conjunto cerrado

Subconjunto que es a la vez abierto y cerrado.

En topología , un conjunto abierto (un acrónimo de conjunto cerrado-abierto ) en un espacio topológico es un conjunto que es a la vez abierto y cerrado . Que esto sea posible puede parecer contrario a la intuición, ya que los significados comunes de abierto y cerrado son antónimos, pero sus definiciones matemáticas no son mutuamente excluyentes . Un conjunto es cerrado si su complemento es abierto, lo que deja la posibilidad de un conjunto abierto cuyo complemento también sea abierto, haciendo que ambos conjuntos sean abiertos y cerrados, y por tanto cerrados. Como lo describe el topólogo James Munkres , a diferencia de una puerta , "¡un conjunto puede estar abierto, cerrado, o ambos, o ninguno!" ^[1] enfatizando que el significado de "abierto"/"cerrado" para puertas no está relacionado con su significado para conjuntos (y por lo tanto, la dicotomía de puerta abierta/cerrada no se transfiere a conjuntos abiertos/cerrados). Este contraste con las puertas dio su nombre a la clase de espacios topológicos conocidos como " espacios de puertas ".

Ejemplos

En cualquier espacio topológico, tanto el conjunto vacío como el espacio completo son abiertos. ^{[2] [3]} ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

Consideremos ahora el espacio que consiste en la unión de los dos intervalos abiertos y de La topología en se hereda como topología subespacial de la topología ordinaria en la recta real . En el conjunto es abierto, al igual que el conjunto . Este es un ejemplo bastante típico: Siempre que un espacio esté formado por un número finito de componentes disjuntos conectados de esta manera, los componentes estarán abiertos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (2,3)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (2,3).}$

Ahora sea un conjunto infinito bajo la métrica discreta  , es decir, dos puntos tienen una distancia 1 si no son el mismo punto y 0 en caso contrario. Bajo el espacio métrico resultante , cualquier conjunto singleton está abierto; por tanto, cualquier conjunto, al ser unión de puntos individuales, es abierto. Como cualquier conjunto es abierto, el complemento de cualquier conjunto también lo es y, por tanto, cualquier conjunto es cerrado. Entonces, todos los conjuntos en este espacio métrico son abiertos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p,q\in X}$

Como ejemplo menos trivial, considere el espacio de todos los números racionales con su topología ordinaria y el conjunto de todos los números racionales positivos cuyo cuadrado es mayor que 2. Utilizando el hecho de que no está en uno se puede demostrar con bastante facilidad que es un subconjunto abierto. de ( no es un subconjunto abierto de la recta real ; no es ni abierto ni cerrado ) ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Propiedades

• Un espacio topológico es conexo si y sólo si los únicos conjuntos abiertos son el conjunto vacío y él mismo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Un conjunto es cerrado si y sólo si su frontera está vacía. ^[4]
• Cualquier conjunto abierto es una unión de (posiblemente infinitos) componentes conectados.
• Si todos los componentes conectados de son abiertos (por ejemplo, si solo tiene un número finito de componentes o si está conectado localmente ), entonces un conjunto es abierto si y solo si es una unión de componentes conectados. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Un espacio topológico es discreto si y sólo si todos sus subconjuntos son abiertos. ${\displaystyle X}$
• Utilizando la unión y la intersección como operaciones, los subconjuntos abiertos de un espacio topológico dado forman un álgebra de Boole . Cada álgebra de Boole se puede obtener de esta manera a partir de un espacio topológico adecuado: consulte el teorema de representación de Stone para álgebras de Boole . ${\displaystyle X}$

Ver también

• Espacio de puerta  : espacio topológico en el que cada subconjunto está abierto o cerrado (o ambos)Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Lista de identidades y relaciones de conjuntos  - Igualdades para combinaciones de conjuntos

Notas

1. Munkres 2000, pag. 91.
2. Bartle, Robert G .; Sherbert, Donald R. (1992) [1982]. Introducción al análisis real (2ª ed.). John Wiley & Sons, Inc. pág. 348.(con respecto a los números reales y el conjunto vacío en R)
3. Hocking, John G.; Joven, Gail S. (1961). Topología . Nueva York: Dover Publications, Inc. p. 56.(con respecto a espacios topológicos)
4. Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introducción a la topología (Tercera ed.). Dover. pag. 87.ISBN​ 0-486-66352-3. Sea un subconjunto de un espacio topológico. Demuestre que si y sólo si es abierto y cerrado. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Bdry} (A)=\varnothing }$ ${\displaystyle A}$(Dado como Ejercicio 7)

Referencias

• Munkres, James R. (2000). Topología (Segunda ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• Morris, Sidney A. "Topología sin lágrimas". Archivado desde el original el 19 de abril de 2013.