En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , los grupos de Fischer son los tres grupos simples esporádicos Fi 22 , Fi 23 y Fi 24 introducidos por Bernd Fischer (1971, 1976).
Los grupos de Fischer llevan el nombre de Bernd Fischer, quien los descubrió mientras investigaba grupos de 3 transposiciones. Se trata de grupos G con las siguientes propiedades:
El ejemplo típico de un grupo de 3 transposiciones es un grupo simétrico , donde las transposiciones de Fischer son genuinamente transposiciones. El grupo simétrico S n puede generarse mediante n − 1 transposiciones: (12), (23), ..., ( n − 1, n ) .
Fischer pudo clasificar grupos de 3 transposiciones que satisfacen ciertas condiciones técnicas adicionales. Los grupos que encontró se dividían en su mayoría en varias clases infinitas (además de los grupos simétricos: ciertas clases de grupos simplécticos, unitarios y ortogonales), pero también encontró tres grupos nuevos muy grandes. Estos grupos suelen denominarse Fi 22 , Fi 23 y Fi 24 . Los dos primeros son grupos simples y el tercero contiene el grupo simple Fi 24 ′ del índice 2.
Un punto de partida para los grupos de Fischer es el grupo unitario PSU 6 (2), que podría considerarse como un grupo Fi 21 en la serie de grupos de Fischer, de orden 9.196.830.720 = 2 15 ⋅3 6 ⋅5⋅7⋅11 . En realidad es la doble tapa 2.PSU 6 (2) la que pasa a ser un subgrupo del nuevo grupo. Este es el estabilizador de un vértice en una gráfica de 3510 (= 2⋅3 3 ⋅5⋅13). Estos vértices se identifican como 3-transposiciones conjugadas en el grupo de simetría Fi 22 del gráfico.
Los grupos de Fischer reciben su nombre por analogía con los grandes grupos de Mathieu . En Fi 22, un conjunto máximo de 3 transposiciones que conmutan entre sí tiene tamaño 22 y se denomina conjunto básico . Hay 1024 3-transposiciones, llamadas anabásicas , que no conmutan con ninguna del conjunto básico particular. Cualquiera de los otros 2464, llamado hexádico , conmuta con 6 básicos. Los conjuntos de 6 forman un sistema Steiner S(3,6,22) , cuyo grupo de simetría es M 22 . Un conjunto básico genera un grupo abeliano de orden 2 10 , que se extiende en Fi 22 a un subgrupo 2 10 :M 22 .
El siguiente grupo de Fischer considera 2.Fi 22 como un estabilizador de un punto para una gráfica de 31671 (= 3 4 ⋅17⋅23) vértices, y trata estos vértices como las 3 transposiciones en un grupo Fi 23 . Las 3-transposiciones vienen en conjuntos básicos de 23, 7 de los cuales conmutan con una 3-transposición externa determinada.
El siguiente toma Fi 23 y lo trata como un estabilizador de un punto para una gráfica de 306936 (= 2 3 ⋅3 3 ⋅7 2 ⋅29) vértices para formar un grupo Fi 24 . Las 3-transposiciones vienen en conjuntos básicos de 24, ocho de los cuales conmutan con una 3-transposición externa determinada. El grupo Fi 24 no es simple, pero su subgrupo derivado tiene índice 2 y es un grupo simple esporádico.
No existe una notación uniformemente aceptada para estos grupos. Algunos autores utilizan F en lugar de Fi (F 22 , por ejemplo). La notación de Fischer para ellos fue M(22), M(23) y M(24)′, lo que enfatizaba su estrecha relación con los tres grupos más grandes de Mathieu , M 22 , M 23 y M 24 .
Una fuente particular de confusión es que Fi 24 se usa a veces para referirse al grupo simple Fi 24 ′, y a veces se usa para referirse al grupo completo de 3 transposiciones (que es el doble de tamaño).
John H. Conway y Simon P. Norton sugirieron en su artículo de 1979 que el monstruoso alcohol ilegal no se limita al monstruo, sino que se pueden encontrar fenómenos similares en otros grupos. Larissa Queen y otros descubrieron posteriormente que se pueden construir las expansiones de muchos Hauptmoduln (módulos principales o principales) a partir de combinaciones simples de dimensiones de grupos esporádicos.