La teoría de números aditivos es el subcampo de la teoría de números que se ocupa del estudio de los subconjuntos de números enteros y su comportamiento en condiciones de adición . De manera más abstracta, el campo de la teoría de números aditivos incluye el estudio de los grupos abelianos y los semigrupos conmutativos con una operación de adición. La teoría de números aditivos tiene vínculos estrechos con la teoría de números combinatorios y la geometría de los números . Los principales objetos de estudio incluyen la suma de dos subconjuntos A y B de elementos de un grupo abeliano G ,
y la suma h -fold de A ,
El campo se dedica principalmente a la consideración de problemas directos sobre (típicamente) los números enteros, es decir, determinar la estructura de hA a partir de la estructura de A : por ejemplo, determinar qué elementos se pueden representar como una suma de hA , donde A es un subconjunto fijo. [1] Dos problemas clásicos de este tipo son la conjetura de Goldbach (que es la conjetura de que 2ℙ contiene todos los números pares mayores que dos, donde ℙ es el conjunto de primos ) y el problema de Waring (que pregunta qué tan grande debe ser h para garantizar que hA k contenga todos los números enteros positivos, donde
es el conjunto de potencias k ésimas). Muchos de estos problemas se estudian utilizando las herramientas del método del círculo de Hardy-Littlewood y de los métodos de criba . Por ejemplo, Vinogradov demostró que todo número impar suficientemente grande es la suma de tres primos, y por lo tanto todo entero par suficientemente grande es la suma de cuatro primos. Hilbert demostró que, para todo entero k > 1 , todo entero no negativo es la suma de un número acotado de potencias k ésimas. En general, un conjunto A de enteros no negativos se denomina base de orden h si hA contiene todos los enteros positivos, y se denomina base asintótica si hA contiene todos los enteros suficientemente grandes. Gran parte de la investigación actual en esta área se ocupa de las propiedades de las bases asintóticas generales de orden finito. Por ejemplo, un conjunto A se denomina base asintótica mínima de orden h si A es una base asintótica de orden h pero ningún subconjunto propio de A es una base asintótica de orden h . Se ha demostrado que existen bases asintóticas mínimas de orden h para todo h , y que también existen bases asintóticas de orden h que no contienen bases asintóticas mínimas de orden h . Otra cuestión a considerar es cuán pequeño puede ser el número de representaciones de n como suma de h elementos en una base asintótica. Este es el contenido de la conjetura de Erdős–Turán sobre bases aditivas .
