Grupo de 3 transposiciones

Un grupo

En la teoría matemática de grupos , un grupo de 3-transposición es un grupo generado por una clase de conjugación de involuciones , llamadas 3-transposiciones , tales que el producto de dos involuciones cualesquiera de la clase de conjugación tiene orden como máximo 3.

Fueron estudiados por primera vez por Bernd Fischer  (1964, 1970, 1971) quien descubrió los tres grupos de Fischer como ejemplos de grupos de 3-transposición.

Historia

Fischer (1964) estudió por primera vez los grupos de 3-transposición en el caso especial en el que el producto de dos 3-transposiciones distintas tiene orden 3. Demostró que un grupo finito con esta propiedad es solucionable y tiene un 3-grupo (nilpotente) de índice 2. Manin (1986) utilizó estos grupos para construir ejemplos de cuasigrupos CH no abelianos y para describir la estructura de bucles conmutativos de Moufang de exponente 3.

Teorema de Fischer

Supóngase que G es un grupo que se genera por una clase de conjugación D de 3-transposiciones y tal que los núcleos 2 y 3 O ₂ ( G ) y O ₃ ( G ) están ambos contenidos en el centro Z ( G ) de G . Entonces Fischer (1971) demostró que hasta el isomorfismo G / Z ( G ) es uno de los siguientes grupos y D es la imagen de la clase de conjugación dada:

• G / Z ( G ) es el grupo trivial.
• G / Z ( G ) es un grupo simétrico S _n para n ≥5, y D es la clase de transposiciones. (Si n = 6 hay una segunda clase de 3-transposiciones).
• G / Z ( G ) es un grupo simpléctico Sp _{2 n} (2) con n ≥3 sobre el cuerpo de orden 2, y D es la clase de transvecciones. (Cuando n = 2 hay una segunda clase de transposiciones).
• G / Z ( G ) es un grupo unitario especial proyectivo PSU _n (2) con n ≥5, y D es la clase de transvecciones
• G / Z ( G ) es un grupo ortogonal O ^μ _{2 n} (2) con μ=±1 y n ≥4, y D es la clase de transvecciones
• G / Z ( G ) es un subgrupo de índice 2 PO _n ^μ,+ (3) del grupo ortogonal proyectivo PO _n ^μ (3) (con μ=±1 y n ≥5) generado por la clase D de reflexiones de vectores de norma +1.
• G / Z ( G ) es uno de los tres grupos de Fischer Fi ₂₂ , Fi ₂₃ , Fi ₂₄ .
• G / Z ( G ) es uno de los dos grupos de la forma Ω ₈ ⁺ (2).S ₃ y PΩ ₈ ⁺ (3).S ₃ , donde Ω representa el subgrupo derivado del grupo ortogonal y S ₃ es el grupo de automorfismos del diagrama para el diagrama de Dynkin D ₄ .

Los casos faltantes con n pequeño arriba no satisfacen la condición acerca de 2 y 3 núcleos o tienen isomorfismos excepcionales con otros grupos en la lista.

Ejemplos importantes

El grupo S _n tiene orden n ! y para n > 1 tiene un subgrupo A _n de índice 2 que es simple si n > 4.

El grupo simétrico S _n es un grupo de 3-transposiciones para todo n > 1. Las 3-transposiciones son los elementos que intercambian dos puntos, dejando fijos los puntos restantes. Estos elementos son las transposiciones (en el sentido habitual) de S _n . (Para n = 6 hay una segunda clase de 3-transposiciones, a saber, la clase de los elementos de S ₆ que son productos de 3 transposiciones disjuntas.)

El grupo simpléctico Sp _{2 n} (2) tiene orden

${\displaystyle 2^{n^{2}}(2^{2}-1)(2^{4}-1)\cdots (2^{2n}-1)}$

Es un grupo de 3-transposición para todo n ≥1. Es simple si n >2, mientras que para n =1 es S ₃ , y para n =2 es S ₆ con un subgrupo simple de índice 2, es decir A ₆ . Las 3-transposiciones son de la forma x ↦ x +( x , v ) v para v distinto de cero .

El grupo unitario especial SU _n (2) tiene orden

${\displaystyle 2^{n(n-1)/2}(2^{2}-1)(2^{3}+1)\cdots (2^{n}-(-1)^{n})}$

El grupo unitario especial proyectivo PSU _n (2) es el cociente del grupo unitario especial SU _n (2) por el subgrupo M de todas las transformaciones lineales escalares en SU _​​n (2). El subgrupo M es el centro de SU _n (2). Además, M tiene orden mcd(3, n ).

El grupo PSU _n (2) es simple si n > 3, mientras que para n = 2 es S ₃ y para n = 3 tiene la estructura 3 ² :Q ₈ (Q ₈ = grupo de cuaterniones).

Tanto SU _n (2) como PSU _n (2) son grupos de 3-transposición para n = 2 y para todo n ≥4. Las 3-transposiciones de SU _n (2) para n = 2 o n ≥4 son de la forma x ↦ x +( x , v ) v para vectores no nulos v de norma cero. Las 3-transposiciones de PSU _n (2) para n = 2 o n ≥4 son las imágenes de las 3-transposiciones de SU _n (2) bajo la función de cociente natural de SU _n (2) a PSU _n (2)=SU _n (2)/ M .

El grupo ortogonal O _{2 n} ^± (2) tiene orden

${\displaystyle 2\times 2^{n(n-1)}(2^{2}-1)(2^{4}-1)\cdots (2^{2n-2}-1)(2^{n}\mp 1)}$

(Sobre campos de característica 2, los grupos ortogonales en dimensiones impares son isomorfos a los grupos simplécticos.) Tiene un subgrupo de índice 2 (a veces denotado por Ω _{2 n} ^± (2)), que es simple si n >2.

El grupo O _{2 n} ^μ (2) es un grupo de 3-transposición para todo n > 2 y μ=±1. Las 3-transposiciones tienen la forma x ↦ x +( x , v ) v para vectores v tales que Q (v)=1, donde Q es la forma cuadrática subyacente para el grupo ortogonal.

Los grupos ortogonales O _n ^± (3) son los grupos de automorfismos de formas cuadráticas Q sobre el cuerpo de 3 elementos tales que el discriminante de la forma bilineal ( a , b )= Q ( a + b )− Q ( a )− Q ( b ) es ±1. El grupo O _n ^μ,σ (3), donde μ y σ son signos, es el subgrupo de O _n ^μ (3) generado por reflexiones respecto de los vectores v con Q ( v )=+1 si σ es +, y es el subgrupo de O _n ^μ (3) generado por reflexiones respecto de los vectores v con Q ( v )=-1 si σ es −.

Para μ=±1 y σ=±1, sea PO _n ^μ,σ (3)=O _n ^μ,σ (3)/ Z , donde Z es el grupo de todas las transformaciones lineales escalares en O _n ^μ,σ (3 ). Si n >3, entonces Z es el centro de O _n ^μ,σ (3).

Para μ=±1, sea Ω _n ^μ (3) el subgrupo derivado de O _n ^μ (3). Sea PΩ _n ^μ (3) = Ω _n ^μ (3)/ X , donde X es el grupo de todas las transformaciones lineales escalares en Ω _n ^μ (3). Si n >2, entonces X es el centro de Ω _n ^μ (3).

Si n = 2 m + 1 es impar los dos grupos ortogonales O _n ^± (3) son isomorfos y tienen orden

${\displaystyle 2\times 3^{m^{2}}(3^{2}-1)(3^{4}-1)\cdots (3^{2m}-1)}$

y O _n ^+,+ (3) ≅ O _n ^−,− (3) (orden central 1 para n >3), y O _n ^−,+ (3) ≅ O _n ^+,− (3) (orden central 2 para n >3), porque las dos formas cuadráticas son múltiplos escalares entre sí, hasta la equivalencia lineal.

Si n = 2 m es par los dos grupos ortogonales O _n ^± (3) tienen órdenes

${\displaystyle 2\times 3^{m(m-1)}(3^{2}-1)(3^{4}-1)\cdots (3^{2m-2}-1)(3^{m}\mp 1)}$

y O _n ^+,+ (3) ≅ O _n ^+,− (3), y O _n ^−,+ (3) ≅ O _n ^−,− (3), porque las dos clases de transposiciones se intercambian por un elemento del grupo ortogonal general que multiplica la forma cuadrática por un escalar. Si n = 2 m , m > 1 y m es par, entonces el centro de O _n ^+,+ (3) ≅ O _n ^+,− (3) tiene orden 2, y el centro de O _n ^−,+ (3) ≅ O _n ^−,− (3) tiene orden 1. Si n = 2 m , m > 2 y m es impar, entonces el centro de O _n ^+,+ (3) ≅ O _n ^+,− (3) tiene orden 1, y el centro de O _n ^−,+ (3) ≅ O _n ^−,− (3) tiene orden 2.

Si n > 3, y μ=±1 y σ=±1, el grupo O _n ^μ,σ (3) es un grupo de 3-transposición. Las 3-transposiciones del grupo O _n ^μ,σ (3) son de la forma x ↦ x −( x , v ) v /Q( v )= x +( x , v )/( v , v ) para vectores v con Q ( v )=σ, donde Q es la forma cuadrática subyacente de O _n ^μ (3).

Si n > 4, y μ=±1 y σ=±1, entonces O _n ^μ,σ (3) tiene índice 2 en el grupo ortogonal O _n ^μ (3). El grupo O _n ^μ,σ (3) tiene un subgrupo de índice 2, a saber, Ω _n ^μ (3), que es simple módulo sus centros (que tienen órdenes 1 o 2). En otras palabras, PΩ _n ^μ (3) es simple.

Si n > 4 es impar, y (μ,σ)=(+,+) o (−,−), entonces O _n ^μ,+ (3) y PO _n ^μ,+ (3) son ambos isomorfos a SO _n ^μ (3)=Ω _n ^μ (3):2, donde SO _n ^μ (3) es el grupo ortogonal especial de la forma cuadrática subyacente Q . Además, Ω _n ^μ (3) es isomorfo a PΩ _n ^μ (3), y también es no abeliano y simple.

Si n > 4 es impar, y (μ,σ)=(+,−) o (−,+), entonces O _n ^μ,+ (3) es isomorfo a Ω _n ^μ (3)×2, y O _n ^μ,+ (3) es isomorfo a Ω _n ^μ (3). Además, Ω _n ^μ (3) es isomorfo a PΩ _n ^μ (3), y también es no abeliano y simple.

Si n > 5 es par, y μ=±1 y σ=±1, entonces O _n ^μ,+ (3) tiene la forma Ω _n ^μ (3):2, y PO _n ^μ,+ (3) tiene la forma PΩ _n ^μ (3):2. Además, PΩ _n ^μ (3) no es abeliano y simple.

Fi ₂₂ tiene orden 2 ¹⁷ .3 ⁹ .5 ² .7.11.13 = 64561751654400 y es simple.

Fi ₂₃ tiene orden 2 ¹⁸ .3 ¹³ .5 ² .7.11.13.17.23 = 4089470473293004800 y es simple.

Fi ₂₄ tiene orden 2 ²² .3 ¹⁶ .5 ² .7 ³ .11.13.17.23.29 y tiene un subgrupo simple de índice 2, concretamente Fi ₂₄ '.

Isomorfismos y casos resolubles

Existen numerosos casos degenerados (solucionables) e isomorfismos entre grupos de 3-transposición de pequeño grado como sigue (Aschbacher 1997, p.46):

Grupos resolubles

Los siguientes grupos no aparecen en la conclusión del teorema de Fisher ya que son resolubles (con orden de una potencia de 2 por una potencia de 3).

${\displaystyle S_{1}=SU_{1}(2)=PSU_{1}(2)=O_{1}^{\pm ,\pm }(3)=PO_{1}^{\pm ,\pm }(3)=PO_{1}^{\pm ,\mp }(3)}$tiene orden 1.

${\displaystyle S_{2}=O_{2}^{+}(2)=O_{1}^{\pm ,\mp }(3)=O_{2}^{+,\pm }(3)=PO_{2}^{+,\pm }(3)=PO_{2}^{-,\pm }(3)}$tiene orden 2 y es un grupo de 3-transposición.

${\displaystyle O_{2}^{-,\pm }(3)=PO_{3}^{\pm ,\mp }(3)=2^{2}}$es un abeliano elemental de orden 4, y no es un grupo de 3-transposición.

${\displaystyle S_{3}=Sp_{2}(2)=SU_{2}(2)=PSU_{2}(2)=O_{2}^{-}(2)}$tiene orden 6 y es un grupo de 3-transposición.

${\displaystyle O_{3}^{\pm ,\mp }(3)=2^{3}}$es un abeliano elemental de orden 8, y no es un grupo de 3-transposición.

${\displaystyle S_{4}=O_{3}^{\pm ,\pm }(3)=PO_{3}^{\pm ,\pm }(3)}$tiene orden 24 y es un grupo de 3-transposición.

${\displaystyle PSU_{3}(2)=3^{2}:Q_{8}}$tiene orden 72, y no es un grupo de 3-transposición, donde Q8 _denota el grupo de cuaterniones.

${\displaystyle O_{4}^{+}(2)=(S_{3}\times S_{3}):2}$tiene orden 72 y no es un grupo de 3-transposición.

${\displaystyle SU_{3}(2)=3^{1+2}:Q_{8}}$tiene orden 216, y no es un grupo de 3-transposición, donde 3 ¹⁺² denota el grupo extraespecial de orden 27 y exponente 3, y Q ₈ denota el grupo de cuaterniones.

${\displaystyle PO_{4}^{+,\pm }(3)=(A_{4}\times A_{4}):2}$tiene orden 288 y no es un grupo de 3-transposición.

${\displaystyle O_{4}^{+,\pm }(3)=(SL_{2}(3)*SL_{2}(3)):2}$tiene orden 576, donde * denota el producto central no directo, y no es un grupo de 3-transposición.

Isomorfismos

Existen varios isomorfismos adicionales que involucran grupos en la conclusión del teorema de Fischer, como se indica a continuación. Esta lista también identifica los grupos de Weyl de los diagramas de Dynkin de ADE, que son todos grupos de 3-transposición excepto W(D ₂ )=2 ² , con grupos en la lista de Fischer (W representa el grupo de Weyl).

${\displaystyle S_{5}=O_{4}^{-}(2)}$tiene orden 120 y el grupo es un grupo de 3-transposición.

${\displaystyle S_{6}=Sp_{4}(2)=O_{4}^{-,\pm }(3)=PO_{4}^{-,\pm }(3)}$tiene orden 720 (y 2 clases de 3-transposiciones), y el grupo es un grupo de 3-transposiciones.

${\displaystyle S_{8}=O_{6}^{+}(2)=}$tiene orden 40320 y el grupo es un grupo de 3-transposición.

${\displaystyle W(E_{6})=O_{6}^{-}(2)=O_{5}^{\pm ,\pm }(3)=PO_{5}^{\pm ,\pm }(3)}$tiene orden 51840 y el grupo es un grupo de 3-transposición.

${\displaystyle PO_{5}^{\pm ,\mp }(3)=SU_{4}(2)=PSU_{4}(2)}$tiene orden 25920 y el grupo es un grupo de 3-transposición.

${\displaystyle W(E_{7})=2\times Sp_{6}(2)}$tiene orden 2903040 y el grupo es un grupo de 3-transposición.

${\displaystyle W(E_{8})=2.O_{8}^{+}(2)}$tiene orden 69672960, y el grupo es un grupo de 3-transposición.

${\displaystyle O_{4s}^{+,+}(3)=O_{4s}^{+,-}(3)=2.PO_{4s}^{+,+}(3)=2.PO_{4s}^{+,-}(3)}$para todo s ≥1, y el grupo es un grupo de 3-transposición si s ≥2.

${\displaystyle O_{4s}^{-,+}(3)=O_{4s}^{-,-}(3)=PO_{4s}^{-,+}(3)=PO_{4s}^{-,-}(3)}$para todos los s ≥1, y el grupo es un grupo de 3-transposición para todos los s ≥1.

${\displaystyle O_{4s+2}^{+,+}(3)=O_{4s+2}^{+,-}(3)=2.PO_{4s+2}^{+,+}(3)=2.PO_{4s+2}^{+,-}(3)}$para todos los s ≥0, y el grupo es un grupo de 3-transposición para todos los s ≥0.

${\displaystyle O_{4s+2}^{-,+}(3)=O_{4s+2}^{-,-}(3)=PO_{4s+2}^{-,+}(3)=PO_{4s+2}^{-,-}(3)}$para todo s ≥0, y el grupo es un grupo de 3-transposición si s ≥1.

${\displaystyle O_{2m+1}^{+,+}(3)=O_{2m+1}^{-,-}(3)=PO_{2m+1}^{+,+}(3)=PO_{2m+1}^{-,-}(3)}$para todo m ≥0, y el grupo es un grupo de 3-transposición si m ≥1.

${\displaystyle O_{2m+1}^{-,+}(3)=O_{2m+1}^{+,-}(3)=2\times PO_{2m+1}^{-,+}(3)=2\times PO_{2m+1}^{+,-}(3)}$para todo m ≥0, y el grupo es un grupo de 3-transposición si m = 0 o m ≥2.

${\displaystyle W(A_{n})=S_{n+1}}$para todo n ≥1, y el grupo es un grupo de 3-transposición para todo n≥1.

${\displaystyle W(D_{n})=2^{n-1}.S_{n}}$para todo n ≥2, y el grupo es un grupo de 3-transposición si n≥3.

Prueba

La idea de la prueba es la siguiente. Supóngase que D es la clase de 3-transposiciones en G , y d ∈ D , y sea H el subgrupo generado por el conjunto D _d de elementos de D que conmutan con d . Entonces D _d es un conjunto de 3-transposiciones de H , por lo que los grupos de 3-transposiciones se pueden clasificar por inducción en el orden hallando todas las posibilidades para G dado cualquier grupo de 3-transposiciones H . Para simplificar, supongamos que el grupo derivado de G es perfecto (esta condición se satisface por todos los grupos excepto los dos que involucran automorfismos de trialidad).

• Si O ₃ ( H ) no está contenido en Z ( H ) entonces G es el grupo simétrico S ₅
• Si O ₂ ( H ) no está contenido en Z ( H ) entonces L = H / O ₂ ( H ) es un grupo de 3-transposición, y L / Z ( L ) es de tipo Sp(2 n , 2) en cuyo caso G / Z ( G ) es de tipo Sp _{2 n +2} (2), o de tipo PSU _n (2) en cuyo caso G / Z ( G ) es de tipo PSU _{n +2} (2)
• Si H / Z ( H ) es de tipo S _n entonces G es de tipo S _{n +2} o n = 6 y G es de tipo O ₆ ⁻ (2)
• Si H / Z ( H ) es de tipo Sp _{2 n} (2) con 2 n ≥ 6 entonces G es de tipo O _{2 n +2} ^μ (2)
• H / Z ( H ) no puede ser del tipo O _{2 n} ^μ (2) para n ≥ 4.
• Si H / Z ( H ) es de tipo PO _n ^{μ, π} (3) para n > 4 entonces G es de tipo PO _{n +1} ^{−μπ, π} (3).
• Si H / Z ( H ) es de tipo PSU _n (2) para n ≥ 5 entonces n = 6 y G es de tipo Fi ₂₂ (y H es una doble cobertura excepcional de PSU ₆ (2))
• Si H / Z ( H ) es de tipo Fi ₂₂ entonces G es de tipo Fi ₂₃ y H es una doble cubierta de Fi ₂₂ .
• Si H / Z ( H ) es de tipo Fi ₂₃ entonces G es de tipo Fi ₂₄ y H es el producto de Fi ₂₃ y un grupo de orden 2.
• H / Z ( H ) no puede ser del tipo Fi ₂₄ .

3-transposiciones y teoría de grafos

Es fructífero tratar las 3-transposiciones como vértices de un grafo . Unir los pares que no conmutan, es decir, que tienen un producto de orden 3. El grafo es conexo a menos que el grupo tenga una descomposición directa del producto. Los grafos correspondientes a los grupos simétricos más pequeños son grafos familiares. Las 3 transposiciones de S ₃ forman un triángulo. Las 6 transposiciones de S ₄ forman un octaedro. Las 10 transposiciones de S ₅ forman el complemento del grafo de Petersen .

El grupo simétrico S _n puede generarse mediante n –1 transposiciones: (1 2), (2 3), ..., ( n −1 n ) y el gráfico de este conjunto generador es una línea recta. Incorpora relaciones suficientes para definir el grupo S _n . ^[1]

Referencias

1. Dickson, LE (2003) [1900], Grupos lineales: con una exposición de la teoría de campos de Galois, pág. 287, ISBN 978-0-486-49548-4

• Aschbacher, Michael (1997), Grupos de 3-transposición, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 124, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-57196-8, MR  1423599, archivado desde el original el 4 de marzo de 2016 , consultado el 6 de diciembre de 2010Contiene una prueba completa del teorema de Fischer.
• Fischer, Bernd (1964), "Distributive Quasigruppen endlicher Ordnung", Mathematische Zeitschrift , 83 (4): 267–303, doi :10.1007/BF01111162, ISSN  0025-5874, MR  0160845, S2CID  123008891
• Fischer, Bernd (1970), Grupos finitos generados por 3-transposiciones , preimpresión, Coventry: Mathematics Institute, University of WarwickLa primera parte de esta preimpresión (4 de 19 secciones) se publicó como Fischer, Bernd (1971), "Finite groups generated by 3-transpositions. I", Inventiones Mathematicae , 13 (3): 232–246, Bibcode :1971InMat..13..232F, doi :10.1007/BF01404633, MR  0294487, S2CID  120817150La parte posterior con la construcción de los grupos de Fischer aún no se ha publicado (a fecha de 2014).
• Manin, Yuri Ivanovich (1986) [1972], Formas cúbicas, Biblioteca de Matemáticas de Holanda Septentrional, vol. 4 (2ª ed.), Ámsterdam: Holanda Septentrional, ISBN 978-0-444-87823-6, Sr.  0833513
• Weiss, Richard (1983), "Sobre la caracterización de Fischer de Sp _2n (2) y U _n (2)", Communications in Algebra , 11 (22): 2527–54, doi :10.1080/00927878308822979, MR  0733341
• Weiss, Richard (1985), "Un lema de unicidad para grupos generados por 3-transposiciones", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 97 (3): 421–431, Bibcode :1985MPCPS..97..421W, doi :10.1017/S030500410006299X, MR  0778676, S2CID  123397959