Invariante adiabático

Propiedad de los sistemas físicos que permanece relativamente constante a través de cambios lentos.

Una propiedad de un sistema físico , como la entropía de un gas, que permanece aproximadamente constante cuando los cambios ocurren lentamente se denomina invariante adiabático . Con esto se quiere decir que si un sistema varía entre dos puntos finales, a medida que el tiempo de variación entre los puntos finales aumenta hasta el infinito, la variación de un invariante adiabático entre los dos puntos finales tiende a cero.

En termodinámica , un proceso adiabático es un cambio que ocurre sin flujo de calor; puede ser lento o rápido. Un proceso adiabático reversible es un proceso adiabático que ocurre lentamente en comparación con el tiempo necesario para alcanzar el equilibrio. En un proceso adiabático reversible, el sistema está en equilibrio en todas las etapas y la entropía es constante. En la primera mitad del siglo XX, los científicos que trabajaban en física cuántica utilizaron el término "adiabático" para los procesos adiabáticos reversibles y, posteriormente, para cualquier condición que cambie gradualmente y permita que el sistema adapte su configuración. La definición de la mecánica cuántica se acerca más al concepto termodinámico de un proceso cuasiestático y no tiene relación directa con los procesos adiabáticos en termodinámica.

En mecánica , un cambio adiabático es una deformación lenta del hamiltoniano , donde la tasa fraccionaria de cambio de la energía es mucho más lenta que la frecuencia orbital. El área encerrada por los diferentes movimientos en el espacio de fases son los invariantes adiabáticos .

En mecánica cuántica , un cambio adiabático es aquel que se produce a una velocidad mucho más lenta que la diferencia de frecuencia entre estados propios de energía. En este caso, los estados de energía del sistema no realizan transiciones, por lo que el número cuántico es un invariante adiabático.

La antigua teoría cuántica se formuló equiparando el número cuántico de un sistema con su invariante adiabático clásico. Esto determinó la forma de la regla de cuantificación de Bohr-Sommerfeld : el número cuántico es el área en el espacio de fases de la órbita clásica.

Termodinámica

En termodinámica, los cambios adiabáticos son aquellos que no aumentan la entropía. Se producen lentamente en comparación con las otras escalas de tiempo características del sistema de interés ^[1] y permiten el flujo de calor solo entre objetos a la misma temperatura. En sistemas aislados, un cambio adiabático no permite que entre ni salga calor.

Expansión adiabática de un gas ideal

Si un recipiente con un gas ideal se expande instantáneamente, la temperatura del gas no cambia en absoluto, porque ninguna de las moléculas pierde velocidad. Las moléculas mantienen su energía cinética, pero ahora el gas ocupa un volumen mayor. Sin embargo, si el recipiente se expande lentamente, de modo que la ley de presión del gas ideal se cumple en cualquier momento, las moléculas del gas pierden energía a la velocidad en que realizan trabajo sobre la pared en expansión. La cantidad de trabajo que realizan es la presión multiplicada por el área de la pared multiplicada por el desplazamiento hacia afuera, que es la presión multiplicada por el cambio en el volumen del gas: $${\displaystyle dW=P\,dV={\frac {Nk_{\text{B}}T}{V}}\,dV.}$$

Si no entra calor en el gas, la energía de las moléculas del gas disminuye en la misma cantidad. Por definición, un gas es ideal cuando su temperatura es solo una función de la energía interna por partícula, no del volumen. Entonces, ¿ dónde es el calor específico a volumen constante? Cuando el cambio de energía se debe completamente al trabajo realizado sobre la pared, el cambio de temperatura está dado por $${\displaystyle dT={\frac {1}{NC_{v}}}\,dE,}$$ ${\displaystyle C_{v}}$ $${\displaystyle NC_{v}\,dT=-dW=-{\frac {Nk_{\text{B}}T}{V}}\,dV.}$$

Esto da una relación diferencial entre los cambios de temperatura y volumen, que se puede integrar para encontrar la invariante. La constante es simplemente un factor de conversión de unidades , que se puede establecer igual a uno: ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ $${\displaystyle d(C_{v}N\log T)=-d(N\log V).}$$

Por lo tanto , es un invariante adiabático, que está relacionado con la entropía. $${\displaystyle C_{v}N\log T+N\log V}$$ $${\displaystyle S=C_{v}N\log T+N\log V-N\log N=N\log \left({\frac {T^{C_{v}}V}{N}}\right).}$$

Por lo tanto, la entropía es un invariante adiabático. El término N  log( N ) hace que la entropía sea aditiva, por lo que la entropía de dos volúmenes de gas es la suma de las entropías de cada uno.

En una interpretación molecular, S es el logaritmo del volumen del espacio de fases de todos los estados gaseosos con energía E ( T ) y volumen V .

Para un gas ideal monatómico, esto se puede ver fácilmente escribiendo la energía: $${\displaystyle E={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\left(p_{k1}^{2}+p_{k2}^{2}+p_{k3}^{2}\right).}$$

Los diferentes movimientos internos del gas con energía total E definen una esfera, la superficie de una bola de 3 N dimensiones con radio . El volumen de la esfera es donde es la función gamma . ${\displaystyle {\sqrt {2mE}}}$ $${\displaystyle {\frac {2\pi ^{3N/2}(2mE)^{(3N-1)/2}}{\Gamma (3N/2)}},}$$ ${\displaystyle \Gamma }$

Dado que cada molécula de gas puede estar en cualquier lugar dentro del volumen V , el volumen en el espacio de fases ocupado por los estados gaseosos con energía E es $${\displaystyle {\frac {2\pi ^{3N/2}(2mE)^{(3N-1)/2}V^{N}}{\Gamma (3N/2)}}.}$$

Como las moléculas de gas N son indistinguibles, el volumen del espacio de fase se divide por , el número de permutaciones de N moléculas. ${\displaystyle N!=\Gamma (N+1)}$

Usando la aproximación de Stirling para la función gamma, e ignorando los factores que desaparecen en el logaritmo después de tomar N grande, $${\displaystyle {\begin{aligned}S&=N\left({\tfrac {3}{2}}\log(E)-{\tfrac {3}{2}}\log({\tfrac {3}{2}}N)+\log(V)-\log(N)\right)\\&=N\left({\tfrac {3}{2}}\log \left({\tfrac {2}{3}}E/N\right)+\log \left({\frac {V}{N}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

Dado que el calor específico de un gas monoatómico es 3/2, esta es la misma que la fórmula termodinámica para la entropía.

Ley de Wien: expansión adiabática de una caja de luz

Para una caja de radiación, ignorando la mecánica cuántica, la energía de un campo clásico en equilibrio térmico es infinita , ya que la equipartición exige que cada modo de campo tenga una energía igual en promedio, y hay infinitos modos. Esto es físicamente ridículo, ya que significa que toda la energía se filtra en ondas electromagnéticas de alta frecuencia a lo largo del tiempo.

Aun así, sin la mecánica cuántica, hay algunas cosas que se pueden decir sobre la distribución del equilibrio únicamente a partir de la termodinámica, porque todavía existe una noción de invariancia adiabática que relaciona cajas de diferentes tamaños.

Cuando una caja se expande lentamente, la frecuencia de la luz que retrocede de la pared se puede calcular a partir del efecto Doppler . Si la pared no se mueve, la luz retrocede a la misma frecuencia. Si la pared se mueve lentamente, la frecuencia de retroceso solo es igual en el marco donde la pared está estacionaria. En el marco donde la pared se aleja de la luz, la luz que entra es más azul que la luz que sale por el doble del factor de efecto Doppler v / c : $${\displaystyle \Delta f={\frac {2v}{c}}f.}$$

Por otra parte, la energía de la luz también disminuye cuando la pared se aleja, porque la luz realiza trabajo sobre la pared por presión de radiación. Como la luz se refleja, la presión es igual al doble del momento transportado por la luz, que es E / c . La velocidad a la que la presión realiza trabajo sobre la pared se obtiene multiplicando por la velocidad: $${\displaystyle \Delta E=v{\frac {2E}{c}}.}$$

Esto significa que el cambio de frecuencia de la luz es igual al trabajo realizado sobre la pared por la presión de radiación. La luz que se refleja cambia tanto en frecuencia como en energía en la misma cantidad: $${\displaystyle {\frac {\Delta f}{f}}={\frac {\Delta E}{E}}.}$$

Dado que mover la pared lentamente debería mantener fija la distribución térmica, la probabilidad de que la luz tenga energía E en la frecuencia f solo debe ser una función de E / f .

Esta función no puede determinarse únicamente a partir del razonamiento termodinámico, y Wien adivinó la forma que era válida a alta frecuencia. Supuso que la energía promedio en los modos de alta frecuencia se suprimía mediante un factor similar al de Boltzmann: esta no es la energía clásica esperada en el modo, que se obtiene por equipartición, sino una suposición nueva e injustificada que se ajusta a los datos de alta frecuencia. $${\displaystyle \langle E_{f}\rangle =e^{-\beta hf}.}$$ ${\displaystyle 1/2\beta }$

Cuando se suma el valor esperado sobre todos los modos en una cavidad, se obtiene la distribución de Wien , que describe la distribución termodinámica de la energía en un gas clásico de fotones. La ley de Wien supone implícitamente que la luz está compuesta estadísticamente de paquetes que cambian de energía y frecuencia de la misma manera. La entropía de un gas de Wien se escala como el volumen elevado a la potencia N , donde N es el número de paquetes. Esto llevó a Einstein a sugerir que la luz está compuesta de partículas localizables con energía proporcional a la frecuencia. Entonces, la entropía del gas de Wien puede interpretarse estadísticamente como el número de posiciones posibles en las que pueden estar los fotones.

Mecánica clásica – variables de acción

Péndulo con vibración extra pequeña, donde y ${\displaystyle \omega (t)={\sqrt {g/L(t)}}\approx {\sqrt {g/L_{0}}},}$ ${\displaystyle L(t)\approx L_{0}+\varepsilon (t).}$

Supongamos que un hamiltoniano varía lentamente en el tiempo, por ejemplo, un oscilador armónico unidimensional con una frecuencia cambiante: $${\displaystyle H_{t}(p,x)={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega (t)^{2}x^{2}}{2}}.}$$

La acción J de una órbita clásica es el área encerrada por la órbita en el espacio de fases: $${\displaystyle J=\int _{0}^{T}p(t)\,{\frac {dx}{dt}}\,dt.}$$

Como J es una integral durante un período completo, es solo una función de la energía. Cuando el hamiltoniano es constante en el tiempo y J es constante en el tiempo, la variable conjugada canónicamente aumenta en el tiempo a una tasa constante: ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}={\frac {\partial H}{\partial J}}=H'(J).}$$

Por lo tanto, la constante se puede utilizar para cambiar las derivadas temporales a lo largo de la órbita a derivadas parciales con respecto a una constante J. La diferenciación de la integral para J con respecto a J da una identidad que fija : ${\displaystyle H'}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle H'}$ $${\displaystyle {\frac {dJ}{dJ}}=1=\int _{0}^{T}\left({\frac {\partial p}{\partial J}}{\frac {dx}{dt}}+p{\frac {\partial }{\partial J}}{\frac {dx}{dt}}\right)\,dt=H'\int _{0}^{T}\left({\frac {\partial p}{\partial J}}{\frac {\partial x}{\partial \theta }}-{\frac {\partial p}{\partial \theta }}{\frac {\partial x}{\partial J}}\right)\,dt.}$$

El integrando es el corchete de Poisson de x y p . El corchete de Poisson de dos cantidades canónicamente conjugadas, como x y p , es igual a 1 en cualquier sistema de coordenadas canónico. Por lo tanto , y es el período inverso. La variable aumenta en una cantidad igual en cada período para todos los valores de J  : es una variable angular. $${\displaystyle 1=H'\int _{0}^{T}\{x,p\}\,dt=H'T,}$$ ${\displaystyle H'}$ ${\displaystyle \theta }$

Invariancia adiabática deYo

El hamiltoniano es una función de J únicamente, y en el caso simple del oscilador armónico, $${\displaystyle H=\omega J.}$$

Cuando H no depende del tiempo, J es constante. Cuando H varía lentamente con el tiempo, la tasa de cambio de J se puede calcular reexpresando la integral para J : $${\displaystyle J=\int _{0}^{2\pi }p{\frac {\partial x}{\partial \theta }}\,d\theta .}$$

La derivada temporal de esta cantidad es $${\displaystyle {\frac {dJ}{dt}}=\int _{0}^{2\pi }\left({\frac {dp}{dt}}{\frac {\partial x}{\partial \theta }}+p{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial x}{\partial \theta }}\right)\,d\theta .}$$

Reemplazando las derivadas temporales por derivadas theta, utilizando y estableciendo sin pérdida de generalidad ( siendo una constante multiplicativa global en la derivada temporal resultante de la acción) se obtiene ${\displaystyle d\theta =\omega \,dt,}$ ${\displaystyle \omega :=1}$ ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle {\frac {dJ}{dt}}=\int _{0}^{2\pi }\left({\frac {\partial p}{\partial \theta }}{\frac {\partial x}{\partial \theta }}+p{\frac {\partial }{\partial \theta }}{\frac {\partial x}{\partial \theta }}\right)\,d\theta .}$$

Por lo tanto, siempre que las coordenadas J no cambien apreciablemente durante un período, esta expresión se puede integrar por partes para dar cero. Esto significa que, para variaciones lentas , no hay ningún cambio de orden más bajo en el área encerrada por la órbita. Este es el teorema de invariancia adiabática: las variables de acción son invariantes adiabáticas. ${\displaystyle \theta }$

Para un oscilador armónico, el área en el espacio de fase de una órbita con energía E es el área de la elipse de energía constante, $${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}.}$$

El radio x de esta elipse es mientras que el radio p de la elipse es . Al multiplicar, el área es . Por lo tanto, si se tira lentamente de un péndulo, de modo que la frecuencia cambia, la energía cambia en una cantidad proporcional. ${\displaystyle {\sqrt {2E/\omega ^{2}m}},}$ ${\displaystyle {\sqrt {2mE}}}$ ${\displaystyle 2\pi E/\omega }$

Antigua teoría cuántica

Después de que Planck identificara que la ley de Wien puede extenderse a todas las frecuencias, incluso las muy bajas, interpolando con la ley de equipartición clásica para la radiación, los físicos quisieron comprender el comportamiento cuántico de otros sistemas.

La ley de radiación de Planck cuantifica el movimiento de los osciladores de campo en unidades de energía proporcionales a la frecuencia: $${\displaystyle E=hf=\hbar \omega .}$$

El cuanto sólo puede depender de la energía/frecuencia por invariancia adiabática, y como la energía debe ser aditiva al poner cajas una al lado de la otra, los niveles deben estar igualmente espaciados.

Einstein, seguido por Debye, amplió el dominio de la mecánica cuántica al considerar los modos de sonido en un sólido como osciladores cuantizados . Este modelo explicaba por qué el calor específico de los sólidos se acercaba a cero a bajas temperaturas, en lugar de permanecer fijo como predecía la equipartición clásica . ${\displaystyle 3k_{\text{B}},}$

En la conferencia Solvay se planteó la cuestión de la cuantificación de otros movimientos y Lorentz señaló un problema, conocido como péndulo de Rayleigh-Lorentz . Si consideramos un péndulo cuántico cuya cuerda se acorta muy lentamente, el número cuántico del péndulo no puede cambiar porque en ningún momento hay una frecuencia lo suficientemente alta como para provocar una transición entre los estados. Pero la frecuencia del péndulo cambia cuando la cuerda se acorta, por lo que los estados cuánticos cambian de energía.

Einstein respondió que, si se tira lentamente, tanto la frecuencia como la energía del péndulo cambian, pero la relación permanece fija. Esto es análogo a la observación de Wien de que, cuando la pared se mueve lentamente, la relación entre la energía y la frecuencia de las ondas reflejadas es constante. La conclusión fue que las cantidades a cuantificar deben ser invariantes adiabáticas.

Sommerfeld amplió esta línea de argumentación hasta convertirla en una teoría general: el número cuántico de un sistema mecánico arbitrario está dado por la variable de acción adiabática. Puesto que la variable de acción en el oscilador armónico es un número entero, la condición general es $${\displaystyle \int p\,dq=nh.}$$

Esta condición fue la base de la antigua teoría cuántica , que fue capaz de predecir el comportamiento cualitativo de los sistemas atómicos. La teoría es inexacta para números cuánticos pequeños, ya que mezcla conceptos clásicos y cuánticos. Pero fue un paso intermedio útil hacia la nueva teoría cuántica .

Física del plasma

En la física del plasma hay tres invariantes adiabáticos del movimiento de partículas cargadas.

El primer invariante adiabático, μ

El momento magnético de una partícula giratoria es que respeta la relatividad especial. ^{[2] es el} factor de Lorentz relativista , es la masa en reposo, es la velocidad perpendicular al campo magnético y es la magnitud del campo magnético. $${\displaystyle \mu ={\frac {\gamma m_{0}v_{\perp }^{2}}{2B}},}$$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle v_{\perp }}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \mu }$es una constante del movimiento para todos los órdenes en una expansión en , donde es la tasa de cualquier cambio experimentado por la partícula, por ejemplo, debido a colisiones o debido a variaciones temporales o espaciales en el campo magnético. En consecuencia, el momento magnético permanece casi constante incluso para cambios a tasas que se acercan a la girofrecuencia. Cuando es constante, la energía de la partícula perpendicular es proporcional a , por lo que las partículas se pueden calentar al aumentar , pero esto es un asunto de "una sola vez" porque el campo no se puede aumentar indefinidamente. Encuentra aplicaciones en espejos magnéticos y botellas magnéticas . ${\displaystyle \omega /\omega _{c}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Hay algunas situaciones importantes en las que el momento magnético no es invariante:

Bombeo magnético

Si la frecuencia de colisión es mayor que la frecuencia de bombeo, μ ya no se conserva. En particular, las colisiones permiten un calentamiento neto al transferir parte de la energía perpendicular a la energía paralela.

Calentamiento por ciclotrón

Si se hace oscilar B a la frecuencia del ciclotrón , se viola la condición de invariancia adiabática y es posible el calentamiento. En particular, el campo eléctrico inducido gira en fase con algunas de las partículas y las acelera continuamente.

Cúspides magnéticas

El campo magnético en el centro de una cúspide se desvanece, por lo que la frecuencia del ciclotrón es automáticamente menor que la velocidad de cualquier cambio. Por lo tanto, el momento magnético no se conserva y las partículas se dispersan con relativa facilidad en el cono de pérdida .

El segundo invariante adiabático,Yo

El invariante longitudinal de una partícula atrapada en un espejo magnético , donde la integral está entre los dos puntos de giro, es también un invariante adiabático. Esto garantiza, por ejemplo, que una partícula en la magnetosfera que se mueve alrededor de la Tierra siempre regrese a la misma línea de fuerza. La condición adiabática se viola en el bombeo magnético en tiempo de tránsito , donde la longitud de un espejo magnético oscila a la frecuencia de rebote, lo que resulta en un calentamiento neto. $${\displaystyle J=\int _{a}^{b}p_{\parallel }\,ds,}$$

El tercer invariante adiabático, Φ

El flujo magnético total encerrado en una superficie de deriva es el tercer invariante adiabático asociado con el movimiento periódico de partículas atrapadas en el espejo que se desplazan alrededor del eje del sistema. Debido a que este movimiento de deriva es relativamente lento, a menudo no se conserva en aplicaciones prácticas. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$

Referencias

1. Anosov, DV; Favorskii, AP (1988). "Invariante adiabática". En Hazewinkel, Michiel (ed.). Enciclopedia de Matemáticas . vol. 1 (AB). Reidel, Dordrecht. págs. 43–44. ISBN 9789401512398.
2. Longair, Malcolm S. (2011). Astrofísica de altas energías (3.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. pág. 182. ISBN 978-0-521-75618-1.

• Yourgrau, Wolfgang; Stanley Mandelstam (1979). Principios variacionales en dinámica y teoría cuántica . Nueva York: Dover. §10. ISBN 978-0-486-63773-0.
• Pauli, Wolfgang (1973). Charles P. Enz (ed.). Pauli Lectures on Physics . Vol. 4. Cambridge, Mass.: MIT Press. págs. 85–89. ISBN 978-0-262-66035-8.
• Jammer, Max (1 de enero de 1966). El desarrollo conceptual de la mecánica cuántica (primera edición). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-032275-2.

Enlaces externos

• Notas de clase sobre el segundo invariante adiabático
• Notas de clase sobre el tercer invariante adiabático