Número de Woodall

En teoría de números , un número de Woodall ₍ Wn ) es cualquier número natural de la forma

${\displaystyle W_{n}=n\cdot 2^{n}-1}$

Para algún número natural n . Los primeros números de Woodall son:

1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, … (secuencia A003261 en la OEIS ).

Historia

Los números de Woodall fueron estudiados por primera vez por Allan JC Cunningham y HJ Woodall en 1917, ^[1] inspirados por el estudio anterior de James Cullen sobre los números de Cullen definidos de manera similar .

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Problema sin resolver en matemáticas :

¿Hay infinitos números primos de Woodall?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Los números de Woodall que también son números primos se denominan primos de Woodall ; los primeros exponentes n para los cuales los números de Woodall correspondientes W _n son primos son 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, ... (secuencia A002234 en la OEIS ); los primos de Woodall comienzan con 7, 23, 383, 32212254719, ... (secuencia A050918 en la OEIS ).

En 1976, Christopher Hooley demostró que casi todos los números de Cullen son compuestos . ^[2] En octubre de 1995, Wilfred Keller publicó un artículo en el que analizaba varios nuevos primos de Cullen y los esfuerzos realizados para factorizar otros números de Cullen y Woodall. En ese artículo se incluye una comunicación personal a Keller de Hiromi Suyama, en la que se afirma que el método de Hooley se puede reformular para demostrar que funciona para cualquier secuencia de números n · 2 ^{n + a} + b , donde a y b son números enteros y, en particular, que casi todos los números de Woodall son compuestos. ^[3] Es un problema abierto si hay infinitos primos de Woodall. A partir de octubre de 2018 ^[actualizar], el primo de Woodall más grande conocido es 17016602 × 2 ^17016602  − 1. ^[4] Tiene 5.122.515 dígitos y fue encontrado por Diego Bertolotti en marzo de 2018 en el proyecto de computación distribuida PrimeGrid . ^[5]

Restricciones

A partir de W ₄ = 63 y W ₅ = 159, cada sexto número de Woodall es divisible por 3; por lo tanto, para que W _n sea primo, el índice n no puede ser congruente con 4 o 5 (módulo 6). Además, para un entero positivo m , el número de Woodall W _{2 ^m} puede ser primo solo si 2 ^m + m es primo. A partir de enero de 2019, los únicos primos conocidos que son a la vez primos de Woodall y primos de Mersenne son W ₂ = M ₃ = 7 y W ₅₁₂ = M ₅₂₁ .

Propiedades de divisibilidad

Al igual que los números de Cullen, los números de Woodall tienen muchas propiedades de divisibilidad. Por ejemplo, si p es un número primo, entonces p divide

W _{( p  + 1) / 2} si el símbolo de Jacobi es +1 y ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)}$

W _{(3 p  − 1) / 2} si el símbolo de Jacobi es −1. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)}$

Generalización

Un número de Woodall generalizado base b se define como un número de la forma n × b ⁿ  − 1, donde n  + 2 >  b ; si un primo se puede escribir en esta forma, entonces se denomina primo de Woodall generalizado .

El valor más pequeño de n tal que n × b ⁿ − 1 es primo para b = 1, 2, 3, ... son ^[6]

3, 2, 1, 1, 8, 1, 2, 1, 10, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 167, 2, 1, 12, 1, 2, 2, 29028, 1, 2, 3, 10, 2, 26850, 1, 8, 1, 42, 2, 6, 2, 24, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 140, 1, 2, 2, 22, 2, 8, 1, 2064, 2, 468, 6, 2, 1, 362, 1, 2, 2, 6, 3, 26, 1, 2, 3, 20, 1, 2, 1, 28, 2, 38, 5, 3024, 1, 2, 81, 858, 1, 2, 3, 2, 8, 60, 1, 2, 2, 10, 5, 2, 7, 182, 1, 17782, 3, ... (secuencia A240235 en la OEIS )

A partir de noviembre de 2021 ^[actualizar], el primo de Woodall generalizado más grande conocido con base mayor que 2 es 2740879 × 32 ^2740879  − 1. ^[7]

Véase también

• Primo de Mersenne : Números primos de la forma 2 ⁿ  − 1.

Referencias

1. Cunningham, AJ C ; Woodall, HJ (1917), "Factorización de y ", Messenger of Mathematics , 47 : 1–38 ${\displaystyle Q=(2^{q}\mp q)}$ ${\displaystyle (q\cdot {2^{q}}\mp 1)}$.
2. Everest, Graham; van der Poorten, Alf ; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). Secuencias de recurrencia . Encuestas y monografías matemáticas. Vol. 104. Providence, RI : American Mathematical Society . pág. 94. ISBN. 0-8218-3387-1.Zbl 1033.11006  .
3. Keller, Wilfrid (enero de 1995). "Nuevos primos de Cullen". Matemáticas de la computación . 64 (212): 1739. doi : 10.1090/S0025-5718-1995-1308456-3 . ISSN  0025-5718. Keller, Wilfrid (diciembre de 2013). «Wilfrid Keller». www.fermatsearch.org . Hamburgo. Archivado desde el original el 28 de febrero de 2020 . Consultado el 1 de octubre de 2020 .
4. "La base de datos de números primos: 8508301*2^17016603-1", La base de datos de números primos más grande conocida de Chris Caldwell , consultado el 24 de marzo de 2018
5. PrimeGrid , Anuncio de 17016602*2^17016602 - 1 (PDF) , consultado el 1 de abril de 2018
6. Lista de primos de Woodall generalizados de base 3 a 10000
7. "Los veinte mejores: Woodall generalizado". primes.utm.edu . Consultado el 20 de noviembre de 2021 .

Lectura adicional

• Guy, Richard K. (2004), Problemas sin resolver en la teoría de números (3.ª ed.), Nueva York: Springer Verlag , pp. sección B20, ISBN 0-387-20860-7.
• Keller, Wilfrid (1995), "Nuevos números primos de Cullen" (PDF) , Matemáticas de la computación , 64 (212): 1733–1741, doi : 10.2307/2153382 , JSTOR  2153382.
• Caldwell, Chris, "Los veinte mejores: Woodall Primes", The Prime Pages , consultado el 29 de diciembre de 2007.

Enlaces externos

• Chris Caldwell, El glosario principal: número de Woodall, y Los veinte principales: Woodall, y Los veinte principales: Woodall generalizado, en The Prime Pages .
• Weisstein, Eric W. "Número de Woodall". MathWorld .
• Steven Harvey, Lista de primos de Woodall generalizados.
• Paul Leyland, números generalizados de Cullen y Woodall