Un número esquizofrénico o número racional simulado es un número irracional que muestra ciertas características de los números racionales .
El Libro Universal de Matemáticas define el "número esquizofrénico" como:
Nombre informal para un número irracional que muestra patrones tan persistentes en su expansión decimal que tiene la apariencia de un número racional. Un número esquizofrénico se puede obtener de la siguiente manera. Para cualquier entero positivo n , sea f ( n ) el entero dado por la recurrencia f ( n ) = 10 f ( n − 1) + n con el valor inicial f (0) = 0. Por lo tanto, f (1) = 1, f (2) = 12, f (3) = 123, y así sucesivamente. Las raíces cuadradas de f ( n ) para los enteros impares n dan lugar a una curiosa mezcla que parece racional para los períodos, y luego se desintegra en la irracionalidad. Esto se ilustra con los primeros 500 dígitos de √ f (49) :
1111111111111111111111111.1111111111111111111111 0860555555555555555555555555555555555555555555555 27305416666666666666666666666666666666666666666 029626034722222222222222222222222222222222222222 04265639409288194444444444444444444444444444444 387755512504011718749999999999999999999999999999 80824968771148630533854166666666666666666666666 598718573862144063865559895833333333333333333333 084346040762760820694027709960937499999999999999 0642227587555983066639430321587456597222222222 1863492016791180833081844 ...Las cadenas repetidas se van acortando progresivamente y las cadenas desordenadas se van haciendo más grandes hasta que finalmente las cadenas repetidas desaparecen. Sin embargo, al aumentar n podemos evitar la desaparición de las cadenas repetidas tanto como queramos. Los dígitos repetidos son siempre 1, 5, 6, 2, 4, 9, 6, 3, 9, 2, ... . [1]
La secuencia de números generada por la relación de recurrencia f ( n ) = 10 f ( n − 1) + n descrita anteriormente es:
Las partes enteras de sus raíces cuadradas,
alternar entre números con dígitos irregulares y números con dígitos repetidos, de forma similar a las alternancias que aparecen dentro de la parte decimal de cada raíz cuadrada.
El número esquizofrénico que se muestra arriba es el caso especial de un fenómeno más general que aparece en las expansiones -arias de raíces cuadradas de las soluciones de la recurrencia , para todos , con valor inicial tomado en enteros positivos impares . El caso y corresponde al ejemplo anterior.
De hecho, Tóth demostró que estos números irracionales presentan patrones esquizofrénicos dentro de su expansión -aria, [2] compuesta por bloques que comienzan con un bloque de dígitos no repetidos seguido de un bloque de dígitos repetidos. Cuando se juntan en base , estos bloques forman el patrón esquizofrénico . Por ejemplo, en base 8 , el número comienza:
1111111111111111111111111.1111111111111111111111 0600444444444444444444444444444444444444444444444 02144333333333333333333333333333333333333333333 17512442266666666666666666666666666666666666666 ....
El patrón se debe a la expansión de Taylor de la raíz cuadrada de la solución de la recurrencia tomada en números enteros positivos impares. Las diversas contribuciones de dígitos de la expansión de Taylor dan como resultado los bloques de dígitos no repetitivos y repetidos que forman el patrón esquizofrénico.
En algunos casos, en lugar de secuencias de dígitos repetidas, encontramos patrones de dígitos repetidos . Por ejemplo, el número :
1111111111111111111111111.1111111111111111111111111111111 01200202020202020202020202020202020202020202020 1101010200120012000012001200120012001200120012 001021120020211210002112100021121000211210 ...
muestra patrones de dígitos repetidos en la base .
Los números que son esquizofrénicos en base también lo son en base , hasta un cierto límite (véase Tóth). Un ejemplo es el que se muestra arriba, que sigue siendo esquizofrénico en base :
14444444444444.4444444444 350666666666666666666666 41120505050505050505050 33750675307530753075307 40552382 ...
Clifford A. Pickover ha dicho que los números esquizofrénicos fueron descubiertos por Kevin Brown. En Wonders of Numbers , Pickover ha descrito la historia de los números esquizofrénicos de la siguiente manera:
La construcción y el descubrimiento de los números esquizofrénicos fue motivado por una afirmación (publicada en el grupo de noticias de Usenet sci.math) de que no se esperaría que los dígitos de un número irracional elegido al azar mostraran patrones obvios en los primeros 100 dígitos. Se dijo que si se encontrara tal patrón, sería una prueba irrefutable de la existencia de Dios o de inteligencia extraterrestre. (Un número irracional es cualquier número que no se puede expresar como una razón de dos números enteros. Los números trascendentales como e y π y los números irracionales no enteros como la raíz cuadrada de 2 son irracionales.) [3]
