Elemento absorbente

Tipo especial de elemento de un conjunto

En matemáticas , un elemento absorbente (o elemento aniquilador ) es un tipo especial de elemento de un conjunto con respecto a una operación binaria sobre ese conjunto. El resultado de combinar un elemento absorbente con cualquier elemento del conjunto es el propio elemento absorbente. En la teoría de semigrupos , el elemento absorbente se denomina elemento cero ^{[1] [2]} porque no hay riesgo de confusión con otras nociones de cero , con la notable excepción: bajo la notación aditiva, cero puede, de forma bastante natural, denotar el elemento neutro de un monoide. En este artículo, "elemento cero" y "elemento absorbente" son sinónimos.

Definición

Formalmente, sea ( S , •) un conjunto S con una operación binaria cerrada • sobre él (conocida como magma ). Un elemento cero (o un elemento absorbente / aniquilador ) es un elemento z tal que para todo s en S , z • s = s • z = z . Esta noción se puede refinar a las nociones de cero izquierdo , donde uno requiere solamente que z • s = z , y cero derecho , donde s • z = z . ^[2]

Los elementos absorbentes son particularmente interesantes para los semigrupos , especialmente el semigrupo multiplicativo de un semianillo . En el caso de un semianillo con 0, la definición de un elemento absorbente a veces se flexibiliza de modo que no se requiere que absorba 0; de lo contrario, 0 sería el único elemento absorbente. ^[3]

Propiedades

• Si un magma tiene un cero izquierdo z y un cero derecho z ′, entonces tiene un cero, ya que z = z • z ′ = z ′ .
• Un magma puede tener como máximo un elemento cero.

Ejemplos

• El ejemplo más conocido de un elemento absorbente proviene del álgebra elemental, donde cualquier número multiplicado por cero es igual a cero. El cero es, por lo tanto, un elemento absorbente.
• El cero de cualquier anillo es también un elemento absorbente. Para un elemento r de un anillo R , r 0 = r (0 + 0) = r 0 + r 0 , por lo que 0 = r 0 , ya que cero es el único elemento a para el cual r − r = a para cualquier r en el anillo R . Esta propiedad también es válida en un anillo aleatorio, ya que no se requiere identidad multiplicativa.
• La aritmética de punto flotante , tal como se define en el estándar IEEE-754, contiene un valor especial llamado Not-a-Number ("NaN"). Es un elemento absorbente para cada operación; es decir, x + NaN = NaN + x = NaN , x − NaN = NaN − x = NaN , etc.
• El conjunto de relaciones binarias sobre un conjunto X , junto con la composición de relaciones forma un monoide con cero, donde el elemento cero es la relación vacía ( conjunto vacío ).
• El intervalo cerrado H = [0, 1] con x • y = min( x , y ) también es un monoide con cero, y el elemento cero es 0.
• Más ejemplos:

Véase también

• Conjunto absorbente  – Conjunto que se puede “inflar” para alcanzar cualquier punto
• Aniquilador (desambiguación)
• Aniquilador (teoría de anillos)  : ideal que asigna a cero un subconjunto de un módulo
• Idempotente (teoría de anillos)  : En matemáticas, elemento que es igual a su cuadrado: un elemento x de un anillo tal que x ² = x
• Elemento de identidad  – Elemento específico de una estructura algebraica
• Semigrupo nulo  : semigrupo con un elemento absorbente, llamado cero, en el que el producto de dos elementos cualesquiera es ceroPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

Notas

1. Howie 1995, págs. 2-3
2. Kilp, Knauer y Mikhalev 2000, págs. 14-15
3. Golán 1999, pág. 67

Referencias

• Howie, John M. (1995). Fundamentos de la teoría de semigrupos . Clarendon Press . ISBN. 0-19-851194-9.
• Kilp, M.; Knauer, U.; Mikhalev, AV (2000), "Monoides, actos y categorías con aplicaciones a gráficos y productos de coronas", Exposiciones de De Gruyter en Matemáticas , 29 , Walter de Gruyter, ISBN 3-11-015248-7
• Golan, Jonathan S. (1999). Semirings and Their Applications [Anillos semicirculares y sus aplicaciones] . Springer. ISBN 0-7923-5786-8.

Enlaces externos

• Elemento absorbente en PlanetMath