Teleparalelismo

El teleparalelismo (también llamado gravedad teleparalela ), fue un intento de Albert Einstein ^[1] de basar una teoría unificada del electromagnetismo y la gravedad en la estructura matemática del paralelismo distante, también denominado absoluto o teleparalelismo. En esta teoría, un espacio-tiempo se caracteriza por una conexión lineal libre de curvatura junto con un campo tensorial métrico , ambos definidos en términos de un campo de tétrada dinámico .

Espaciotiempos teleparalelos

La nueva idea crucial, para Einstein, fue la introducción de un campo tétrada , es decir, un conjunto ${X 1, X 2$ $,$ $X$ $3$ $, X$ $4$ $}$ de cuatro campos vectoriales definidos en todo M tal que para cada $p$ $\in$ $M$ el el conjunto ${X$ $1$ $($ $p$ $), X$ $2$ $($ $p$ $), X$ $3$ $($ $p$ $), X$ $4$ $($ $p$ $)}$ es una base de $T$ $p$ $M$ , donde $T$ $p$ $M$ denota la fibra sobre $p$ del paquete de vectores tangente $TM$ . Por lo tanto, la variedad espaciotemporal de cuatro dimensiones $M$ debe ser una variedad paralelizable . El campo de tétrada se introdujo para permitir la comparación distante de la dirección de vectores tangentes en diferentes puntos de la variedad, de ahí el nombre de paralelismo distante. Su intento fracasó porque no había una solución de Schwarzschild en su ecuación de campo simplificada.

De hecho, se puede definir la conexión de la paralelización (también llamada conexión de Weitzenböck ) ${X i}$ como la conexión lineal $\nabla$ en $M$ tal que ^[2]

\nabla _{v}\left(f^{i}\mathrm {X} _{i}\right)=\left(vf^{i}\right)\mathrm {X} _{i} (pag),

donde $v \in T p M$ y $f i$ son funciones (globales) sobre $M$ ; por lo tanto $f i X i$ es un campo vectorial global en $M$ . En otras palabras, los coeficientes de la conexión de Weitzenböck $\nabla$ con respecto a ${X i}$ son todos idénticamente cero, implícitamente definidos por:

\nabla _{\mathrm {X} _{i}}\mathrm {X} _{j}=0,

por eso

{W^{k}}_{ij}=\omega ^{k}\left(\nabla _{\mathrm {X} _{i}}\mathrm {X} _{j}\right) \equiv 0,

para los coeficientes de conexión (también llamados coeficientes de Weitzenböck) en esta base global. Aquí $ω k$ es la base global dual (o coframe) definida por $ω i (X j) = δ yo j$ .

Esto es lo que suele ocurrir en $R n$ , en cualquier espacio afín o grupo de Lie (por ejemplo, la esfera 'curva' $S 3$ pero la variedad 'plana de Weitzenböck').

Usando la ley de transformación de una conexión, o equivalentemente las propiedades $\nabla$ , tenemos el siguiente resultado.

Proposición . En una base natural, asociados con coordenadas locales $(U, x μ)$ , es decir, en el marco holonómico $\partial μ$ , los coeficientes de conexión (locales) de la conexión de Weitzenböck vienen dados por:
${\Gamma ^{\beta }}_{\mu \nu }=h_{i}^{\beta }\partial _{\nu }h_{\mu }^{i},$
donde $X i = h μ yo \partial μ$ para $i, μ = 1, 2,\dots n$ son las expresiones locales de un objeto global, es decir, la tétrada dada.

La conexión de Weitzenböck tiene una curvatura que desaparece, pero, en general, una torsión que no desaparece .

Dado el campo de marco ${X i}$ , también se puede definir una métrica concibiendo el campo de marco como un campo vectorial ortonormal. Entonces se obtendría un campo tensorial métrico pseudo-riemanniano $g$ de firma (3,1) mediante

g\left(\mathrm {X} _{i},\mathrm {X} _{j}\right)=\eta _{ij},

dónde

\eta _{ij}=\operatorname {diag} (-1,-1,-1,1).

El correspondiente espacio-tiempo subyacente se denomina en este caso espacio-tiempo de Weitzenböck . ^[3]

Vale la pena señalar que estos 'campos vectoriales paralelos' dan lugar al tensor métrico como subproducto.

Nueva teoría de la gravedad teleparalela

La nueva teoría de la gravedad teleparalela (o nueva relatividad general ) es una teoría de la gravitación en el espacio-tiempo de Weitzenböck y atribuye la gravitación al tensor de torsión formado por los campos vectoriales paralelos.

En la nueva teoría de la gravedad teleparalela los supuestos fundamentales son los siguientes:

El espacio-tiempo subyacente es el espacio-tiempo de Weitzenböck, que tiene como estructura fundamental un cuatrillizo de campos vectoriales paralelos. Estos campos vectoriales paralelos dan lugar al tensor métrico como subproducto. Todas las leyes físicas se expresan mediante ecuaciones que son covariantes o invariantes de forma bajo el grupo de transformaciones de coordenadas generales.
El principio de equivalencia sólo es válido en la física clásica.
Las ecuaciones del campo gravitacional se derivan del principio de acción.
Las ecuaciones de campo son ecuaciones diferenciales parciales en las variables de campo no superiores al segundo orden.

En 1961 Christian Møller ^[4] revivió la idea de Einstein, y Pellegrini y Plebanski ^[5] encontraron una formulación lagrangiana para el paralelismo absoluto .

Teoría de la gravitación de la tétrada de Møller

En 1961, Møller ^[4]^[6] demostró que una descripción en tétrada de los campos gravitacionales permite un tratamiento más racional del complejo energía-momento que en una teoría basada únicamente en el tensor métrico . La ventaja de utilizar tétradas como variables gravitacionales estaba relacionada con el hecho de que esto permitía construir expresiones para el complejo energía-momento que tenían propiedades de transformación más satisfactorias que en una formulación puramente métrica. En 2015, se demostró que la energía total de la materia y la gravitación es proporcional al escalar de Ricci de tres espacios hasta el orden lineal de perturbación. ^[7]

Nueva traducción de la teoría de la gravedad de calibre teleparalelo

De forma independiente, en 1967, Hayashi y Nakano ^[8] revivieron la idea de Einstein, y Pellegrini y Plebanski ^[5] comenzaron a formular la teoría de calibre del grupo de traducción del espacio-tiempo . ^{[ se necesita aclaración ]} Hayashi señaló la conexión entre la teoría de calibre del grupo de traducción del espacio-tiempo y el paralelismo absoluto. Cho proporcionó la primera formulación de haz de fibras . ^[9] Este modelo fue estudiado posteriormente por Schweizer et al., ^[10] Nitsch y Hehl, Meyer; ^{[ cita necesaria ]} Se pueden encontrar avances más recientes en Aldrovandi y Pereira, Gronwald, Itin, Maluf y da Rocha Neto, Münch, Obukhov y Pereira, y Schucking y Surowitz. ^{[ cita necesaria ]}

Hoy en día, el teleparalelismo se estudia puramente como una teoría de la gravedad ^[11] sin intentar unificarlo con el electromagnetismo. En esta teoría, el campo gravitacional resulta estar completamente representado por el potencial de calibre de traslación $B a μ$ , como debería ser para una teoría de calibre para el grupo de traslación.

Si se hace esta elección, entonces ya no existe ninguna simetría de calibre de Lorentz porque la fibra espacial interna de Minkowski , sobre cada punto de la variedad espacio-temporal , pertenece a un haz de fibras con el grupo abeliano $R$ $4$ como grupo estructural . Sin embargo, se puede introducir una simetría de calibre traslacional de la siguiente manera: en lugar de ver las tétradas como fundamentales, introducimos una simetría de calibre traslacional $R$ $4$ fundamental (que actúa sobre las fibras espaciales internas de Minkowski de manera afín para que esta fibra vuelva a ser local) con una conexión $B$ y un "campo de coordenadas" $x$ que toma valores en la fibra espacial de Minkowski.

Más precisamente, sea $π : M \to M$ el haz de fibras de Minkowski sobre la variedad espacio-temporal $M$ . Para cada punto $p$ $\in$ $M$ , la fibra $Mp$ $es$ un espacio afín . En un gráfico de fibra $($ $V$ $,$ $ψ$ $)$ , las coordenadas generalmente se denotan por $ψ$ $= ($ $x$ $μ$ $,$ $x$ $a$ $)$ , donde $x$ $μ$ son coordenadas en la variedad espacio-temporal $M$ , y $x$ $a$ son coordenadas en la $fibra$ $Mp$ .

Usando la notación de índice abstracto , hagamos que $a, b, c,\dots$ se refieran a $M p$ y $μ, ν,\dots$ se refieran al paquete tangente $TM$ . En cualquier calibre particular, el valor de $x a$ en el punto p está dado por la sección

x^{\mu }\to \left(x^{\mu },x^{a}=\xi ^{a}(p)\right).

La derivada covariante

D_{\mu }\xi ^{a}\equiv \left(d\xi ^{a}\right)_{\mu }+{B^{a}}_{\mu }=\partial _{\mu }\xi ^{a}+{B^{a}}_{\mu }

se define con respecto a la forma de conexión $B$ , una forma 1 que asume valores en el álgebra de Lie del grupo abeliano traslacional $R 4$ . Aquí, d es la derivada exterior del $aésimo$ componente de $x$ , que es un campo escalar (por lo que esta no es una notación de índice abstracta pura). Bajo una transformación de calibre por el campo de traducción $α a$ ,

x^{a}\to x^{a}+\alpha ^{a}

{B^{a}}_{\mu }\to {B^{a}}_{\mu }-\partial _{\mu }\alpha ^{a}

y entonces, la derivada covariante de $x a = ξ a (p)$ es invariante de calibre . Esto se identifica con la (co-)tétrada traslacional

{h^{a}}_{\mu }=\partial _{\mu }\xi ^{a}+{B^{a}}_{\mu }

que es una forma única que toma valores en el álgebra de Lie del grupo abeliano traslacional $R 4$ , de donde es invariante de calibre. ^[12] ¿Pero qué significa esto? $x a = ξ a (p)$ es una sección local del paquete interno afín (traslacional puro) $M \to M$ , otra estructura importante además del campo de calibre traslacional $B a μ$ . Geométricamente, este campo determina el origen de los espacios afines; se conoce como vector de radio de Cartan . En el marco de la teoría de calibre, la forma única

h^{a}={h^{a}}_{\mu }dx^{\mu }=\left(\partial _{\mu }\xi ^{a}+{B^{a}}_{\mu }\right)dx^{\mu }

surge como el campo de calibre traslacional no lineal con $ξ a$ interpretado como el campo de Goldstone que describe la ruptura espontánea de la simetría traslacional.

Una cruda analogía: piense en $Mp$ $como$ la pantalla de la computadora y el desplazamiento interno como la posición del puntero del mouse. Piense en una alfombrilla de mouse curva como espacio-tiempo y la posición del mouse como la posición. Manteniendo fija la orientación del mouse, si movemos el mouse sobre la alfombrilla curva, la posición del puntero del mouse (desplazamiento interno) también cambia y este cambio depende de la ruta; es decir, no depende sólo de la posición inicial y final del ratón. El cambio en el desplazamiento interno cuando movemos el mouse sobre un camino cerrado en el mousepad es la torsión.

Otra cruda analogía: piense en un cristal con defectos lineales ( dislocaciones de borde y dislocaciones de tornillo, pero no disclinaciones ). El transporte paralelo de un punto de M a lo largo de una trayectoria se obtiene contando el número de enlaces cristalinos (arriba/abajo, adelante/atrás e izquierda/derecha) atravesados. El vector de Burgers corresponde a la torsión. Las declinaciones corresponden a la curvatura, por lo que se desprecian.

La torsión, es decir, la intensidad del campo traslacional de la gravedad teleparalela (o la "curvatura" traslacional),

{T^{a}}_{\mu \nu }\equiv \left(DB^{a}\right)_{\mu \nu }=D_{\mu }{B^{a}}_{\nu }-D_{\nu }{B^{a}}_{\mu },

es invariante de calibre .

Siempre podemos elegir el calibre donde $x a$ es cero en todas partes, aunque $M p$ es un espacio afín y también una fibra; por tanto, el origen debe definirse punto por punto, lo que puede hacerse de forma arbitraria. Esto nos lleva de nuevo a la teoría donde la tétrada es fundamental.

El teleparalelismo se refiere a cualquier teoría de la gravitación basada en este marco. Hay una elección particular de la acción que la hace exactamente equivalente ^[9] a la relatividad general, pero también hay otras elecciones de la acción que no son equivalentes a la relatividad general. En algunas de estas teorías no existe equivalencia entre masas inerciales y gravitacionales . ^[13]

A diferencia de la relatividad general, la gravedad no se debe a la curvatura del espacio-tiempo sino a la torsión del mismo.

Contextos no gravitacionales

Existe una estrecha analogía entre la geometría del espacio-tiempo y la estructura de los defectos del cristal. ^[14]^[15] Las dislocaciones se representan por torsión, las disclinaciones por curvatura. Estos defectos no son independientes unos de otros. Una dislocación equivale a un par disclinación-antidisclinación, una disclinación equivale a una cadena de dislocaciones. Ésta es la razón básica por la que la teoría de Einstein basada puramente en la curvatura puede reescribirse como una teoría teleparalela basada únicamente en la torsión. Además, existen infinitas formas de reescribir la teoría de Einstein, dependiendo de cuánta curvatura se quiera reexpresar en términos de torsión, siendo la teoría teleparalela simplemente una versión específica de ellas. ^[dieciséis]

Otra aplicación del teleparalelismo ocurre en la teoría cuántica de campos, a saber, modelos sigma bidimensionales no lineales con espacio objetivo en variedades geométricas simples, cuyo comportamiento de renormalización está controlado por un flujo de Ricci , que incluye torsión . Esta torsión modifica el tensor de Ricci y, por tanto, conduce a un punto fijo infrarrojo para el acoplamiento, debido al teleparalelismo ("geometrostasis"). ^[17]

Ver también

Referencias

^ Einstein, Alberto (1928). "Riemann-Geometrie mit Aufrechterhaltung des Begriffes des Fernparallelismus". Preussische Akademie der Wissenschaften, Física y Matemáticas. Klasse, Sitzungsberichte . 1928 : 217–221.
^ Obispo, RL; Goldberg, SI (1968). Análisis tensorial en variedades . pag. 223.
^ "Sobre la historia de las teorías del campo unificado".
^ ab Møller, Christian (1961). "Leyes de conservación y paralelismo absoluto en la relatividad general". Estera. Fys. Dan. Vídeo. Selsk . 1 (10): 1–50.
^ ab Pellegrini, C.; Plebanski, J. (1963). "Campos tétrada y campos gravitacionales". Estera. Fys. SKR. Dan. Vídeo. Selsk . 2 (4): 1–39.
^ Møller, Christian (1961). "Más comentarios sobre la localización de la energía en la teoría general de la relatividad". Ana. Física . 12 (1): 118-133. Código bibliográfico : 1961AnPhy..12..118M. doi :10.1016/0003-4916(61)90148-8.
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Otras lecturas

Aldrovandi, R.; Pereira, JG (2012). Gravedad teleparalela: una introducción . Springer: Dordrecht. ISBN 978-94-007-5142-2.
Obispo, RL ; Goldberg, SI (1968). Análisis tensorial en variedades (Primera edición de Dover, 1980). Macmillan. ISBN 978-0-486-64039-6.
Weitzenböck, R. (1923). Teoría invariante . Groninga: Noordhoff.

enlaces externos

Artículos seleccionados sobre teleparalelismo, traducidos y editados por DH Delphenich
Gravedad teleparalela en el n Lab
Estructuras teleparalelas y teorías de la gravedad de Luca Bombelli