número de carmichael

Número compuesto en teoría de números

En teoría de números , un número de Carmichael es un número compuesto ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ que en aritmética modular satisface la relación de congruencia :

${\displaystyle b^{n}\equiv b{\pmod {n}}}$

para todos los números enteros ⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$ . ^[1] La relación también puede expresarse ^[2] en la forma:

${\displaystyle b^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}}$

para todos los números enteros que son primos relativos a ⁠ ⁠ . Son infinitos en número. ^[3] ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$

Robert Daniel Carmichael

Constituyen los casos comparativamente raros en los que no se cumple lo estrictamente contrario del pequeño teorema de Fermat . Este hecho impide el uso de ese teorema como prueba absoluta de primalidad . ^[4]

Los números de Carmichael forman el subconjunto K ₁ de los números de Knödel .

Los números de Carmichael recibieron el nombre del matemático estadounidense Robert Carmichael por Nicolaas Beeger en 1950. Øystein Ore se refirió a ellos en 1948 como números con la "propiedad de Fermat", o " números F " para abreviar. ^[5]

Descripción general

El pequeño teorema de Fermat establece que si es un número primo , entonces, para cualquier número entero ⁠ ⁠ , el número es un múltiplo entero de ⁠ ⁠ . Los números de Carmichael son números compuestos que tienen la misma propiedad. Los números de Carmichael también se llaman pseudoprimos de Fermat o pseudoprimos absolutos de Fermat . Un número de Carmichael pasará una prueba de primalidad de Fermat para cada base relativamente prima del número, aunque en realidad no sea prima. Esto hace que las pruebas basadas en el pequeño teorema de Fermat sean menos efectivas que las pruebas de primos probables fuertes , como la prueba de primalidad de Baillie-PSW y la prueba de primalidad de Miller-Rabin . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b^{p}-b}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b}$

Sin embargo, ningún número de Carmichael es un pseudoprimo de Euler-Jacobi o un pseudoprimo fuerte para cada base relativamente prima con respecto a él ^[6] por lo que, en teoría, una prueba de Euler o una de primo probable fuerte podría demostrar que un número de Carmichael es, de hecho , compuesto.

Arnault ^[7] proporciona un número de Carmichael de 397 dígitos que es un pseudoprimo fuerte para todas las bases primas menores que 307: ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N=p\cdot (313(p-1)+1)\cdot (353(p-1)+1)}$

dónde

${\displaystyle p=}$ 2 9674495668 6855105501 5417464290 5332730771 9917998530 4335099507 5531276838 7531717701 9959423859 6428121188 0336647542 1834556249 3168782883

es un primo de 131 dígitos. es el factor primo más pequeño de ⁠ ⁠ , por lo que este número de Carmichael también es un pseudoprimo (no necesariamente fuerte) para todas las bases menores que ⁠ ⁠ . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle p}$

A medida que los números aumentan, los números de Carmichael se vuelven cada vez más raros. Por ejemplo, hay 20.138.200 números de Carmichael entre 1 y 10 ²¹ (aproximadamente uno entre 50 billones (5·10 ¹³ ) de números). ^[8]

criterio de korselt

El criterio de Korselt da una definición alternativa y equivalente de los números de Carmichael .

Teorema ( A. Korselt 1899): Un entero compuesto positivo es un número de Carmichael si y solo si no tiene cuadrados , y para todos los divisores primos de ⁠ ⁠ , es cierto que ⁠ ⁠ . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p-1\mid n-1}$

De este teorema se deduce que todos los números de Carmichael son impares , ya que cualquier número compuesto par que no tenga cuadrados (y por lo tanto tenga solo un factor primo de dos) tendrá al menos un factor primo impar y, por lo tanto, resultará en una división par de un extraño, una contradicción. (La imparidad de los números de Carmichael también se deriva del hecho de que es un testigo de Fermat para cualquier número compuesto par). Del criterio también se deduce que los números de Carmichael son cíclicos . ^{[9] [10]} Además, se deduce que no hay números de Carmichael con exactamente dos divisores primos. ${\displaystyle p-1\mid n-1}$ ${\displaystyle -1}$

Descubrimiento

Los primeros siete números de Carmichael, del 561 al 8911, fueron encontrados por el matemático checo Václav Šimerka en 1885 ^[11] (precediendo así no sólo a Carmichael sino también a Korselt, aunque Šimerka no encontró nada parecido al criterio de Korselt). ^[12] Sin embargo , su trabajo, publicado en la revista científica checa Časopis pro pěstování matematiky a fysiky , pasó desapercibido.

Václav Šimerka enumeró los primeros siete números de Carmichael

Korselt fue el primero en observar las propiedades básicas de los números de Carmichael, pero no dio ningún ejemplo.

Que 561 es un número de Carmichael se puede comprobar con el criterio de Korselt. De hecho, no tiene cuadrados y ⁠ ⁠ , y ⁠ ⁠ . Los siguientes seis números de Carmichael son (secuencia A002997 en OEIS ): ${\displaystyle 561=3\cdot 11\cdot 17}$ ${\displaystyle 2\mid 560}$ ${\displaystyle 10\mid 560}$ ${\displaystyle 16\mid 560}$

${\displaystyle 1105=5\cdot 13\cdot 17\qquad (4\mid 1104;\quad 12\mid 1104;\quad 16\mid 1104)}$

${\displaystyle 1729=7\cdot 13\cdot 19\qquad (6\mid 1728;\quad 12\mid 1728;\quad 18\mid 1728)}$

${\displaystyle 2465=5\cdot 17\cdot 29\qquad (4\mid 2464;\quad 16\mid 2464;\quad 28\mid 2464)}$

${\displaystyle 2821=7\cdot 13\cdot 31\qquad (6\mid 2820;\quad 12\mid 2820;\quad 30\mid 2820)}$

${\displaystyle 6601=7\cdot 23\cdot 41\qquad (6\mid 6600;\quad 22\mid 6600;\quad 40\mid 6600)}$

${\displaystyle 8911=7\cdot 19\cdot 67\qquad (6\mid 8910;\quad 18\mid 8910;\quad 66\mid 8910).}$

En 1910, el propio Carmichael ^[13] también publicó el número más pequeño, 561, y más tarde los números recibieron su nombre.

Jack Chernick ^[14] demostró un teorema en 1939 que puede utilizarse para construir un subconjunto de números de Carmichael. El número es un número de Carmichael si sus tres factores son todos primos. Si esta fórmula produce una cantidad infinita de números de Carmichael es una cuestión abierta (aunque está implícita en la conjetura de Dickson ). ${\displaystyle (6k+1)(12k+1)(18k+1)}$

Paul Erdős argumentó heurísticamente que debería haber infinitos números de Carmichael. En 1994, WR (Red) Alford , Andrew Granville y Carl Pomerance utilizaron un límite en la constante de Olson para demostrar que realmente existen infinitos números de Carmichael. Específicamente, demostraron que para ⁠ ⁠ suficientemente grandes , hay al menos números de Carmichael entre 1 y ⁠ ⁠ . ^[3] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{2/7}}$ ${\displaystyle n}$

Thomas Wright demostró que si y son primos relativos, entonces hay infinitos números de Carmichael en la progresión aritmética ⁠ ⁠ , donde ⁠ ⁠ . ^[15] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle a+k\cdot m}$ ${\displaystyle k=1,2,\ldots }$

Löh y Niebuhr en 1992 encontraron algunos números de Carmichael muy grandes, incluido uno con 1.101.518 factores y más de 16 millones de dígitos. Esto se ha mejorado a 10.333.229.505 factores primos y 295.486.761.787 dígitos, ^[16] por lo que el mayor número de Carmichael conocido es mucho mayor que el mayor número primo conocido .

Propiedades

Factorizaciones

Los números de Carmichael tienen al menos tres factores primos positivos. Los primeros números de Carmichael con factores primos son (secuencia A006931 en la OEIS ): ${\displaystyle k=3,4,5,\ldots }$

Los primeros números de Carmichael con 4 factores primos son (secuencia A074379 en la OEIS ):

El segundo número de Carmichael (1105) se puede expresar como la suma de dos cuadrados de más formas que cualquier número menor. El tercer número de Carmichael (1729) es el número de Hardy-Ramanujan : el número más pequeño que se puede expresar como la suma de dos cubos (de números positivos) de dos maneras diferentes.

Distribución

Denotemos el número de números de Carmichael menores o iguales a ⁠ ⁠ . La distribución de los números de Carmichael por potencias de 10 (secuencia A055553 en la OEIS ): ^[8] ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$

En 1953, Knödel demostró el límite superior :

${\displaystyle C(X)<X\exp \left({-k_{1}\left(\log X\log \log X\right)^{\frac {1}{2}}}\right)}$

para alguna constante ⁠ ⁠ ${\displaystyle k_{1}}$ .

En 1956, Erdős mejoró el límite de

${\displaystyle C(X)<X\exp \left({\frac {-k_{2}\log X\log \log \log X}{\log \log X}}\right)}$

para alguna constante ⁠ ⁠ ${\displaystyle k_{2}}$ . ^[17] Además, dio un argumento heurístico que sugiere que este límite superior debería estar cerca de la verdadera tasa de crecimiento de ⁠ ⁠ ${\displaystyle C(X)}$ .

En la otra dirección, Alford , Granville y Pomerance demostraron en 1994 ^{[3] que para} X suficientemente grande ,

${\displaystyle C(X)>X^{\frac {2}{7}}.}$

En 2005, Harman ^[18] mejoró aún más este límite para

${\displaystyle C(X)>X^{0.332}}$

quien posteriormente mejoró el exponente a ⁠ ⁠ ${\displaystyle 0.7039\cdot 0.4736=0.33336704>1/3}$ . ^[19]

Respecto a la distribución asintótica de los números de Carmichael, ha habido varias conjeturas. En 1956, Erdős ^[17] conjeturó que había números de Carmichael para X suficientemente grandes. En 1981, Pomerance ^[20] agudizó los argumentos heurísticos de Erdős para conjeturar que existen al menos ${\displaystyle X^{1-o(1)}}$

${\displaystyle X\cdot L(X)^{-1+o(1)}}$

Carmichael numera hasta ⁠ ⁠ ${\displaystyle X}$ , donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle L(x)=\exp {\left({\frac {\log x\log \log \log x}{\log \log x}}\right)}}$ .

Sin embargo, dentro de los rangos computacionales actuales (como los recuentos de números de Carmichael realizados por Pinch ^[8] hasta 10 ²¹ ), los datos aún no confirman estas conjeturas.

En 2021, Daniel Larsen demostró un análogo del postulado de Bertrand para los números de Carmichael conjeturado por primera vez por Alford, Granville y Pomerance en 1994. ^{[4] [21]} Utilizando técnicas desarrolladas por Yitang Zhang y James Maynard para establecer resultados relacionados con pequeñas brechas entre números primos , su trabajo arrojó la afirmación mucho más contundente de que, para cualquier tamaño suficientemente grande en términos de , siempre habrá al menos ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \exp {\left({\frac {\log {x}}{(\log \log {x})^{2+\delta }}}\right)}}$

Números de Carmichael entre y ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x+{\frac {x}{(\log {x})^{\frac {1}{2+\delta }}}}.}$

Generalizaciones

La noción de número de Carmichael se generaliza a un ideal de Carmichael en cualquier campo numérico ⁠ ⁠ ${\displaystyle K}$ . Para cualquier ideal primo distinto de cero en ⁠ ⁠ , tenemos para todos en ⁠ ⁠ , donde está la norma del ideal ⁠ ⁠ . (Esto generaliza el pequeño teorema de Fermat, que para todos los números enteros ⁠ ⁠ cuando ⁠ ⁠ es primo). Llame a un ideal distinto de cero en Carmichael si no es un ideal primo y para todos ⁠ ⁠ , donde está la norma del ideal ⁠ ⁠ . Cuando ⁠ ⁠ es ⁠ ⁠ , el ideal es principal y si dejamos que ⁠ ⁠ sea su generador positivo, entonces el ideal es Carmichael exactamente cuando ⁠ ⁠ es un número de Carmichael en el sentido habitual. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle \alpha ^{{\rm {N}}({\mathfrak {p}})}\equiv \alpha {\bmod {\mathfrak {p}}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\rm {N}}({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle m^{p}\equiv m{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle \alpha ^{{\rm {N}}({\mathfrak {a}})}\equiv \alpha {\bmod {\mathfrak {a}}}}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\rm {N}}({\mathfrak {a}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(a)}$ ${\displaystyle a}$

Cuando ⁠ ⁠ ${\displaystyle K}$ es mayor que los racionales, es fácil escribir los ideales de Carmichael en ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ : para cualquier número primo ⁠ ⁠ ${\displaystyle p}$ que se divida completamente en ⁠ ⁠ ${\displaystyle K}$ , el ideal principal es un ideal de Carmichael. Dado que una infinidad de números primos se dividen completamente en cualquier campo numérico, hay infinitos ideales de Carmichael en ⁠ ⁠ . Por ejemplo, si ⁠ ⁠ es cualquier número primo que sea 1 mod 4, el ideal ⁠ ⁠ en los enteros gaussianos es un ideal de Carmichael. ${\displaystyle p{\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$

Tanto los números primos como los de Carmichael satisfacen la siguiente igualdad:

${\displaystyle \gcd \left(\sum _{x=1}^{n-1}x^{n-1},n\right)=1.}$

Número de Lucas-Carmichael

Un entero compuesto positivo es un número de Lucas-Carmichael si y solo si no tiene cuadrados , y para todos los divisores primos de ⁠ ⁠ , es cierto que ⁠ ⁠ . Los primeros números de Lucas-Carmichael son: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p+1\mid n+1}$

399, 935, 2015, 2915, 4991, 5719, 7055, 8855, 12719, 18095, 20705, 20999, 22847, 29315, 31535, 46079, 51359, 60059, 67199, 73535, 76751, 80189, 81719, 88559, 90287, ... (secuencia A006972 en el OEIS )

Número cuasi-Carmichael

Los números cuasi-Carmichael son números compuestos sin cuadrados ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ con la propiedad de que para cada factor primo ⁠ ⁠ ${\displaystyle p}$ de ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle p+b}$ se divide ⁠ ⁠ ${\displaystyle n+b}$ positivamente siendo ⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$ cualquier número entero además de 0. Si ⁠ ⁠ ${\displaystyle b=-1}$ , estos son números de Carmichael, y si ⁠ ⁠ ${\displaystyle b=1}$ , estos son números de Lucas-Carmichael. Los primeros números Quasi-Carmichael son:

35, 77, 143, 165, 187, 209, 221, 231, 247, 273, 299, 323, 357, 391, 399, 437, 493, 527, 561, 589, 598, 713, 715, 899, 935, 943, 989, 1015, 1073, 1105, 1147, 1189, 1247, 1271, 1295, 1333, 1517, 1537, 1547, 1591, 1595, 1705, 1729, ... (secuencia A257750 en el OEIS )

número de Knodel

Un número n - Knödel para un entero positivo dado n es un número compuesto m con la propiedad de que cada ⁠ ⁠ coprimo de m satisface ⁠ ⁠ . El caso son los números de Carmichael. ${\displaystyle i<m}$ ${\displaystyle i^{m-n}\equiv 1{\pmod {m}}}$ ${\displaystyle n=1}$

Números de Carmichael de orden superior

Los números de Carmichael se pueden generalizar utilizando conceptos de álgebra abstracta .

La definición anterior establece que un entero compuesto n es Carmichael precisamente cuando la n -ésima función elevadora de potencia p _n del anillo Z _n de enteros módulo n consigo mismo es la función identidad. La identidad es el único endomorfismo de álgebra Z _n en Z _n, por lo que podemos reformular la definición pidiendo que p _n sea un endomorfismo de álgebra de Z _n . Como arriba, p _n satisface la misma propiedad siempre que n sea primo.

La n -ésima función de aumento de potencia p _n también se define en cualquier Z _n -álgebra A. Un teorema establece que n es primo si y sólo si todas esas funciones p _n son endomorfismos del álgebra.

Entre estas dos condiciones se encuentra la definición del número de Carmichael de orden m para cualquier entero positivo m como cualquier número compuesto n tal que p _n es un endomorfismo en cada Z _n -álgebra que puede generarse como Z _n - módulo por m elementos . Los números de Carmichael de orden 1 son simplemente los números de Carmichael ordinarios.

Un número Carmichael de orden 2

Según Howe, 17 · 31 · 41 · 43 · 89 · 97 · 167 · 331 es un número de Carmichael de orden 2. Este producto es igual a 443.372.888.629.441. ^[22]

Propiedades

El criterio de Korselt se puede generalizar a números de Carmichael de orden superior, como lo muestra Howe.

Un argumento heurístico, presentado en el mismo artículo, parece sugerir que hay infinitos números de Carmichael de orden m , para cualquier m . Sin embargo, no se conoce ni un solo número de Carmichael de orden 3 o superior.

Notas

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2. Crandall, Richard ; Pomerancia, Carl (2005). Números primos: una perspectiva computacional (segunda ed.). Nueva York: Springer. págs. 133-134. ISBN 978-0387-25282-7.
3. WR Alford ; Andrés Granville ; Carl Pomerance (1994). "Hay infinitos números de Carmichael" (PDF) . Anales de Matemáticas . 140 (3): 703–722. doi :10.2307/2118576. JSTOR  2118576. Archivado (PDF) desde el original el 4 de marzo de 2005.
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5. Mineral, Øystein (1948). Teoría de números y su historia . Nueva York: McGraw-Hill. págs. 331–332 - a través de Internet Archive .
6. DH Lehmer (1976). "Números fuertes de Carmichael". J.Austral. Matemáticas. Soc . 21 (4): 508–510. doi : 10.1017/s1446788700019364 .Lehmer demostró que ningún número de Carmichael es pseudoprimo de Euler-Jacobi para toda base relativamente prima con respecto a él. Usó el término pseudoprime fuerte , pero la terminología ha cambiado desde entonces. Los pseudoprimos fuertes son un subconjunto de los pseudoprimos de Euler-Jacobi. Por lo tanto, ningún número de Carmichael es pseudoprimo fuerte para cada base relativamente prima de él.
7. F. Arnault (agosto de 1995). "Construcción de números de Carmichael que son pseudoprimos fuertes para varias bases". Revista de Computación Simbólica . 20 (2): 151–161. doi : 10.1006/jsco.1995.1042 .
8. Pinch, Richard (diciembre de 2007). Anne-Maria Ernvall-Hytönen (ed.). Los números de Carmichael hasta 1021 (PDF) . Actas de la conferencia sobre teoría algorítmica de números. vol. 46. ​​Turku, Finlandia: Centro de Ciencias de la Computación de Turku. págs. 129-131 . Consultado el 26 de junio de 2017 .
9. Carmichael Múltiplos de números cíclicos impares "Cualquier divisor de un número de Carmichael debe ser un número cíclico impar"
10. Bosquejo de prueba: si no tiene cuadrados pero no es cíclico, para dos factores primos y de . Pero si satisface a Korselt entonces ⁠ ⁠ , entonces por transitividad de la relación "divide" ⁠ ⁠ . Pero también es un factor de ⁠ ⁠ , una contradicción. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{i}\mid p_{j}-1}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{j}-1\mid n-1}$ ${\displaystyle p_{i}\mid n-1}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle n}$
11. Šimerka, Václav (1885). "Zbytky z arithmetické posloupnosti" [Sobre los restos de una progresión aritmética]. Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky . 14 (5): 221–225. doi : 10.21136/CPMF.1885.122245 .
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20. Pomerancia, C. (1981). "Sobre la distribución de pseudoprimos". Matemáticas. comp . 37 (156): 587–593. doi : 10.1090/s0025-5718-1981-0628717-0 . JSTOR  2007448.
21. Larsen, Daniel (20 de julio de 2022). "Postulado de Bertrand para los números de Carmichael". Avisos internacionales de investigación en matemáticas . 2023 (15): 13072–13098. arXiv : 2111.06963 . doi :10.1093/imrn/rnac203.
22. Everett W. Howe (octubre de 2000). "Números de Carmichael de orden superior". Matemáticas de la Computación . 69 (232): 1711-1719. arXiv : math.NT/9812089 . Código Bib : 2000MaCom..69.1711H. doi :10.1090/s0025-5718-00-01225-4. JSTOR  2585091. S2CID  6102830.

Referencias

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• Chernick, J. (1939). "Sobre el teorema simple de Fermat" (PDF) . Toro. América. Matemáticas. Soc . 45 (4): 269–274. doi : 10.1090/S0002-9904-1939-06953-X .
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• Ribenboim, P. (1989). El libro de registros de números primos . Saltador. ISBN 978-0-387-97042-4.
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enlaces externos

• "Número de Carmichael", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Enciclopedia de Matemáticas
• Tabla de números de Carmichael
• Tablas de números de Carmichael con muchos factores primos.
• Tablas de números de Carmichael inferiores a 10 18 {\displaystyle 10^{18}}
• "El aburrimiento de 1729". MathPages.com .
• Weisstein, Eric W. "Número Carmichael". MundoMatemático .
• Respuestas finales Aritmética modular