Electrodinámica de Weber

La electrodinámica de Weber es una teoría del electromagnetismo que precedió a la electrodinámica de Maxwell y fue reemplazada por ella a fines del siglo XIX. ^[1] La electrodinámica de Weber se basa principalmente en las contribuciones de André-Marie Ampère , Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Eduard Weber . En esta teoría, la ley de Coulomb se vuelve dependiente de la velocidad y la aceleración. La electrodinámica de Weber solo es aplicable para la electrostática, la magnetostática y para la aproximación cuasiestática . La electrodinámica de Weber no es adecuada para describir ondas electromagnéticas ni para calcular las fuerzas entre partículas cargadas eléctricamente que se mueven muy rápidamente o que se aceleran más que insignificantemente.

La característica destacada de la electrodinámica de Weber es que permite describir fuerzas magnéticas entre corrientes continuas, corrientes alternas de baja frecuencia e imanes permanentes sin campo magnético.

Historia

Hacia 1820, André-Marie Ampère realizó numerosos experimentos sistemáticos con corrientes continuas. Finalmente, en 1823, desarrolló la ley de fuerza.

que se puede utilizar para calcular la fuerza que ejerce un elemento de corriente sobre otro elemento de corriente . Aquí, es el vector que apunta desde el elemento de corriente al elemento de corriente . Un elemento de corriente debe interpretarse como un segmento muy corto de la longitud de un conductor con una corriente continua que fluye en la dirección de . ^[2] ${\displaystyle d^{2}\mathbf {F} }$ ${\displaystyle I_{2}\,d\mathbf {s} _{2}}$ ${\displaystyle I_{1}\,d\mathbf {s} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle I_{2}\,d\mathbf {s} _{2}}$ ${\displaystyle I_{1}\,d\mathbf {s} _{1}}$ ${\displaystyle I\,d\mathbf {s} }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$

En 1835, Carl Friedrich Gauss se dio cuenta de que la ley de fuerza de Ampère puede interpretarse mediante una generalización menor de la ley de Coulomb . ^[3] Postuló que la fuerza eléctrica ejercida por una carga puntual sobre otra carga puntual depende no solo de la distancia , sino también de la velocidad relativa : ${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {r} }}_{1}-{\dot {\mathbf {r} }}_{2}}$

Es importante destacar que la ley de fuerza de Gauss es una generalización significativa de la ley de fuerza de Ampere, ya que las cargas puntuales en movimiento no representan corrientes continuas. De hecho, hoy en día la ley de fuerza de Ampere ya no se presenta en su forma original , ya que existen representaciones equivalentes para corrientes continuas como la ley de Biot-Savart en combinación con la ley de fuerza de Lorentz . Este es el punto en el que la electrodinámica de Weber y la electrodinámica de Maxwell toman caminos diferentes, porque James Clerk Maxwell decidió basar su teoría en la ley de Biot-Savart, que originalmente también era válida solo para bucles conductores cerrados. ^[4]

La contribución de Wilhelm Eduard Weber a la electrodinámica de Weber fue que extendió la fórmula de fuerza de Gauss de tal manera que fue posible proporcionar una fórmula para la energía potencial. ^[5] Presentó su fórmula en 1848 que dice

Weber también realizó numerosos experimentos y documentó el estado del conocimiento en ese momento en su importante trabajo. [ 6 ] ^{[ 7] [8]} ${\displaystyle {\dot {r}}}$

La electrodinámica de Weber y la hipótesis de Gauss cayeron gradualmente en el olvido después de la introducción de la corriente de desplazamiento alrededor de 1870, ya que el conjunto completo de ecuaciones de Maxwell permitió describir por primera vez las ondas electromagnéticas.

A partir de 1880, experimentos como el de Michelson-Morley demostraron que las ondas electromagnéticas se propagan a la velocidad de la luz independientemente del estado de movimiento del transmisor o del receptor en el vacío, lo que no es coherente con las predicciones de las ecuaciones de Maxwell, ya que éstas describen la propagación de las ondas en un medio. Para superar este problema, se desarrolló la transformación de Lorentz . Como resultado, se volvió a incorporar de forma modificada la hipótesis de Gauss de que la fuerza eléctrica depende de la velocidad relativa.

Descripción matemática

Fuerza Weber

En la electrodinámica de Weber, la fuerza electromagnética que una carga puntual con trayectoria ejerce sobre otra carga puntual con trayectoria en el tiempo viene dada por la ecuación ^[9] ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}(t)}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}(t)}$ ${\displaystyle t}$

Aquí, es el desplazamiento de con respecto a y es la distancia. Nótese que ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}(t)-\mathbf {r} _{2}(t)}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle r=\Vert \mathbf {r} \Vert }$

es la velocidad radial y

es la aceleración radial. Si se sustituye esto en la fuerza de Weber ( 4 ), se obtiene con y la representación alternativa ${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {a} }$

Se obtiene la ecuación ( 2 ) postulada por Gauss en 1835. ${\displaystyle \mathbf {a} \approx \mathbf {0} }$

Relación entre la energía potencial y la fuerza

Que la energía potencial de Weber ( 3 ) es compatible con la fórmula de fuerza ( 4 ) se puede demostrar mediante la ecuación ( 5 ) y la ecuación que se deduce directamente de las leyes del movimiento de Newton . ^[10] $${\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {\mathbf {r} }{\mathbf {r} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}}}\,{\dot {U}}}$$

Conservación de la energía, momento y momento angular

En la electrodinámica de Weber, la energía, el momento y el momento angular son magnitudes que se conservan . La conservación del momento resulta de la propiedad de la fuerza de Weber de cumplir con la tercera ley de Newton : si se intercambia la fuente y el receptor de la fuerza, solo se altera el signo de la fuerza. La conservación del momento angular es una consecuencia del hecho de que la fuerza de Weber es una fuerza central .

La conservación de la energía en un sistema aislado que consta de sólo dos partículas es fácil de demostrar. La ecuación ( 5 ) da . Esto conduce a La derivada del potencial de Weber ( 3 ) con respecto al tiempo es Una comparación de las dos ecuaciones muestra que es igual a . Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene . Excepto por el signo, el lado derecho corresponde a la derivada temporal de la energía cinética . Esto significa que cada cambio de la energía potencial se compensa exactamente con un cambio de la energía cinética. En consecuencia, la energía total, es decir, la suma de la energía potencial y la energía cinética, debe ser una cantidad conservada. ${\displaystyle \mathbf {r} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}=r\,{\dot {r}}}$ $${\displaystyle \mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}\left(1-{\frac {{\dot {r}}^{2}}{2c^{2}}}+{\frac {r{\ddot {r}}}{c^{2}}}\right).}$$ $${\displaystyle {\dot {U}}={\frac {q_{1}\,q_{2}}{4\,\pi \,\varepsilon _{0}}}\left(-{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}+{\frac {{\dot {r}}^{3}}{2r^{2}c^{2}}}-{\frac {{\dot {r}}{\ddot {r}}}{rc^{2}}}\right)=-{\frac {q_{1}\,q_{2}}{4\,\pi \,\varepsilon _{0}}}{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}\left(1-{\frac {{\dot {r}}^{2}}{2c^{2}}}+{\frac {r{\ddot {r}}}{c^{2}}}\right).}$$ ${\displaystyle {\dot {U}}}$ ${\displaystyle -\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle {\dot {U}}=-m\,{\ddot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}}$

Comparación con la electrodinámica de Maxwell

Fuerza de Lorentz

La electrodinámica de Maxwell y la electrodinámica de Weber son equivalentes para corrientes continuas y velocidades no relativistas, ya que las corrientes continuas sólo pueden fluir en bucles conductores cerrados. Como Maxwell ya demostró hace unos 150 años, en estas condiciones la ley de fuerza de Ampere puede representarse en varias variantes. ^[4]

La electrodinámica de Maxwell sigue un enfoque en dos etapas: primero, asignando un campo magnético a cada elemento de corriente y, segundo, definiendo que la fuerza sobre una carga de prueba que se mueve a la velocidad se puede calcular utilizando la expresión . En la época de Maxwell, la velocidad se interpretaba como la velocidad de la carga de prueba en relación con el medio en el que se propaga el campo magnético. En la electrodinámica de Maxwell, la fuerza de Lorentz es una ley física que no se puede atribuir a una causa o mecanismo. ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

La electrodinámica de Weber, por el contrario, no define un campo magnético ni una fuerza de Lorentz, sino que interpreta la fuerza de una corriente sobre una carga de prueba postulando que un conductor que transporta corriente contiene cargas puntuales positivas y negativas que se mueven a velocidades relativas ligeramente diferentes con respecto a la carga de prueba. Esto, a su vez, produce ligeras deformaciones de la fuerza, de modo que, en función de la velocidad de la carga de prueba, quedan fuerzas residuales que, en suma, corresponden exactamente a la fuerza de Lorentz. ${\displaystyle q}$

Esto significa que la electrodinámica de Weber explica la fuerza de Lorentz mediante el principio de relatividad, aunque sólo para velocidades relativas mucho menores que la velocidad de la luz. La hipótesis de Gauss de 1835 representa, por tanto, una interpretación temprana del magnetismo como efecto relativista. Esta interpretación no está incluida en la electrodinámica de Maxwell.

Ondas electromagnéticas

En el caso de corrientes alternas y cargas puntuales, las diferentes representaciones de la ley de fuerza de Ampere no son equivalentes. Maxwell estaba familiarizado con la electrodinámica de Weber y la mencionó positivamente. ^[11] Sin embargo, decidió basar su teoría en la ley de Biot-Savart generalizándola a casos en los que los bucles conductores contienen discontinuidades. La importancia de la corriente de desplazamiento se hace evidente al estudiar el campo de la fuerza electromagnética que generaría un electrón acelerado sobre una carga de prueba en reposo. Las figuras muestran el campo de un electrón que se acelera al 75 por ciento de la velocidad de la luz en 3 nanosegundos.

Campo de la fuerza electromagnética de una carga puntual negativa acelerada desde la perspectiva de una carga de prueba positiva en reposo en la electrodinámica de Weber.

Campo de la fuerza electromagnética de una carga puntual negativa acelerada desde la perspectiva de una carga de prueba positiva en reposo en la electrodinámica de Maxwell.

En el caso de la fuerza de Weber, se puede reconocer que el campo inicialmente radial se aplana en la dirección del movimiento. Esto representa un efecto que actualmente está asociado con la contracción de Lorentz . Algo similar se puede ver también en el campo calculado mediante las ecuaciones de Maxwell. Pero además, aquí se puede reconocer un frente de onda. También se nota que en la región del frente de onda la fuerza ya no es una fuerza central. Este efecto se conoce como radiación de frenado .

Por tanto, los fenómenos de ondas electromagnéticas no se incluyen en la electrodinámica de Weber. Por este motivo, la electrodinámica de Weber sólo es aplicable en aplicaciones en las que todas las cargas implicadas se mueven de forma lenta y uniforme.

La tercera ley de Newton en la electrodinámica de Maxwell y Weber

En la electrodinámica de Maxwell , la tercera ley de Newton no se cumple para las partículas. En cambio, las partículas ejercen fuerzas sobre los campos electromagnéticos, y los campos ejercen fuerzas sobre las partículas, pero las partículas no ejercen fuerzas directamente sobre otras partículas. Por lo tanto, dos partículas cercanas no siempre experimentan fuerzas iguales y opuestas. En relación con esto, la electrodinámica de Maxwell predice que las leyes de conservación del momento y de conservación del momento angular son válidas solo si se tienen en cuenta el momento de las partículas y el momento de los campos electromagnéticos circundantes. El momento total de todas las partículas no se conserva necesariamente, porque las partículas pueden transferir parte de su momento a los campos electromagnéticos o viceversa. ^[12] El conocido fenómeno de la presión de radiación demuestra que las ondas electromagnéticas son capaces de "empujar" la materia. Consulte el tensor de tensión de Maxwell y el vector de Poynting para obtener más detalles.

La ley de fuerza de Weber es bastante diferente: todas las partículas, independientemente de su tamaño y masa, seguirán exactamente la tercera ley de Newton . Por lo tanto, la electrodinámica de Weber, a diferencia de la electrodinámica de Maxwell, tiene conservación del momento de las partículas y conservación del momento angular de las partículas.

Energía potencial para cargas puntuales en la electrodinámica de Maxwell

En las ecuaciones de Maxwell, la fuerza ejercida sobre una carga por las cargas cercanas se puede calcular combinando las ecuaciones de Jefimenko con la ley de fuerza de Lorentz . La energía potencial correspondiente es aproximadamente: ^[9] ${\displaystyle \mathbf {F} }$

$${\displaystyle U_{\rm {Max}}\approx {\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\left(1-{\frac {\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }{2c^{2}}}-{\frac {(\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {r} )(\mathbf {v_{2}} \cdot \mathbf {r} )}{2r^{2}c^{2}}}\right),}$$donde y son las velocidades de y , respectivamente, y donde los efectos relativistas y de retardo se omiten para simplificar; ver Darwin Lagrangian . ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$

Con estas expresiones se puede derivar la forma regular de la ley de Ampère y la ley de Faraday . Es importante destacar que la electrodinámica de Weber no predice una expresión como la ley de Biot-Savart y comprobar las diferencias entre la ley de Ampère y la ley de Biot-Savart es una forma de comprobar la electrodinámica de Weber. ^[13]

Pruebas experimentales

Limitaciones

Según los conocimientos actuales, la electrodinámica de Weber es una teoría incompleta. La expresión de la energía potencial ( 3 ) sugiere que se trata de una primera parte de una serie de Taylor, es decir, una aproximación que sólo es suficientemente correcta para velocidades pequeñas y aceleraciones muy bajas. El problema, sin embargo, es que la electrodinámica de Weber y la electrodinámica de Maxwell no son equivalentes ni siquiera en estas circunstancias. ^{[9] [13] [14] [15] [16]}

Dado que la electrodinámica de Weber es una aproximación válida únicamente para velocidades y aceleraciones bajas, una comparación experimental con la electrodinámica de Maxwell sólo es razonable si se cumplen estas condiciones y requisitos. En muchos experimentos que refutan la electrodinámica de Weber, estas condiciones no se cumplen. Curiosamente, los experimentos que respetan las limitaciones de la electrodinámica de Weber a menudo muestran una mejor concordancia de la electrodinámica de Weber con los resultados de las mediciones que la electrodinámica de Maxwell. ^{[17] [18] [19]}

Experimentos que no apoyan la electrodinámica de Weber

Pruebas dependientes de la velocidad

El término dependiente de la velocidad en la fuerza de Weber podría hacer que un gas que escapa de un recipiente se cargue eléctricamente. Sin embargo, debido a que los electrones utilizados para establecer estos límites están ligados por Coulomb , los efectos de renormalización pueden cancelar las correcciones dependientes de la velocidad. Otras búsquedas han hecho girar solenoides que transportan corriente , han observado metales a medida que se enfrían y han utilizado superconductores para obtener una gran velocidad de deriva. ^[20] Ninguna de estas búsquedas ha observado ninguna discrepancia con la ley de Coulomb. Observar la carga de los haces de partículas proporciona límites más débiles, pero prueba las correcciones dependientes de la velocidad a las ecuaciones de Maxwell para partículas con velocidades más altas. ^{[21] [22]}

Pruebas dependientes de la aceleración

Hermann von Helmholtz observó que la electrodinámica de Weber predice que las cargas en ciertas configuraciones pueden comportarse como si tuvieran masa inercial negativa . Sin embargo, algunos científicos han cuestionado el argumento de Helmholtz. ^[23] Al medir la frecuencia de oscilación de una lámpara de neón dentro de un conductor esférico polarizado a un alto voltaje, esto se puede comprobar. No se han observado desviaciones significativas de la teoría de Maxwell. ^[15]

Relación con la electrodinámica cuántica

La electrodinámica cuántica (EDQ) es quizás la teoría más rigurosamente probada en física, con predicciones altamente no triviales verificadas con una precisión mejor que 10 partes por mil millones: ver pruebas de precisión de la EQQ . Dado que las ecuaciones de Maxwell pueden derivarse como el límite clásico de las ecuaciones de la EQQ, ^[24] se deduce que si la EQQ es correcta (como creen ampliamente los físicos convencionales), entonces las ecuaciones de Maxwell y la ley de fuerza de Lorentz también son correctas.

Referencias

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3. Gauss, Carl Friedrich (1867). Carl Friedrich Gauss Werke. Banda Fünfter . Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. pag. 617.
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7. Wilhelm Weber (2021). Andre Koch Torres Assis (ed.). Principales obras de Wilhelm Weber en electrodinámica traducidas al inglés. Volumen II: La fuerza fundamental de Weber y la unificación de las leyes de Coulomb, Ampere y Faraday (PDF) . Apeiron Montreal.
8. Wilhelm Weber (2021). Andre Koch Torres Assis (ed.). Principales obras de Wilhelm Weber en electrodinámica traducidas al inglés. Volumen III: Medición de la constante c de Weber, diamagnetismo, la ecuación telegráfica y la propagación de ondas eléctricas a la velocidad de la luz (PDF) . Apeiron Montreal.
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Lectura adicional

• André Koch Torres Assis: La electrodinámica de Weber. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht 1994, ISBN 0-7923-3137-0 .