Recuerdo que Bertrand Russell me contó un sueño horrible. Estaba en el piso superior de la biblioteca de la Universidad, alrededor del año 2100 d. C. Un ayudante de biblioteca recorría los estantes con un enorme cubo, sacando libros, mirándolos, volviéndolos a colocar en los estantes o tirándolos al cubo. Por fin llegó a tres grandes volúmenes que Russell pudo reconocer como el último ejemplar superviviente de los Principia Mathematica . Cogió uno de los volúmenes, pasó unas cuantas páginas, pareció desconcertado por un momento por el curioso simbolismo, cerró el volumen, lo equilibró en su mano y vaciló...
GH Hardy , Apología de un matemático (1940) [1]
Él [Russell] dijo una vez, después de algún contacto con el idioma chino, que se horrorizó al descubrir que el idioma de los Principia Mathematica era indoeuropeo.
John Edensor Littlewood , Miscelánea de Littlewood (1986) [2]
Los Principia Mathematica (a menudo abreviados como PM ) es una obra de tres volúmenes sobre los fundamentos de las matemáticas escrita por los matemáticos y filósofos Alfred North Whitehead y Bertrand Russell y publicada en 1910, 1912 y 1913. En 1925-1927, apareció en una segunda edición con una importante Introducción a la Segunda Edición , un Apéndice A que reemplazó ✱9 con un nuevo Apéndice B y Apéndice C. PM fue concebido como una secuela de Principios de las matemáticas de Russell de 1903 , pero como afirma PM , esto se convirtió en una sugerencia impracticable por razones prácticas y filosóficas: "Originalmente, pretendíamos que el presente trabajo formara parte de un segundo volumen de Principios de las matemáticas ... Pero a medida que avanzábamos, se hizo cada vez más evidente que el tema es mucho más amplio de lo que habíamos supuesto; además, en muchas cuestiones fundamentales que habían quedado oscuras y dudosas en el trabajo anterior, ahora hemos llegado a lo que creemos que son soluciones satisfactorias".
PM , según su introducción, tenía tres objetivos: (1) analizar en la mayor medida posible las ideas y métodos de la lógica matemática y minimizar el número de nociones primitivas , axiomas y reglas de inferencia ; (2) expresar con precisión proposiciones matemáticas en lógica simbólica utilizando la notación más conveniente que permita la expresión precisa; (3) resolver las paradojas que plagaron la lógica y la teoría de conjuntos a principios del siglo XX, como la paradoja de Russell . [3]
Este tercer objetivo motivó la adopción de la teoría de tipos en PM . La teoría de tipos adopta restricciones gramaticales sobre las fórmulas que descartan la comprensión irrestricta de clases, propiedades y funciones. El efecto de esto es que las fórmulas que permitirían la comprensión de objetos como el conjunto de Russell resultan estar mal formadas: violan las restricciones gramaticales del sistema de PM .
PM despertó el interés por la lógica simbólica y avanzó en el tema, popularizándolo y demostrando su poder. [4] La Modern Library colocó a PM en el puesto 23 de su lista de los 100 mejores libros de no ficción en inglés del siglo XX. [5]
Los Principia sólo abarcaban la teoría de conjuntos , los números cardinales , los números ordinales y los números reales . No se incluían teoremas más profundos del análisis real , pero al final del tercer volumen los expertos tenían claro que una gran cantidad de matemáticas conocidas podían, en principio, desarrollarse en el formalismo adoptado. También estaba claro lo largo que sería dicho desarrollo.
Se había planeado un cuarto volumen sobre los fundamentos de la geometría , pero los autores admitieron sentirse intelectualmente agotados al completar el tercero.
Como se señala en la crítica de la teoría de Kurt Gödel (abajo), a diferencia de una teoría formalista , la teoría "logicista" de PM no tiene una "declaración precisa de la sintaxis del formalismo". Además, en la teoría, es casi inmediatamente observable que las interpretaciones (en el sentido de la teoría de modelos ) se presentan en términos de valores de verdad para el comportamiento de los símbolos "⊢" (afirmación de verdad), "~" (no lógico) y "V" (OR lógico inclusivo).
Valores de verdad : PM incorpora las nociones de "verdad" y "falsedad" en la noción de "proposición primitiva". Una teoría formalista pura no proporcionaría el significado de los símbolos que forman una "proposición primitiva"; los símbolos en sí mismos podrían ser absolutamente arbitrarios y desconocidos. La teoría especificaría únicamente cómo se comportan los símbolos basándose en la gramática de la teoría . Luego, más adelante, mediante la asignación de "valores", un modelo especificaría una interpretación de lo que dicen las fórmulas. Así, en el conjunto de símbolos formales de Kleene que se muestra a continuación, la "interpretación" de lo que significan comúnmente los símbolos y, por implicación, cómo terminan siendo utilizados, se da entre paréntesis, por ejemplo, "¬ (no)". Pero esta no es una teoría formalista pura.
La siguiente teoría formalista se ofrece como contraste a la teoría logicista de PM . Un sistema formal contemporáneo se construiría de la siguiente manera:
La teoría de PM tiene similitudes y diferencias significativas con una teoría formal contemporánea. [ aclaración necesaria ] Kleene afirma que "esta deducción de las matemáticas a partir de la lógica se ofreció como axiomática intuitiva. Los axiomas estaban destinados a ser creídos, o al menos a ser aceptados como hipótesis plausibles sobre el mundo". [10] De hecho, a diferencia de una teoría formalista que manipula símbolos de acuerdo con reglas gramaticales, PM introduce la noción de "valores de verdad", es decir, verdad y falsedad en el sentido del mundo real , y la "afirmación de la verdad" casi inmediatamente como los elementos quinto y sexto en la estructura de la teoría ( PM 1962:4–36):
Cf. PM 1962:90–94, para la primera edición:
La primera edición (ver la discusión relativa a la segunda edición, más abajo) comienza con una definición del signo "⊃".
✱1.01 . p ⊃ q . = . ~ p ∨ q . Gl .
✱1.1 . Todo lo que implica una proposición elemental verdadera es verdadero. Pp modus ponens
( ✱1.11 fue abandonado en la segunda edición.)
✱1.2 . ⊦ : p ∨ p . ⊃ . p . Pp principio de tautología
✱1.3 . ⊦ : q . ⊃ . p ∨ q . Pp principio de adición
✱1.4 . ⊦ : p ∨ q . ⊃ . q ∨ p . Principio de permutación Pp
✱1.5 . ⊦ : p ∨ ( q ∨ r ) . ⊃ . q ∨ ( p ∨ r ). Principio asociativo Pp
✱1.6 . ⊦ :. q ⊃ r . ⊃ : p ∨ q . ⊃ . p ∨ r . Pp principio de suma
✱1.7 . Si p es una proposición elemental, ~ p es una proposición elemental. Pp
✱1.71 . Si p y q son proposiciones elementales, p ∨ q es una proposición elemental. Pp
✱1.72 . Si φ p y ψ p son funciones proposicionales elementales que toman proposiciones elementales como argumentos, φ p ∨ ψ p es una proposición elemental. Pp
Junto con la "Introducción a la segunda edición", el Apéndice A de la segunda edición abandona toda la sección ✱9 . Ésta incluye seis proposiciones primitivas ✱9 a ✱9.15 junto con los Axiomas de reducibilidad.
La teoría revisada se dificulta por la introducción del trazo de Sheffer ("|") para simbolizar la "incompatibilidad" (es decir, si ambas proposiciones elementales p y q son verdaderas, su "trazo" p | q es falso), el NAND lógico contemporáneo (no-AND). En la teoría revisada, la Introducción presenta la noción de "proposición atómica", un "dato" que "pertenece a la parte filosófica de la lógica". Estas no tienen partes que sean proposiciones y no contienen las nociones "todos" o "algunos". Por ejemplo: "esto es rojo", o "esto es anterior a eso". Tales cosas pueden existir ad finitum , es decir, incluso una "enumeración infinita" de ellas para reemplazar la "generalidad" (es decir, la noción de "para todos"). [12] PM luego "avanza a proposiciones moleculares" que están todas vinculadas por "el trazo". Las definiciones dan equivalencias para "~", "∨", "⊃" y " . ".
La nueva introducción define las "proposiciones elementales" como posiciones atómicas y moleculares juntas. Luego reemplaza todas las proposiciones primitivas ✱1.2 a ✱1.72 por una única proposición primitiva enmarcada en términos del trazo:
La nueva introducción conserva la notación para "existe" (ahora reformulada como "a veces cierto") y "para todo" (reformulada como "siempre cierto"). El Apéndice A refuerza la noción de "matriz" o "función predicativa" (una "idea primitiva", PM 1962:164) y presenta cuatro nuevas proposiciones primitivas como ✱8.1–✱8.13 .
✱88 . Axioma multiplicativo
✱120 . Axioma de infinito
En la teoría de tipos simple, los objetos son elementos de varios "tipos" disjuntos. Los tipos se construyen implícitamente de la siguiente manera. Si τ 1 ,...,τ m son tipos, entonces hay un tipo (τ 1 ,...,τ m ) que puede considerarse como la clase de funciones proposicionales de τ 1 ,...,τ m (que en la teoría de conjuntos es esencialmente el conjunto de subconjuntos de τ 1 ×...×τ m ). En particular, hay un tipo () de proposiciones, y puede haber un tipo ι (iota) de "individuos" a partir del cual se construyen otros tipos. La notación de Russell y Whitehead para construir tipos a partir de otros tipos es bastante engorrosa, y la notación aquí se debe a Church .
En la teoría de tipos ramificados de PM todos los objetos son elementos de varios tipos ramificados disjuntos. Los tipos ramificados se construyen implícitamente de la siguiente manera. Si τ 1 ,...,τ m ,σ 1 ,...,σ n son tipos ramificados entonces como en la teoría de tipos simple hay un tipo (τ 1 ,...,τ m ,σ 1 ,...,σ n ) de funciones proposicionales "predicativas" de τ 1 ,...,τ m ,σ 1 ,...,σ n . Sin embargo, también hay tipos ramificados (τ 1 ,...,τ m |σ 1 ,...,σ n ) que pueden considerarse como las clases de funciones proposicionales de τ 1 ,...τ m obtenidas a partir de funciones proposicionales de tipo (τ 1 ,...,τ m ,σ 1 ,...,σ n ) cuantificando sobre σ 1 ,...,σ n . Cuando n = 0 (por lo que no hay σs) estas funciones proposicionales se denominan funciones predicativas o matrices. Esto puede ser confuso porque la práctica matemática moderna no distingue entre funciones predicativas y no predicativas, y en cualquier caso PM nunca define exactamente qué es en realidad una "función predicativa": esto se toma como una noción primitiva.
Russell y Whitehead consideraron imposible desarrollar las matemáticas manteniendo la diferencia entre funciones predicativas y no predicativas, por lo que introdujeron el axioma de reducibilidad , diciendo que para cada función no predicativa hay una función predicativa que toma los mismos valores. En la práctica, este axioma significa esencialmente que los elementos del tipo (τ 1 ,...,τ m |σ 1 ,...,σ n ) pueden identificarse con los elementos del tipo (τ 1 ,...,τ m ), lo que hace que la jerarquía de tipos ramificados colapse hasta quedar reducida a una simple teoría de tipos. (Estrictamente hablando, la PM permite que dos funciones proposicionales sean diferentes incluso si toman los mismos valores en todos los argumentos; esto difiere de la práctica matemática moderna, donde normalmente se identifican dos de esas funciones).
En la teoría de conjuntos de Zermelo se puede modelar la teoría de tipos ramificada de PM de la siguiente manera. Se elige un conjunto ι para que sea el tipo de individuos. Por ejemplo, ι podría ser el conjunto de números naturales, o el conjunto de átomos (en una teoría de conjuntos con átomos) o cualquier otro conjunto que nos interese. Entonces, si τ 1 ,...,τ m son tipos, el tipo (τ 1 ,...,τ m ) es el conjunto potencia del producto τ 1 ×...×τ m , que también se puede considerar informalmente como el conjunto de funciones (predicativas proposicionales) de este producto a un conjunto de 2 elementos {verdadero, falso}. El tipo ramificado (τ 1 ,...,τ m |σ 1 ,...,σ n ) se puede modelar como el producto del tipo (τ 1 ,...,τ m ,σ 1 ,...,σ n ) con el conjunto de secuencias de n cuantificadores (∀ o ∃) que indican qué cuantificador se debe aplicar a cada variable σ i . (Se puede variar esto ligeramente permitiendo que los σ se cuantifiquen en cualquier orden, o permitiendo que ocurran antes de algunos de los τ, pero esto hace poca diferencia excepto para la contabilidad).
La introducción a la segunda edición advierte:
Un punto en relación con el cual es obviamente deseable una mejora es el axioma de reducibilidad... Este axioma tiene una justificación puramente pragmática... pero claramente no es el tipo de axioma con el que podemos estar satisfechos. Sin embargo, sobre este tema no puede decirse que todavía se pueda obtener una solución satisfactoria. El Dr. Leon Chwistek [Teoría de tipos constructivos] tomó la heroica decisión de prescindir del axioma sin adoptar ningún sustituto; de su trabajo se desprende claramente que esta decisión nos obliga a sacrificar una gran cantidad de matemáticas ordinarias. Hay otra decisión, recomendada por Wittgenstein† (†Tractatus Logico-Philosophicus, *5.54ff) por razones filosóficas. Se trata de suponer que las funciones de las proposiciones son siempre funciones de verdad, y que una función sólo puede darse en una proposición a través de sus valores. (...) [Trabajando sobre las consecuencias]... la teoría de los cardinales y ordinales inductivos sobrevive; Pero parece que la teoría de las series dedekindianas infinitas y bien ordenadas colapsa en gran medida, de modo que los números irracionales y los números reales en general ya no pueden tratarse adecuadamente. También la prueba de Cantor de que 2n > n se desmorona a menos que n sea finito. [13]
Tal vez sea posible sacrificar series infinitas bien ordenadas en aras del rigor lógico, pero la teoría de los números reales es parte integral de las matemáticas ordinarias y difícilmente puede ser objeto de duda razonable. Por lo tanto, estamos justificados al suponer que algunos axiomas lógicos que sean verdaderos la justificarán. El axioma requerido puede ser más restringido que el axioma de reducibilidad, pero, si lo es, aún queda por descubrir. [14]
Un autor [4] observa que "la notación en esa obra ha sido reemplazada por el desarrollo posterior de la lógica durante el siglo XX, hasta el punto de que el principiante tiene problemas para leer PM"; si bien gran parte del contenido simbólico se puede convertir a la notación moderna, la notación original en sí es "un tema de disputa académica", y algunas notaciones "encarnan doctrinas lógicas sustantivas de modo que no pueden simplemente ser reemplazadas por el simbolismo contemporáneo". [15]
Kurt Gödel criticó duramente la notación: "Lo que falta, sobre todo, es una declaración precisa de la sintaxis del formalismo. Las consideraciones sintácticas se omiten incluso en los casos en que son necesarias para la coherencia de las pruebas". [16] Esto se refleja en el ejemplo siguiente de los símbolos " p ", " q ", " r " y "⊃" que se pueden formar en la cadena " p ⊃ q ⊃ r ". PM requiere una definición de lo que significa esta cadena de símbolos en términos de otros símbolos; en los tratamientos contemporáneos, las "reglas de formación" (reglas sintácticas que conducen a "fórmulas bien formadas") habrían impedido la formación de esta cadena.
Fuente de la notación : El Capítulo I "Explicaciones preliminares de ideas y notaciones" comienza con la fuente de las partes elementales de la notación (los símbolos =⊃≡−ΛVε y el sistema de puntos):
PM cambió el Ɔ de Peano por ⊃, y también adoptó algunos de los símbolos posteriores de Peano, como ℩ e ι, y la práctica de Peano de poner las letras al revés.
PM adopta el signo de afirmación "⊦" del Begriffsschrift de Frege de 1879 : [18]
Así, para afirmar una proposición p PM escribe:
(Observe que, como en el original, el punto izquierdo es cuadrado y de mayor tamaño que el punto de la derecha.)
La mayor parte del resto de la notación en PM fue inventada por Whitehead. [20]
Los puntos de PM [21] se utilizan de manera similar a los paréntesis. Cada punto (o múltiples puntos) representa un paréntesis izquierdo o derecho o el símbolo lógico ∧. Más de un punto indica la "profundidad" de los paréntesis, por ejemplo, " . ", " : " o " :. ", " :: ". Sin embargo, la posición del paréntesis derecho o izquierdo correspondiente no se indica explícitamente en la notación, sino que debe deducirse a partir de algunas reglas que son complejas y, a veces, ambiguas. Además, cuando los puntos representan un símbolo lógico ∧, sus operandos izquierdo y derecho deben deducirse utilizando reglas similares. Primero, uno tiene que decidir en función del contexto si los puntos representan un paréntesis izquierdo o derecho o un símbolo lógico. Luego, uno tiene que decidir a qué distancia está el otro paréntesis correspondiente: aquí uno continúa hasta que se encuentra con un número mayor de puntos, o el mismo número de puntos a continuación que tienen una "fuerza" igual o mayor, o el final de la línea. Los puntos junto a los signos ⊃, ≡,∨, =Df tienen mayor fuerza que los puntos junto a ( x ), (∃ x ) y así sucesivamente, que tienen mayor fuerza que los puntos que indican un producto lógico ∧.
Ejemplo 1. La línea
corresponde a
Los dos puntos que se encuentran inmediatamente después del signo de afirmación indican que lo que se afirma es la línea completa: como hay dos, su alcance es mayor que el de cualquiera de los puntos individuales que se encuentran a su derecha. Se reemplazan por un paréntesis izquierdo que se encuentra en el lugar de los puntos y un paréntesis derecho al final de la fórmula, de esta manera:
(En la práctica, estos paréntesis exteriores, que encierran una fórmula entera, suelen suprimirse). El primero de los puntos simples, que se encuentra entre dos variables proposicionales, representa la conjunción. Pertenece al tercer grupo y tiene el alcance más limitado. Aquí se reemplaza por el símbolo moderno de conjunción "∧", por lo tanto
Los dos puntos restantes resaltan el conector principal de toda la fórmula. Ilustran la utilidad de la notación de puntos para seleccionar aquellos conectores que son relativamente más importantes que los que los rodean. El que está a la izquierda de la "⊃" se reemplaza por un par de paréntesis, el de la derecha va donde está el punto y el de la izquierda va tan a la izquierda como puede sin cruzar un grupo de puntos de mayor fuerza, en este caso los dos puntos que siguen al signo de aserción, por lo tanto
El punto a la derecha del "⊃" se reemplaza por un paréntesis izquierdo que va donde está el punto y un paréntesis derecho que va tan lejos a la derecha como puede sin salirse del ámbito ya establecido por un grupo de puntos de mayor fuerza (en este caso los dos puntos que seguían al signo de afirmación). Así, el paréntesis derecho que reemplaza al punto a la derecha del "⊃" se coloca delante del paréntesis derecho que reemplazó a los dos puntos que seguían al signo de afirmación, así
Ejemplo 2, con puntos dobles, triples y cuádruples:
significa
Ejemplo 3, con un punto doble que indica un símbolo lógico (del volumen 1, página 10):
significa
donde el punto doble representa el símbolo lógico ∧ y puede considerarse que tiene mayor prioridad que un punto simple no lógico.
Más adelante, en la sección ✱14 , aparecen los corchetes "[ ]", y en las secciones ✱20 y siguientes, aparecen las llaves "{ }". No está claro si estos símbolos tienen significados específicos o son solo para aclaración visual. Desafortunadamente, el punto simple (pero también " : ", " :. ", " :: ", etc.) también se usa para simbolizar "producto lógico" (AND lógico contemporáneo, a menudo simbolizado por "&" o "∧").
La implicación lógica se representa con la "Ɔ" de Peano simplificada a "⊃", la negación lógica se simboliza con una tilde alargada, es decir, "~" (contemporánea "~" o "¬"), el OR lógico con "v". El símbolo "=" junto con "Df" se usa para indicar "se define como", mientras que en las secciones ✱13 y siguientes, "=" se define como (matemáticamente) "idéntico a", es decir, "igualdad" matemática contemporánea (cf. discusión en la sección ✱13 ). La equivalencia lógica se representa con "≡" (contemporánea "si y solo si"); las funciones proposicionales "elementales" se escriben de la manera habitual, p. ej., " f ( p )", pero más tarde el signo de la función aparece directamente antes de la variable sin paréntesis, p. ej., "φ x ", "χ x ", etc.
Por ejemplo, PM introduce la definición de “producto lógico” de la siguiente manera:
Traducción de las fórmulas a símbolos contemporáneos : Varios autores utilizan símbolos alternativos, por lo que no se puede dar una traducción definitiva. Sin embargo, debido a críticas como la de Kurt Gödel que se menciona más adelante, los mejores tratamientos contemporáneos serán muy precisos con respecto a las "reglas de formación" (la sintaxis) de las fórmulas.
La primera fórmula podría convertirse en simbolismo moderno de la siguiente manera: [22]
alternativamente
alternativamente
etc.
La segunda fórmula podría convertirse de la siguiente manera:
Pero tenga en cuenta que esto no es (lógicamente) equivalente a ( p → ( q → r )) ni a (( p → q ) → r ), y estos dos tampoco son lógicamente equivalentes.
Estas secciones tratan de lo que ahora se conoce como lógica de predicados y lógica de predicados con identidad (igualdad).
Sección ✱10: Los "operadores" existenciales y universales : PM añade "( x )" para representar el simbolismo contemporáneo "para todo x ", es decir, "∀ x ", y utiliza una E con serifa hacia atrás para representar "existe un x ", es decir, "(Ǝx)", es decir, el "∃x" contemporáneo. La notación típica sería similar a la siguiente:
Secciones ✱10, ✱11, ✱12: Propiedades de una variable extendidas a todos los individuos : la sección ✱10 introduce la noción de "una propiedad" de una "variable". PM da el ejemplo: φ es una función que indica "es griego", ψ indica "es un hombre" y χ indica "es un mortal". Estas funciones se aplican entonces a una variable x . PM puede ahora escribir y evaluar:
La notación anterior significa "para todo x , x es un hombre". Dada una colección de individuos, se puede evaluar la fórmula anterior para determinar su verdad o falsedad. Por ejemplo, dada la colección restringida de individuos {Sócrates, Platón, Russell, Zeus}, la fórmula anterior se evalúa como "verdadera" si permitimos que Zeus sea un hombre. Pero falla para:
porque Russell no es griego. Y falla por
porque Zeus no es mortal.
Equipado con esta notación, PM puede crear fórmulas para expresar lo siguiente: "Si todos los griegos son hombres y si todos los hombres son mortales, entonces todos los griegos son mortales". ( PM 1962:138)
Otro ejemplo: la fórmula:
significa "Los símbolos que representan la afirmación 'Existe al menos una x que satisface la función φ' se definen por los símbolos que representan la afirmación 'No es cierto que, dados todos los valores de x , no haya valores de x que satisfagan φ'".
Los simbolismos ⊃ x y "≡ x " aparecen en ✱10.02 y ✱10.03 . Ambos son abreviaturas de universalidad (es decir, para todos) que vinculan la variable x al operador lógico. La notación contemporánea simplemente habría utilizado paréntesis fuera del signo de igualdad ("="):
El Primer Ministro atribuye el primer simbolismo a Peano.
La sección ✱11 aplica este simbolismo a dos variables. Por lo tanto, las siguientes notaciones: ⊃ x , ⊃ y , ⊃ x, y podrían aparecer todas en una sola fórmula.
La sección ✱12 reintroduce la noción de "matriz" ( tabla de verdad contemporánea ), la noción de tipos lógicos y, en particular, las nociones de funciones y proposiciones de primer y segundo orden .
Nuevo simbolismo "φ ! x " representa cualquier valor de una función de primer orden. Si se coloca un acento circunflejo "^" sobre una variable, entonces se trata de un valor "individual" de y , lo que significa que " ŷ " indica "individuos" (por ejemplo, una fila en una tabla de verdad); esta distinción es necesaria debido a la naturaleza matricial/extensional de las funciones proposicionales.
Ahora, equipado con la noción de matriz, PM puede afirmar su controvertido axioma de reducibilidad : una función de una o dos variables (dos son suficientes para el uso de PM ) donde todos sus valores están dados (es decir, en su matriz) es (lógicamente) equivalente ("≡") a alguna función "predicativa" de las mismas variables. La definición de una variable se da a continuación como una ilustración de la notación ( PM 1962:166–167):
✱12.1 ⊢ : (Ǝ f ) : φ x . ≡x . f ! xpp ;
Esto significa: "Afirmamos la verdad de lo siguiente: Existe una función f con la propiedad de que: dados todos los valores de x , sus evaluaciones en la función φ (es decir, resultantes de su matriz) son lógicamente equivalentes a alguna f evaluada en esos mismos valores de x . (y viceversa, de ahí la equivalencia lógica)". En otras palabras: dada una matriz determinada por la propiedad φ aplicada a la variable x , existe una función f que, cuando se aplica a la x es lógicamente equivalente a la matriz. O: cada matriz φ x puede representarse por una función f aplicada a x , y viceversa.
✱13: El operador identidad "=" : Esta es una definición que utiliza el signo de dos maneras diferentes, como lo indica la cita de PM :
medio:
El signo de desigualdad "≠" aparece como definición en ✱13.02 .
✱14: Descripciones :
A partir de este PM se emplean dos nuevos símbolos, una "E" hacia delante y una iota invertida "℩". He aquí un ejemplo:
Esto tiene el significado:
El texto salta de la sección ✱14 directamente a las secciones fundamentales ✱20 TEORÍA GENERAL DE CLASES y ✱21 TEORÍA GENERAL DE RELACIONES . Las "relaciones" son lo que se conoce en la teoría de conjuntos contemporánea como conjuntos de pares ordenados . Las secciones ✱20 y ✱22 introducen muchos de los símbolos que todavía se usan en la actualidad. Estos incluyen los símbolos "ε", "⊂", "∩", "∪", "–", "Λ" y "V": "ε" significa "es un elemento de" ( PM 1962:188); "⊂" ( ✱22.01 ) significa "está contenido en", "es un subconjunto de"; "∩" ( ✱22.02 ) significa la intersección (producto lógico) de clases (conjuntos); "∪" ( ✱22.03 ) significa la unión (suma lógica) de clases (conjuntos); "–" ( ✱22.03 ) significa la negación de una clase (conjunto); "Λ" significa la clase nula; y "V" significa la clase universal o universo del discurso.
Las letras griegas minúsculas (distintas de "ε", "ι", "π", "φ", "ψ", "χ" y "θ") representan clases (p. ej., "α", "β", "γ ", "δ", etc.) ( PM 1962:188):
Cuando se aplican a las relaciones de la sección ✱23 CÁLCULO DE RELACIONES , los símbolos "⊂", "∩", "∪" y "–" adquieren un punto: por ejemplo: "⊍", "∸". [26]
La noción y notación de "una clase" (conjunto) : En la primera edición , PM afirma que no son necesarias nuevas ideas primitivas para definir lo que se entiende por "una clase", y sólo dos nuevas "proposiciones primitivas" llamadas axiomas de reducibilidad para clases y relaciones respectivamente ( PM 1962:25). [27] Pero antes de que se pueda definir esta noción, PM siente que es necesario crear una notación peculiar " ẑ (φ z )" a la que llama "objeto ficticio". ( PM 1962:188)
Al menos PM puede decirle al lector cómo se comportan estos objetos ficticios, porque "Una clase está completamente determinada cuando se conoce su membresía, es decir, no puede haber dos clases diferentes que tengan la misma membresía" ( PM 1962:26). Esto se simboliza mediante la siguiente igualdad (similar a ✱13.01 anterior:
Tal vez lo anterior pueda aclararse más con la discusión de las clases en Introducción a la Segunda Edición , que descarta el Axioma de Reducibilidad y lo reemplaza con la noción: "Todas las funciones de funciones son extensionales" ( PM 1962:xxxix), es decir,
Esto tiene el significado razonable de que "SI para todos los valores de x los valores de verdad de las funciones φ y ψ de x son [lógicamente] equivalentes, ENTONCES la función ƒ de un φ ẑ dado y ƒ de ψ ẑ son [lógicamente] equivalentes". PM afirma que esto es "obvio":
Observe el cambio en el signo de igualdad "=" a la derecha. PM continúa afirmando que continuará manteniendo la notación " ẑ (φ z )", pero esto es meramente equivalente a φ ẑ , y esta es una clase. (todas las citas: PM 1962:xxxix).
Según los "Fundamentos logísticos de las matemáticas" de Carnap , Russell quería una teoría de la que se pudiera decir plausiblemente que derivaba todas las matemáticas a partir de axiomas puramente lógicos. Sin embargo, Principia Mathematica requería, además de los axiomas básicos de la teoría de tipos, tres axiomas más que parecían no ser ciertos como meros asuntos de lógica, a saber, el axioma de infinito , el axioma de elección y el axioma de reducibilidad . Dado que los dos primeros eran axiomas existenciales, Russell formuló los enunciados matemáticos que dependían de ellos como condicionales. Pero la reducibilidad era necesaria para estar seguro de que los enunciados formales incluso expresaban adecuadamente enunciados de análisis real, de modo que los enunciados que dependían de ella no pudieran reformularse como condicionales. Frank Ramsey intentó argumentar que la ramificación de Russell de la teoría de tipos era innecesaria, de modo que se podía eliminar la reducibilidad, pero estos argumentos parecían no concluyentes.
Más allá del estatus de los axiomas como verdades lógicas , uno puede plantearse las siguientes preguntas sobre cualquier sistema como PM:
Se sabía que la lógica proposicional era consistente, pero no se había establecido lo mismo para los axiomas de la teoría de conjuntos de Principia (véase el segundo problema de Hilbert ). Russell y Whitehead sospechaban que el sistema en PM es incompleto: por ejemplo, señalaron que no parece lo suficientemente potente como para demostrar que el cardinal ℵ ω existe. Sin embargo, uno puede preguntarse si alguna extensión recursivamente axiomatizable de él es completa y consistente.
En 1930, el teorema de completitud de Gödel demostró que la lógica de predicados de primer orden era completa en un sentido mucho más débil, es decir, cualquier enunciado que no se pueda demostrar a partir de un conjunto dado de axiomas debe ser falso en algún modelo de los axiomas. Sin embargo, este no es el sentido más fuerte de completitud deseado para Principia Mathematica, ya que un sistema dado de axiomas (como los de Principia Mathematica) puede tener muchos modelos, en algunos de los cuales un enunciado dado es verdadero y en otros de los cuales ese enunciado es falso, de modo que el enunciado queda sin decidir por los axiomas.
Los teoremas de incompletitud de Gödel arrojan una luz inesperada sobre estas dos cuestiones relacionadas.
El primer teorema de incompletitud de Gödel demostró que ninguna extensión recursiva de Principia podía ser consistente y completa para enunciados aritméticos. (Como se mencionó anteriormente, ya se sabía que Principia era incompleto para algunos enunciados no aritméticos). Según el teorema, dentro de cada sistema lógico recursivo suficientemente poderoso (como Principia ), existe un enunciado G que esencialmente dice: "El enunciado G no puede probarse". Tal enunciado es una especie de dilema : si G es demostrable, entonces es falso y, por lo tanto, el sistema es inconsistente; y si G no es demostrable, entonces es verdadero y, por lo tanto, el sistema es incompleto.
El segundo teorema de incompletitud de Gödel (1931) muestra que ningún sistema formal que extienda la aritmética básica puede utilizarse para demostrar su propia consistencia. Por lo tanto, la afirmación "no hay contradicciones en el sistema de Principia " no puede demostrarse en el sistema de Principia a menos que haya contradicciones en el sistema (en cuyo caso puede demostrarse que es verdadera y falsa).
En la segunda edición de PM , Russell había eliminado su axioma de reducibilidad y lo había convertido en un nuevo axioma (aunque no lo enuncia como tal). Gödel 1944:126 lo describe de esta manera:
Este cambio está relacionado con el nuevo axioma de que las funciones pueden aparecer en proposiciones sólo "a través de sus valores", es decir, extensionalmente (...) [esto es] absolutamente inobjetable incluso desde el punto de vista constructivo (...) siempre que los cuantificadores estén siempre restringidos a órdenes definidos". Este cambio de una postura cuasi- intensional a una postura completamente extensional también restringe la lógica de predicados al segundo orden, es decir, funciones de funciones: "Podemos decidir que las matemáticas deben limitarse a funciones de funciones que obedezcan la suposición anterior".
— PM 2da edición pág. 401, Apéndice C
Esta nueva propuesta tuvo un resultado nefasto. Una "postura extensional" y una restricción a una lógica de predicados de segundo orden significa que una función proposicional extendida a todos los individuos como "Todos los 'x' son azules" ahora tiene que enumerar todos los 'x' que satisfacen (son verdaderos en) la proposición, enumerándolos en una conjunción posiblemente infinita: p. ej. x 1 ∧ x 2 ∧ . . . ∧ x n ∧ . . .. Irónicamente, este cambio se produjo como resultado de la crítica de Ludwig Wittgenstein en su Tractatus Logico-Philosophicus de 1919. Como lo describe Russell en la Introducción a la Segunda Edición de PM :
Hay otro camino, recomendado por Wittgenstein† († Tractatus Logico-Philosophicus , *5.54ff) por razones filosóficas. Se trata de suponer que las funciones de las proposiciones son siempre funciones de verdad, y que una función sólo puede darse en una proposición a través de sus valores. (...) [Tratando de analizar las consecuencias] parece que todo lo que se dice en el Vol. I sigue siendo cierto (aunque a menudo se requieren nuevas pruebas); la teoría de los cardinales y ordinales inductivos sobrevive; pero parece que la teoría de las series infinitas dedekindianas y bien ordenadas colapsa en gran medida, de modo que los irracionales, y los números reales en general, ya no pueden tratarse adecuadamente. También la prueba de Cantor de que 2 n > n se desmorona a menos que n sea finito.
— PM 2da edición reimpresa 1962:xiv, cf también nuevo Apéndice C)
En otras palabras, el hecho de que una lista infinita no pueda especificarse de manera realista significa que el concepto de "número" en el sentido infinito (es decir, el continuo) no puede describirse mediante la nueva teoría propuesta en PM Segunda Edición .
Wittgenstein en sus Lecciones sobre los fundamentos de las matemáticas, Cambridge 1939, criticó los Principia por diversos motivos, tales como:
Wittgenstein, sin embargo, reconoció que los Principia podían, no obstante, aclarar algunos aspectos de la aritmética cotidiana.
Gödel ofreció una "discusión crítica pero comprensiva del orden logicista de las ideas" en su artículo de 1944 "La lógica matemática de Russell". [28] Escribió:
Es de lamentar que esta primera presentación completa y exhaustiva de una lógica matemática y la derivación de las matemáticas a partir de ella [sea] tan carente de precisión formal en los fundamentos (contenidos en ✱1–✱21 de Principia [es decir, secciones ✱1–✱5 (lógica proposicional), ✱8–14 (lógica de predicados con identidad/igualdad), ✱20 (introducción a la teoría de conjuntos) y ✱21 (introducción a la teoría de relaciones)]) que representa en este sentido un considerable paso atrás en comparación con Frege. Lo que falta, sobre todo, es una declaración precisa de la sintaxis del formalismo. Se omiten consideraciones sintácticas incluso en los casos en que son necesarias para la coherencia de las pruebas... El asunto es especialmente dudoso en lo que respecta a la regla de sustitución y de reemplazar símbolos definidos por sus definiens ... es principalmente la regla de sustitución la que tendría que ser probada. [16]
Esta sección describe el cálculo proposicional y de predicados y proporciona las propiedades básicas de clases, relaciones y tipos.
Esta parte cubre varias propiedades de las relaciones, especialmente aquellas necesarias para la aritmética cardinal.
Esto cubre la definición y las propiedades básicas de los cardinales. Un cardinal se define como una clase de equivalencia de clases similares (a diferencia de ZFC , donde un cardinal es un tipo especial de ordinal de von Neumann). Cada tipo tiene su propia colección de cardinales asociados a él, y hay una cantidad considerable de contabilidad necesaria para comparar cardinales de diferentes tipos. PM define la adición, la multiplicación y la exponenciación de cardinales, y compara diferentes definiciones de cardinales finitos e infinitos. ✱120.03 es el axioma de infinito.
Un "número de relación" es una clase de equivalencia de relaciones isomorfas. PM define análogos de la suma, la multiplicación y la exponenciación para relaciones arbitrarias. La suma y la multiplicación son similares a la definición habitual de suma y multiplicación de ordinales en ZFC, aunque la definición de exponenciación de relaciones en PM no es equivalente a la que se utiliza habitualmente en ZFC.
Esto cubre las series, que es el término que PM utiliza para referirse a lo que ahora se denomina un conjunto totalmente ordenado. En particular, cubre las series completas, las funciones continuas entre series con la topología de orden (aunque, por supuesto, no utilizan esta terminología), las series bien ordenadas y las series sin "huecos" (aquellas con un miembro estrictamente entre dos miembros dados).
Esta sección construye el anillo de números enteros, los campos de números racionales y reales, y las "familias de vectores", que están relacionadas con lo que ahora se llama torsores sobre grupos abelianos.
En esta sección se compara el sistema de PM con los fundamentos matemáticos habituales de ZFC. El sistema de PM es aproximadamente comparable en fuerza con la teoría de conjuntos de Zermelo (o más precisamente con una versión de esta donde el axioma de separación tiene todos los cuantificadores acotados).
Aparte de las correcciones de errores de imprenta, el texto principal de PM no ha sufrido modificaciones entre la primera y la segunda edición. El texto principal de los volúmenes 1 y 2 ha sido reeditado, de modo que ocupa menos páginas en cada uno de ellos. En la segunda edición, el volumen 3 no ha sido reeditado, sino que se ha reimpreso fotográficamente con la misma numeración de páginas; se han realizado correcciones. El número total de páginas (excluidas las guardas) en la primera edición es de 1.996; en la segunda, de 2.000. El volumen 1 tiene cinco nuevas incorporaciones:
En 1962, Cambridge University Press publicó una edición de bolsillo abreviada que contenía partes de la segunda edición del Volumen 1: la nueva introducción (y la antigua), el texto principal hasta el *56 y los Apéndices A y C.
La primera edición fue reimpresa en 2009 por Merchant Books, ISBN 978-1-60386-182-3 , ISBN 978-1-60386-183-0 , ISBN 978-1-60386-184-7 .
Andrew D. Irvine dice que la PM despertó el interés en la lógica simbólica y avanzó en el tema al popularizarla; mostró los poderes y capacidades de la lógica simbólica; y mostró cómo los avances en la filosofía de las matemáticas y la lógica simbólica podían ir de la mano con una enorme fecundidad. [4] La PM fue en parte provocada por un interés en el logicismo , la visión según la cual todas las verdades matemáticas son verdades lógicas. Aunque imperfecta, la PM sería influyente en varios avances posteriores en metalógica, incluidos los teoremas de incompletitud de Gödel . [ cita requerida ]
La notación lógica en PM no fue ampliamente adoptada, posiblemente porque sus fundamentos a menudo se consideran una forma de teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . [ cita requerida ]
El interés académico, histórico y filosófico en PM es grande y continuo, y los matemáticos continúan trabajando con PM , ya sea por razones históricas de comprensión del texto o sus autores, o para profundizar el conocimiento de las formalizaciones de las matemáticas y la lógica. [ cita requerida ]
La Biblioteca Moderna colocó a PM en el puesto 23 de su lista de los 100 mejores libros de no ficción en idioma inglés del siglo XX. [5]
