Álgebras CCR y CAR

Relaciones canónicas de conmutación o anticonmutación

En matemáticas y física, las álgebras CCR (después de relaciones de conmutación canónicas ) y las álgebras CAR (después de relaciones canónicas de anticonmutación) surgen del estudio de la mecánica cuántica de bosones y fermiones , respectivamente. Desempeñan un papel destacado en la mecánica estadística cuántica ^[1] y la teoría cuántica de campos .

CCR y CAR como *-álgebras

Sea un espacio vectorial real equipado con una forma bilineal antisimétrica real no singular (es decir, un espacio vectorial simpléctico ). El *-álgebra unital generada por elementos de sujeto a las relaciones. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle fg-gf=i(f,g)\,}$

${\displaystyle f^{*}=f,\,}$

para cualquier in se llama álgebra de relaciones de conmutación canónicas (CCR) . La unicidad de las representaciones de esta álgebra cuando es de dimensión finita se analiza en el teorema de Stone-von Neumann . ${\displaystyle f,~g}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Si en cambio está equipado con una forma bilineal simétrica real no singular , el *-álgebra unital generada por los elementos sujetos a las relaciones ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle fg+gf=(f,g),\,}$

${\displaystyle f^{*}=f,\,}$

para cualquier in se llama álgebra de relaciones canónicas anticonmutación (CAR) . ${\displaystyle f,~g}$ ${\displaystyle V}$

El álgebra C* de CCR

Hay un significado distinto, pero estrechamente relacionado, del álgebra CCR, llamado álgebra CCR C*. Sea un espacio vectorial simpléctico real con forma simpléctica no singular . En la teoría de álgebras de operadores , el álgebra CCR es el álgebra C* unital generada por elementos sujetos a ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{W(f):~f\in H\}}$

${\displaystyle W(f)W(g)=e^{-i(f,g)}W(f+g),\,}$

${\displaystyle W(f)^{*}=W(-f).\,}$

Éstas se denominan forma Weyl de las relaciones de conmutación canónicas y, en particular, implican que cada una es unitaria y . Es bien sabido que el álgebra CCR es un álgebra simple (a menos que la forma simplética sea degenerada) no separable y es única hasta el isomorfismo. ^[2] ${\displaystyle W(f)}$ ${\displaystyle W(0)=1}$

Cuando es un espacio de Hilbert complejo y está dado por la parte imaginaria del producto interno, el álgebra CCR se representa fielmente en el espacio simétrico de Fock estableciendo ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle W(f)\left(1,g,{\frac {g^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {g^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right)=e^{-{\frac {1}{2}}\|f\|^{2}-\langle f,g\rangle }\left(1,f+g,{\frac {(f+g)^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {(f+g)^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right),}$

para cualquier . Los operadores de campo se definen para cada uno como el generador del grupo unitario de un parámetro en el espacio simétrico de Fock. Estos son operadores ilimitados autoadjuntos , sin embargo satisfacen formalmente ${\displaystyle f,g\in H}$ ${\displaystyle B(f)}$ ${\displaystyle f\in H}$ ${\displaystyle (W(tf))_{t\in \mathbb {R} }}$

${\displaystyle B(f)B(g)-B(g)B(f)=2i\operatorname {Im} \langle f,g\rangle .}$

Como la asignación es real-lineal, los operadores definen un álgebra CCR en el sentido de la Sección 1. ${\displaystyle f\mapsto B(f)}$ ${\displaystyle B(f)}$ ${\displaystyle (H,2\operatorname {Im} \langle \cdot ,\cdot \rangle )}$

El álgebra C* de CAR

Sea un espacio de Hilbert. En la teoría de álgebras de operadores, el álgebra CAR es la única finalización C* del álgebra unital * compleja generada por elementos sujetos a las relaciones ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{b(f),b^{*}(f):~f\in H\}}$

${\displaystyle b(f)b^{*}(g)+b^{*}(g)b(f)=\langle f,g\rangle ,\,}$

${\displaystyle b(f)b(g)+b(g)b(f)=0,\,}$

${\displaystyle \lambda b^{*}(f)=b^{*}(\lambda f),\,}$

${\displaystyle b(f)^{*}=b^{*}(f),\,}$

para cualquier , . Cuando es separable, el álgebra CAR es un álgebra AF y en el caso especial es de dimensión infinita, a menudo se escribe como . ^[3] ${\displaystyle f,g\in H}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {M_{2^{\infty }}(\mathbb {C} )}}$

Sea el espacio de Fock antisimétrico y sea la proyección ortogonal sobre vectores antisimétricos: ${\displaystyle F_{a}(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P_{a}}$

${\displaystyle P_{a}:\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{\otimes n}\to F_{a}(H).\,}$

El álgebra CAR está fielmente representada estableciendo ${\displaystyle F_{a}(H)}$

${\displaystyle b^{*}(f)P_{a}(g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})=P_{a}(f\otimes g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})\,}$

para todos y . El hecho de que estos formen un álgebra C* se debe al hecho de que los operadores de creación y aniquilación en el espacio antisimétrico de Fock son operadores acotados de buena fe . Además, los operadores de campo satisfacen ${\displaystyle f,g_{1},\ldots ,g_{n}\in H}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle B(f):=b^{*}(f)+b(f)}$

${\displaystyle B(f)B(g)+B(g)B(f)=2\mathrm {Re} \langle f,g\rangle ,\,}$

dando la relación con la Sección 1.

Generalización de superálgebra

Sea un espacio vectorial graduado real equipado con una superforma bilineal antisimétrica no singular (es decir ), tal que es real si cualquiera de los dos es un elemento par e imaginario si ambos son impares. El *-álgebra unital generada por los elementos de sujeto a las relaciones ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle (g,f)=-(-1)^{|f||g|}(f,g)}$ ${\displaystyle (f,g)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle fg-(-1)^{|f||g|}gf=i(f,g)\,}$

${\displaystyle f^{*}=f,~g^{*}=g\,}$

para dos elementos puros cualesquiera es la generalización obvia de superálgebra que unifica los CCR con los CAR: si todos los elementos puros son pares, se obtiene un CCR, mientras que si todos los elementos puros son impares, se obtiene un CAR. ${\displaystyle f,~g}$ ${\displaystyle V}$

En matemáticas, la estructura abstracta de las álgebras CCR y CAR, en cualquier campo, no sólo los números complejos, se estudia con el nombre de álgebras de Weyl y Clifford , donde se han acumulado muchos resultados significativos. Uno de ellos es que las generalizaciones graduales de las álgebras de Weyl y Clifford permiten la formulación sin bases de las relaciones canónicas de conmutación y anticonmutación en términos de una forma bilineal simpléctica y simétrica no degenerada. Además, los elementos binarios de esta álgebra de Weyl graduada dan una versión sin bases de las relaciones de conmutación de las álgebras de Lie ortogonales simpléctica e indefinida . ^[4]

Ver también

• Estadísticas de Bose-Einstein
• Fermi-Dirac estadísticas
• Glosario de teoría de cuerdas
• grupo heisenberg
• Transformación de Bogoliubov
• (-1) ^F

Referencias

1. Bratteli, Ola ; Robinson, Derek W. (1997). Álgebras de operadores y mecánica estadística cuántica: v.2 . Springer, 2ª ed. ISBN 978-3-540-61443-2.
2. Petz, Denes (1990). Una invitación al álgebra de las relaciones de conmutación canónicas. Prensa de la Universidad de Lovaina. ISBN 978-90-6186-360-1.
3. Evans, David E .; Kawahigashi, Yasuyuki (1998). Simetrías cuánticas en álgebras de operadores . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-851175-5..
4. Roger Howe (1989). "Observaciones sobre la teoría invariante clásica". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 313 (2): 539–570. doi : 10.1090/S0002-9947-1989-0986027-X . JSTOR  2001418.