Serie entera infinita donde el siguiente número es la suma de los dos anteriores
La espiral de Lucas, hecha con cuartos de arco , es una buena aproximación de la espiral áurea cuando sus términos son grandes. Sin embargo, cuando sus términos se vuelven muy pequeños, el radio del arco disminuye rápidamente de 3 a 1 y luego aumenta de 1 a 2.
La secuencia de Lucas tiene la misma relación recursiva que la secuencia de Fibonacci, donde cada término es la suma de los dos términos anteriores, pero con valores iniciales diferentes. [1] Esto produce una secuencia en la que las proporciones de términos sucesivos se acercan a la proporción áurea y, de hecho, los términos en sí son redondeos de potencias enteras de la proporción áurea. [2] La secuencia también tiene una variedad de relaciones con los números de Fibonacci, como el hecho de que sumar dos números de Fibonacci cualesquiera con dos términos de diferencia en la secuencia de Fibonacci da como resultado el número de Lucas en el medio. [3]
Al igual que ocurre con los números de Fibonacci, cada número de Lucas se define como la suma de sus dos términos inmediatamente anteriores, formando así una secuencia entera de Fibonacci . Los dos primeros números de Lucas son y , que difieren de los dos primeros números de Fibonacci y . Aunque estrechamente relacionados en definición, los números de Lucas y Fibonacci exhiben propiedades distintas.
Por tanto, los números de Lucas se pueden definir de la siguiente manera:
Todas las secuencias enteras similares a Fibonacci aparecen en forma desplazada como una fila de la matriz de Wythoff ; la secuencia de Fibonacci en sí es la primera fila y la secuencia de Lucas es la segunda fila. También como todas las secuencias enteras tipo Fibonacci, la proporción entre dos números de Lucas consecutivos converge a la proporción áurea .
Extensión a enteros negativos
Usando , se pueden extender los números de Lucas a enteros negativos para obtener una secuencia doblemente infinita:
..., −11, 7, −4, 3, −1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... ( se muestran los términos para ).
La fórmula para términos con índices negativos en esta secuencia es
Relación con los números de Fibonacci
La primera identidad expresada visualmente.
Los números de Lucas están relacionados con los números de Fibonacci por muchas identidades . Entre estos se encuentran los siguientes:
¿Dónde está la proporción áurea ? Alternativamente, como la magnitud del término es menor que 1/2, es el número entero más cercano o, equivalentemente, la parte entera de , también escrito como .
En septiembre de 2015 [update], el primo de Lucas más grande confirmado es L 148091 , que tiene 30950 dígitos decimales. [4] En agosto de 2022 , el primo probable[update] de Lucas más grande conocido es L 5466311 , con 1.142.392 dígitos decimales. [5]
Si L n es primo, entonces n es 0, primo o una potencia de 2 . [6] L 2 m es primo para m = 1, 2, 3 y 4 y no se conocen otros valores de m .
Para números enteros positivos n , las fracciones continuas son:
.
Por ejemplo:
es el limite de
siendo el error en cada término aproximadamente el 1% del error en el término anterior; y
es el limite de
siendo el error en cada trimestre aproximadamente el 0,3% del del segundo trimestre anterior.
Aplicaciones
Los números de Lucas son el segundo patrón más común en los girasoles después de los números de Fibonacci, cuando se cuentan las espirales en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario a las agujas del reloj, según un análisis de 657 girasoles realizado en 2016. [7]
^ ab Weisstein, Eric W. "Número de Lucas". mathworld.wolfram.com . Consultado el 11 de agosto de 2020 .
^ Parker, Matt (2014). "13". Cosas que hacer y hacer en la cuarta dimensión . Farrar, Straus y Giroux. pag. 284.ISBN978-0-374-53563-6.
^ Parker, Matt (2014). "13". Cosas que hacer y hacer en la cuarta dimensión . Farrar, Straus y Giroux. pag. 282.ISBN978-0-374-53563-6.
^ "Los veinte primeros: el número de Lucas". primes.utm.edu . Consultado el 6 de enero de 2022 .
^ "Top PRP de Henri & Renaud Lifchitz: búsqueda por formulario". www.primenumbers.net . Consultado el 6 de enero de 2022 .
^ Chris Caldwell, "The Prime Glossary: Lucas Prime" de The Prime Pages .
^ Swinton, Jonathan; Ochu, Erinma; nulo, nulo (2016). "Nueva estructura de Fibonacci y no Fibonacci en el girasol: resultados de un experimento de ciencia ciudadana". Ciencia abierta de la Royal Society . 3 (5): 160091. Código bibliográfico : 2016RSOS....360091S. doi :10.1098/rsos.160091. PMC 4892450 . PMID 27293788.