Casi entero

Cualquier número que no sea un entero pero que esté muy próximo a uno

Ed Pegg Jr. observó que la longitud d es igual a , lo cual es muy cercano a 7 (7.0000000857 aprox.) ^[1] ${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{30}}(61421-23{\sqrt {5831385}})}}}$

En matemáticas recreativas , un casi entero (o casi entero ) es cualquier número que no es un entero pero que está muy cerca de uno. Los casi enteros pueden considerarse interesantes cuando surgen en algún contexto en el que son inesperados.

Números casi enteros relacionados con la proporción áurea y los números de Fibonacci

Algunos ejemplos de números casi enteros son altas potencias de la proporción áurea , por ejemplo: ${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi ^{17}&={\frac {3571+1597{\sqrt {5}}}{2}}\approx 3571.00028\\[6pt]\phi ^{18}&=2889+1292{\sqrt {5}}\approx 5777.999827\\[6pt]\phi ^{19}&={\frac {9349+4181{\sqrt {5}}}{2}}\approx 9349.000107\end{aligned}}}$

El hecho de que estas potencias se aproximen a números enteros no es casualidad, porque la proporción áurea es un número de Pisot-Vijayaraghavan .

Las proporciones de los números de Fibonacci o Lucas también pueden dar números casi enteros, por ejemplo:

• ${\displaystyle {\frac {\operatorname {Fib} (360)}{\operatorname {Fib} (216)}}\approx 1242282009792667284144565908481.999999999999999999999999999999195}$
• ${\displaystyle {\frac {\operatorname {Lucas} (361)}{\operatorname {Lucas} (216)}}\approx 2010054515457065378082322433761.000000000000000000000000000000497}$

Los ejemplos anteriores se pueden generalizar mediante las siguientes secuencias, que generan números casi enteros que se aproximan a los números de Lucas con precisión creciente:

• ${\displaystyle a(n)={\frac {\operatorname {Fib} (45\times 2^{n})}{\operatorname {Fib} (27\times 2^{n})}}\approx \operatorname {Lucas} (18\times 2^{n})}$
• ${\displaystyle a(n)={\frac {\operatorname {Lucas} (45\times 2^{n}+1)}{\operatorname {Lucas} (27\times 2^{n})}}\approx \operatorname {Lucas} (18\times 2^{n}+1)}$

A medida que n aumenta, el número de nueves o ceros consecutivos que comienzan en el lugar de las décimas de a ( n ) se acerca al infinito.

Casi enteros relacionados conmiyπ

Otras apariciones de números casi enteros no coincidentes involucran los tres números de Heegner más grandes :

• ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {43}}}\approx 884736743.999777466}$
• ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {67}}}\approx 147197952743.999998662454}$
• ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 262537412640768743.99999999999925007}$

donde la no coincidencia se puede apreciar mejor cuando se expresa en la forma simple común: ^[2]

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {43}}}=12^{3}(9^{2}-1)^{3}+744-(2.225\ldots )\times 10^{-4}}$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {67}}}=12^{3}(21^{2}-1)^{3}+744-(1.337\ldots )\times 10^{-6}}$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=12^{3}(231^{2}-1)^{3}+744-(7.499\ldots )\times 10^{-13}}$

dónde

${\displaystyle 21=3\times 7,\quad 231=3\times 7\times 11,\quad 744=24\times 31}$

Y la razón de los cuadrados se debe a ciertas series de Eisenstein . La constante a veces se denomina constante de Ramanujan . ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}$

Los números enteros que involucran las constantes matemáticas π y e a menudo han desconcertado a los matemáticos. Un ejemplo es: La explicación de esta coincidencia aparentemente notable fue dada por A. Doman en septiembre de 2023, y es el resultado de una suma relacionada con las funciones theta de Jacobi de la siguiente manera: El primer término domina ya que la suma de los términos para el total Por lo tanto, la suma se puede truncar a donde resolviendo para da Reescribiendo la aproximación para y usando la aproximación para da Por lo tanto, reordenando los términos da Irónicamente, la aproximación cruda para produce un orden de magnitud adicional de precisión. ^[1] ${\displaystyle e^{\pi }-\pi =19.999099979189\ldots }$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left(8\pi k^{2}-2\right)e^{-\pi k^{2}}=1.}$$ ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle \sim 0.0003436.}$ ${\displaystyle \left(8\pi -2\right)e^{-\pi }\approx 1,}$ ${\displaystyle e^{\pi }}$ ${\displaystyle e^{\pi }\approx 8\pi -2.}$ ${\displaystyle e^{\pi }}$ ${\displaystyle 7\pi \approx 22}$ $${\displaystyle e^{\pi }\approx \pi +7\pi -2\approx \pi +22-2=\pi +20.}$$ ${\displaystyle e^{\pi }-\pi \approx 20.}$ ${\displaystyle 7\pi }$

Otro ejemplo que involucra estas constantes es: ${\displaystyle e+\pi +e\pi +e^{\pi }+\pi ^{e}=59.9994590558\ldots }$

Véase también

• Número esquizofrénico

Referencias

1. Eric Weisstein , "Casi entero" en MathWorld
2. "Más sobre e^(pi*SQRT(163))".

Enlaces externos

• JS Markovitch Coincidencia, compresión de datos y el concepto de economía del pensamiento de Mach