Matrices de Weyl-Brauer

Realización matricial del álgebra de Clifford

En matemáticas , particularmente en la teoría de espinores , las matrices de Weyl-Brauer son una realización explícita de un álgebra de Clifford como un álgebra matricial de matrices 2 ^{⌊ n /2⌋} × 2 ^{⌊ n /2⌋} . Generalizan las matrices de Pauli a n dimensiones, y son una construcción específica de matrices gamma de dimensiones superiores . Reciben su nombre de Richard Brauer y Hermann Weyl [ ^1] y fueron una de las primeras construcciones sistemáticas de espinores desde un punto de vista teórico de la representación .

Las matrices se forman tomando productos tensoriales de las matrices de Pauli , y el espacio de espinores en n dimensiones puede entonces realizarse como los vectores columna de tamaño 2 ^{⌊ n /2⌋} sobre los cuales actúan las matrices de Weyl–Brauer.

Construcción

Supongamos que V = R ⁿ es un espacio euclidiano de dimensión n . Existe un marcado contraste en la construcción de las matrices de Weyl-Brauer según si la dimensión n es par o impar.

Sea n = 2 k (o 2 k +1) y supongamos que la forma cuadrática euclidiana en V está dada por

${\displaystyle q_{1}^{2}+\dots +q_{k}^{2}+p_{1}^{2}+\dots +p_{k}^{2}~~(+p_{n}^{2})~,}$

donde ( p _i , q _i ) son las coordenadas estándar en R ⁿ .

Defina las matrices 1 , 1' , P y Q mediante

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathbf {1} }=\sigma _{0}=\left({\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}}\right),&{\mathbf {1} }'=\sigma _{3}=\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}}\right),\\P=\sigma _{1}=\left({\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}}\right),&Q=-\sigma _{2}=\left({\begin{matrix}0&i\\-i&0\end{matrix}}\right)\end{matrix}}}$.

En dimensionalidad par o impar, este procedimiento de cuantificación equivale a reemplazar las coordenadas ordinarias p , q por coordenadas no conmutativas construidas a partir de P , Q de manera adecuada.

Caso par

En el caso en que n = 2 k es par, sea

${\displaystyle P_{i}={\mathbf {1} }'\otimes \dots \otimes {\mathbf {1} }'\otimes P\otimes {\mathbf {1} }\otimes \dots \otimes {\mathbf {1} }}$

${\displaystyle Q_{i}={\mathbf {1} }'\otimes \dots \otimes {\mathbf {1} }'\otimes Q\otimes {\mathbf {1} }\otimes \dots \otimes {\mathbf {1} }}$

para i = 1,2,..., k (donde se considera que P o Q ocupa la posición i -ésima). La operación es el producto tensorial de matrices. Ya no es importante distinguir entre P y Q , por lo que simplemente nos referiremos a todos ellos con el símbolo P y consideraremos que el índice de P _i varía de i = 1 a i = 2 k . Por ejemplo, se cumplen las siguientes propiedades: ${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle P_{i}^{2}=1,i=1,2,...,2k}$, y para todos los pares desiguales i y j . ( Relaciones de Clifford .) ${\displaystyle P_{i}P_{j}=-P_{j}P_{i}}$

Por lo tanto, el álgebra generada por P _i es el álgebra de Clifford del n -espacio euclidiano.

Sea A el álgebra generada por estas matrices. Al contar las dimensiones, A es un álgebra matricial completa de 2 ^k × 2 ^k sobre los números complejos. Por lo tanto, como álgebra matricial, actúa sobre vectores columna de 2 ^k dimensiones (con entradas complejas). Estos vectores columna son los espinores .

Ahora nos ocuparemos de la acción del grupo ortogonal sobre los espinores. Consideremos la aplicación de una transformación ortogonal a las coordenadas, que a su vez actúa sobre P _i a través de

${\displaystyle P_{i}\mapsto R(P)_{i}=\sum _{j}R_{ij}P_{j}}$.

Es decir, . Puesto que las P _i generan A , la acción de esta transformación se extiende a todo A y produce un automorfismo de A . Desde el álgebra lineal elemental, cualquier automorfismo de este tipo debe estar dado por un cambio de base . Por lo tanto, existe una matriz S , que depende de R , tal que ${\displaystyle R\in SO(n)}$

${\displaystyle R(P)_{i}=S(R)P_{i}S(R)^{-1}}$ (1).

En particular, S ( R ) actuará sobre vectores columna (espinores). Al descomponer las rotaciones en productos de reflexiones, se puede escribir una fórmula para S ( R ) de forma muy similar a como se hace en el caso de tres dimensiones.

Hay más de una matriz S ( R ) que produce la acción en (1). La ambigüedad define S ( R ) hasta un factor escalar no evanescente c . Dado que S ( R ) y cS ( R ) definen la misma transformación (1), la acción del grupo ortogonal sobre los espinores no es univaluada, sino que desciende a una acción sobre el espacio proyectivo asociado al espacio de espinores. Esta acción multivaluada se puede agudizar normalizando la constante c de tal manera que (det S ( R )) ² = 1. Para hacer esto, sin embargo, es necesario discutir cómo el espacio de espinores (vectores columna) puede identificarse con su dual (vectores fila).

Para identificar los espinores con sus duales, sea C la matriz definida por

${\displaystyle C=P\otimes Q\otimes P\otimes \dots \otimes Q.}$

Luego, la conjugación por C convierte una matriz P _i en su transpuesta: ^t P _i = CP _i C ⁻¹ . Bajo la acción de una rotación,

${\displaystyle {\hbox{ }}^{t}P_{i}\rightarrow \,^{t}S(R)^{-1}\,^{t}P_{i}\,^{t}S(R)=(CS(R)C^{-1})\,^{t}P_{i}(CS(R)C^{-1})^{-1}}$

de donde C S ( R ) C ⁻¹ = α ^t S ( R ) ⁻¹ para algún escalar α. El factor escalar α se puede hacer igual a uno reescalando S ( R ). Bajo estas circunstancias, (det S ( R )) ² = 1, como se requiere.

En física, la matriz C se interpreta convencionalmente como conjugación de carga .

Espinores de Weyl

Sea U el elemento del álgebra A definida por

${\displaystyle U={\mathbf {1} }'\otimes \dots \otimes {\mathbf {1} }'}$, ( k factores).

Entonces U se conserva bajo rotaciones, por lo que en particular su descomposición en el espacio propio (que necesariamente corresponde a los valores propios +1 y -1, que aparecen en igual número) también se estabiliza mediante rotaciones. En consecuencia, cada espinor admite una descomposición en vectores propios bajo U :

ξ = ξ ⁺ + ξ ⁻

en un espinor de Weyl dextrógiro ξ ⁺ y un espinor de Weyl levógiro ξ ⁻ . Debido a que las rotaciones preservan los espacios propios de U , las rotaciones mismas actúan diagonalmente como matrices S ( R ) ⁺ , S ( R ) ⁻ a través de

( S ( R )ξ) ⁺ = S ⁺ ( R ) ξ ⁺ , y

( S ( R ) ξ ) ⁻ = S ⁻ ( R ) ξ ⁻ .

Sin embargo, esta descomposición no es estable bajo rotaciones impropias (por ejemplo, reflexiones en un hiperplano). Una reflexión en un hiperplano tiene el efecto de intercambiar los dos espacios propios. Por lo tanto, hay dos representaciones de espín irreducibles en dimensiones pares dadas por los espinores de Weyl zurdos y diestros, cada uno de los cuales tiene dimensión 2 ^k-1 . Sin embargo, solo hay una representación de pin irreducible (ver más abajo) debido a la no invariancia de la descomposición del espacio propio anterior bajo rotaciones impropias, y esa tiene dimensión 2 ^k .

Caso extraño

En la cuantificación para un número impar 2 k +1 de dimensiones, las matrices P _i pueden introducirse como anteriormente para i = 1,2,...,2 k , y puede añadirse al sistema la siguiente matriz:

${\displaystyle P_{n}={\mathbf {1} }'\otimes \dots \otimes {\mathbf {1} }'}$, ( k factores),

de modo que las relaciones de Clifford todavía se mantienen. Esta adjunción no tiene efecto sobre el álgebra A de matrices generadas por P _i , ya que en cualquier caso A sigue siendo un álgebra matricial completa de la misma dimensión. Por lo tanto , A , que es un álgebra matricial completa de 2 ^k ×2 ^k , no es el álgebra de Clifford, que es un álgebra de dimensión 2×2 ^k ×2 ^k . Más bien, A es el cociente del álgebra de Clifford por un cierto ideal.

Sin embargo, se puede demostrar que si R es una rotación propia (una transformación ortogonal del determinante uno), entonces la rotación entre las coordenadas

${\displaystyle R(P)_{i}=\sum _{j}R_{ij}P_{j}}$

es nuevamente un automorfismo de A , y por lo tanto induce un cambio de base

${\displaystyle R(P)_{i}=S(R)P_{i}S(R)^{-1}}$

exactamente como en el caso de dimensión par. La representación proyectiva S ( R ) puede normalizarse nuevamente de modo que (det S ( R )) ² = 1. Puede extenderse además a transformaciones ortogonales generales estableciendo S ( R ) = - S (- R ) en caso de que det R = -1 (es decir, si R es una inversión).

En el caso de dimensiones impares no es posible dividir un espinor en un par de espinores de Weyl, y los espinores forman una representación irreducible del grupo de espines. Como en el caso par, es posible identificar espinores con sus duales, pero con una salvedad. La identificación del espacio de espinores con su espacio dual es invariante bajo rotaciones propias , y por lo tanto los dos espacios son espinorialmente equivalentes. Sin embargo, si también se tienen en cuenta las rotaciones impropias , entonces el espacio de espín y su dual no son isomorfos. Por lo tanto, mientras que solo hay una representación de espín en dimensiones impares, hay un par de representaciones de pin no equivalentes . Sin embargo, este hecho no es evidente a partir del enfoque de cuantificación de Weyl, y se ve más fácilmente considerando las representaciones del álgebra de Clifford completa.

Véase también

• Matrices gamma de dimensiones superiores
• Álgebra de Clifford

Notas

1. Brauer, Richard ; Weyl, Hermann (1935). "Espinores en n dimensiones". Soy. J. Matemáticas . 57 : 425–449. doi :10.2307/2371218. JFM  61.1025.06. JSTOR  2371218. Zbl  0011.24401..