Grupo de permutación de rango 3

En la teoría matemática de grupos finitos , un grupo de permutación de rango 3 actúa transitivamente sobre un conjunto de modo que el estabilizador de un punto tiene 3 órbitas . El estudio de estos grupos fue iniciado por Higman  (1964, 1971). Varios de los grupos simples esporádicos fueron descubiertos como grupos de permutación de rango 3.

Clasificación

Los grupos de permutación de rango primitivo 3 están todos en una de las siguientes clases:

• Cameron (1981) clasificó aquellos donde el zócalo T de T ₀ es simple, y T ₀ es un grupo 2-transitivo de grado √ n . ${\displaystyle T\times T\leq G\leq T_{0}\operatorname {wr} Z/2Z}$
• Liebeck (1987) clasificó a los que tienen un subgrupo normal abeliano elemental regular
• Bannai (1971–72) clasificó aquellos cuyo zócalo es un grupo alternado simple.
• Kantor y Liebler (1982) clasificaron aquellos cuyo zócalo es un grupo clásico simple.
• Liebeck y Saxl (1986) clasificaron aquellos cuyo zócalo es un grupo simple excepcional o esporádico.

Ejemplos

Si G es cualquier grupo 4-transitivo que actúa sobre un conjunto S , entonces su acción sobre pares de elementos de S es un grupo de permutación de rango 3. ^[1] En particular, la mayoría de los grupos alternados, grupos simétricos y grupos de Mathieu tienen acciones 4-transitivas y, por lo tanto, pueden convertirse en grupos de permutación de rango 3.

El grupo lineal general proyectivo que actúa sobre líneas en un espacio proyectivo de dimensión al menos 3 es un grupo de permutación de rango 3.

Varios grupos de 3-transposiciones son grupos de permutación de rango 3 (en la acción sobre transposiciones).

Es común que el estabilizador puntual de un grupo de permutación de rango 3 que actúa sobre una de las órbitas sea un grupo de permutación de rango 3. Esto da lugar a varias "cadenas" de grupos de permutación de rango 3, como la cadena de Suzuki y la cadena que termina con los grupos de Fischer .

A continuación se enumeran algunos grupos de permutación de rango 3 inusuales (muchos de (Liebeck y Saxl 1986)).

Para cada fila de la tabla que aparece a continuación, en la cuadrícula de la columna marcada como "tamaño", el número a la izquierda del signo igual es el grado del grupo de permutación para el grupo de permutación mencionado en la fila. En la cuadrícula, la suma a la derecha del signo igual muestra las longitudes de las tres órbitas del estabilizador de un punto del grupo de permutación. Por ejemplo, la expresión 15 = 1+6+8 en la primera fila de la tabla bajo el encabezado significa que el grupo de permutación para la primera fila tiene grado 15, y las longitudes de las tres órbitas del estabilizador de un punto del grupo de permutación son 1, 6 y 8 respectivamente.

Notas

1. Las tres órbitas son: el par fijo en sí; aquellos pares que tienen un elemento en común con el par fijo; y aquellos pares que no tienen ningún elemento en común con el par fijo.

Referencias

• Bannai, Eiichi (1971–72), "Subgrupos máximos de rango bajo de grupos finitos simétricos y alternantes", Revista de la Facultad de Ciencias. Universidad de Tokio. Sección IA. Matemáticas , 18 : 475–486, ISSN  0040-8980, MR  0357559
• Brouwer, AE; Cohen, AM; Neumaier, Arnold (1989), Gráficos regulares a distancia , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en matemáticas y áreas afines (3)], vol. 18, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-50619-5, Sr.  1002568
• Cameron, Peter J. (1981), "Grupos de permutación finitos y grupos simples finitos", The Bulletin of the London Mathematical Society , 13 (1): 1–22, CiteSeerX  10.1.1.122.1628 , doi :10.1112/blms/13.1.1, ISSN  0024-6093, MR  0599634
• Higman, Donald G. (1964), "Grupos de permutación finitos de rango 3" (PDF) , Mathematische Zeitschrift , 86 (2): 145–156, doi :10.1007/BF01111335, hdl : 2027.42/46298 , ISSN  0025-5874, SEÑOR  0186724, S2CID  51836896
• Higman, Donald G. (1971), "Un estudio de algunas preguntas y resultados sobre grupos de permutación de rango 3", Actes du Congrès International des Mathématiciens (Niza, 1970) , vol. 1, Gauthier-Villars, págs. 361–365, SEÑOR  0427435
• Kantor, William M. ; Liebler, Robert A. (1982), "Las representaciones de permutación de rango 3 de los grupos clásicos finitos" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 271 (1): 1–71, doi :10.2307/1998750, ISSN  0002-9947, JSTOR  1998750, MR  0648077
• Liebeck, Martin W. (1987), "Los grupos de permutación afines de rango tres", Actas de la London Mathematical Society , Tercera serie, 54 (3): 477–516, CiteSeerX  10.1.1.135.7735 , doi :10.1112/plms/s3-54.3.477, ISSN  0024-6115, MR  0879395
• Liebeck, Martin W. ; Saxl, Jan (1986), "Los grupos de permutación primitivos finitos de rango tres", The Bulletin of the London Mathematical Society , 18 (2): 165–172, doi :10.1112/blms/18.2.165, ISSN  0024-6093, MR  0818821