligned}}}$$

En coordenadas esféricas la parte angular del operador de Laplace se puede expresar mediante el momento angular. Esto conduce a la relación $${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial }{\partial r}}\right)-{\frac {L^{2}}{\hbar ^{2}r^{2}}}.}$$

Al resolver para encontrar los estados propios del operador , obtenemos lo siguiente donde son los armónicos esféricos . ^[29] ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L^{2}\left|\ell ,m\right\rangle &=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)\left|\ell ,m\right\rangle \\L_{z}\left|\ell ,m\right\rangle &=\hbar m\left|\ell ,m\right\rangle \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \left\langle \theta ,\phi |\ell ,m\right\rangle =Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )}$$

Véase también

• Vector de Runge-Lenz (utilizado para describir la forma y orientación de los cuerpos en órbita)
• Transformación de Holstein-Primakoff
• Mapa de Jordania ( modelo bosónico de momento angular de Schwinger ^[30] )
• Pseudovector de Pauli-Lubanski
• Diagramas de momento angular (mecánica cuántica)
• Base esférica
• Operador tensorial
• Magnetización orbital
• Momento angular orbital de los electrones libres
• Momento angular orbital de la luz

Notas

1. En la derivación de Condon y Shortley en la que se basa la derivación actual, un conjunto de observables junto con y forman un conjunto completo de observables conmutativos. Además, exigieron que conmutara con y . ^[13] La presente derivación se simplifica al no incluir el conjunto o su conjunto correspondiente de valores propios . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle J_{y}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Referencias

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29. Sakurai, JJ y Napolitano, J (2010), Mecánica cuántica moderna (2.ª edición) (Pearson) ISBN 978-0805382914 
30. Schwinger, Julián (1952). Sobre el momento angular (PDF) . Comisión de Energía Atómica de Estados Unidos.

Lectura adicional

• Abers, E. (2004). Mecánica cuántica . Addison Wesley, Prentice Hall Inc. ISBN 978-0-13-146100-0.
• Biedenharn, LC ; Louck, James D. (1984). Momento angular en física cuántica: teoría y aplicación. Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Cambridge: Cambridge University Press. Bibcode :1984amqp.book.....B. doi :10.1017/cbo9780511759888. ISBN 978-0-521-30228-9.
• Bransden, BH; Joachain, CJ (1983). Física de átomos y moléculas . Longman. ISBN 0-582-44401-2.
• Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew. "Cap. 18: Momento angular". Las conferencias de física de Feynman, vol. III (edición del nuevo milenio).
• McMahon, D. (2006). La mecánica cuántica desmitificada . Mc Graw Hill (Estados Unidos). ISBN 0-07-145546 9.
• Zare, RN (1991). Momento angular. Comprensión de los aspectos espaciales en química y física . Wiley-Interscience. ISBN 978-0-47-1858928.