Electrodinámica weber

La electrodinámica de Weber es una teoría del electromagnetismo que precedió a la electrodinámica de Maxwell y fue reemplazada por esta a finales del siglo XIX. ^[1] La electrodinámica de Weber se basa principalmente en los aportes de André-Marie Ampère , Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Eduard Weber . En esta teoría, la ley de Coulomb depende de la velocidad y la aceleración. La electrodinámica de Weber solo es aplicable para electrostática, magnetostática y para la aproximación cuasiestática . La electrodinámica de Weber no es adecuada para describir ondas electromagnéticas ni para calcular las fuerzas entre partículas cargadas eléctricamente que se mueven muy rápidamente o que tienen una aceleración más que insignificante.

La característica sobresaliente de la electrodinámica de Weber es que permite describir fuerzas magnéticas entre corrientes continuas, corrientes alternas de baja frecuencia e imanes permanentes sin campo magnético.

Historia

Hacia 1820, André-Marie Ampère llevó a cabo numerosos experimentos sistemáticos con corrientes continuas. Finalmente, en 1823 desarrolló la ley de la fuerza.

que se puede utilizar para calcular la fuerza que un elemento actual ejerce sobre otro elemento actual . Aquí está el vector que apunta desde el elemento actual al elemento actual . Un elemento actual debe interpretarse como un segmento muy corto de la longitud de un conductor por el que fluye una corriente continua en la dirección de . ^[2] ${\displaystyle d^{2}\mathbf {F} }$ ${\displaystyle I_{2}\,d\mathbf {s} _{2}}$ ${\displaystyle I_{1}\,d\mathbf {s} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle I_{2}\,d\mathbf {s} _{2}}$ ${\displaystyle I_{1}\,d\mathbf {s} _{1}}$ ${\displaystyle I\,d\mathbf {s} }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$

En 1835, Carl Friedrich Gauss se dio cuenta de que la ley de fuerza de Ampère puede interpretarse mediante una generalización menor de la ley de Coulomb . ^[3] Postuló que la fuerza eléctrica ejercida por una carga puntual sobre otra carga puntual depende no sólo de la distancia , sino también de la velocidad relativa : ${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {r} }}_{1}-{\dot {\mathbf {r} }}_{2}}$

Es importante destacar que la ley de fuerza de Gauss es una generalización significativa de la ley de fuerza de Ampere, ya que las cargas puntuales en movimiento no representan corrientes continuas. De hecho, hoy en día la ley de fuerzas de Ampère ya no se presenta en su forma original , pues existen representaciones equivalentes para corrientes continuas como la ley de Biot-Savart en combinación con la fuerza de Lorentz . Aquí es donde la electrodinámica de Weber y la electrodinámica de Maxwell toman caminos diferentes, porque James Clerk Maxwell decidió basar su teoría en la ley de Biot-Savart, que originalmente sólo era válida para bucles conductores cerrados. ^[4]

La contribución de Wilhelm Eduard Weber a la electrodinámica de Weber fue que amplió la fórmula de la fuerza de Gauss de tal manera que fue posible proporcionar una fórmula para la energía potencial. ^[5] Presentó su fórmula en 1848 que dice

siendo la velocidad radial . Weber también llevó a cabo numerosos experimentos y documentó en su importante obra el estado de los conocimientos de aquella época. ^{[6] [7] [8]} ${\displaystyle {\dot {r}}}$

La electrodinámica de Weber y la hipótesis de Gauss cayeron gradualmente en el olvido después de la introducción de la corriente de desplazamiento alrededor de 1870, ya que el conjunto completo de ecuaciones de Maxwell permitió describir por primera vez las ondas electromagnéticas.

Alrededor de 1880, experimentos como el de Michelson-Morley demostraron que las ondas electromagnéticas se propagan a la velocidad de la luz independientemente del estado de movimiento del transmisor o del receptor en el vacío, lo que no concuerda con las predicciones de las ecuaciones de Maxwell, ya que estas describir la propagación de ondas en un medio. Para superar este problema, se desarrolló la transformación de Lorentz . Como resultado, la hipótesis de Gauss de que la fuerza eléctrica depende de la velocidad relativa se volvió a agregar en una forma modificada.

Descripción matemática

fuerza weberiana

En electrodinámica de Weber, la fuerza electromagnética que una carga puntual con trayectoria ejerce sobre otra carga puntual con trayectoria en el tiempo viene dada por la ecuación ^[9] ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}(t)}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}(t)}$ ${\displaystyle t}$

Aquí, es el desplazamiento relativo a y es la distancia. Tenga en cuenta que ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}(t)-\mathbf {r} _{2}(t)}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle r=\Vert \mathbf {r} \Vert }$

es la velocidad radial y

es la aceleración radial. Si se sustituye esto en la fuerza de Weber ( 4 ), se obtiene con y la representación alternativa ${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {a} }$

Porque se obtiene la ecuación ( 2 ) postulada por Gauss en 1835. ${\displaystyle \mathbf {a} \approx \mathbf {0} }$

Vínculo entre energía potencial y fuerza.

Que la energía potencial de Weber ( 3 ) es compatible con la fórmula de fuerza ( 4 ) se puede demostrar mediante la ecuación ( 5 ) y la ecuación que se deriva directamente de las leyes del movimiento de Newton . ^[10] $${\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {\mathbf {r} }{\mathbf {r} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}}}\,{\dot {U}}}$$

Conservación de energía, momento y momento angular.

En la electrodinámica de Weber, la energía, el momento y el momento angular son cantidades conservadas . La conservación del impulso resulta de la propiedad de la fuerza de Weber de cumplir con la tercera ley de Newton : si se intercambia fuente y receptor de la fuerza, sólo se altera el signo de la fuerza. La conservación del momento angular es consecuencia de que la fuerza de Weber es una fuerza central .

La conservación de la energía en un sistema aislado formado por sólo dos partículas es fácil de demostrar. La ecuación ( 5 ) da . Esto lleva a La derivada del potencial de Weber ( 3 ) con respecto al tiempo es Una comparación de las dos ecuaciones muestra que es igual . Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene . Excepto el signo, el lado derecho corresponde a la derivada temporal de la energía cinética . Esto significa que cada cambio de energía potencial se compensa exactamente con un cambio de energía cinética. En consecuencia, la energía total, es decir, la suma de la energía potencial y la energía cinética, debe ser una cantidad conservada. ${\displaystyle \mathbf {r} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}=r\,{\dot {r}}}$ $${\displaystyle \mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}\left(1-{\frac {{\dot {r}}^{2}}{2c^{2}}}+{\frac {r{\ddot {r}}}{c^{2}}}\right).}$$ $${\displaystyle {\dot {U}}={\frac {q_{1}\,q_{2}}{4\,\pi \,\varepsilon _{0}}}\left(-{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}+{\frac {{\dot {r}}^{3}}{2r^{2}c^{2}}}-{\frac {{\dot {r}}{\ddot {r}}}{rc^{2}}}\right)=-{\frac {q_{1}\,q_{2}}{4\,\pi \,\varepsilon _{0}}}{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}\left(1-{\frac {{\dot {r}}^{2}}{2c^{2}}}+{\frac {r{\ddot {r}}}{c^{2}}}\right).}$$ ${\displaystyle {\dot {U}}}$ ${\displaystyle -\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle {\dot {U}}=-m\,{\ddot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}}$

Comparación con la electrodinámica de Maxwell

fuerza de lorentz

La electrodinámica de Maxwell y la electrodinámica de Weber son equivalentes para corrientes continuas y velocidades no relativistas, ya que las corrientes continuas sólo pueden fluir en bucles conductores cerrados. Como ya demostró Maxwell hace unos 150 años, en estas condiciones la ley de la fuerza en amperios se puede representar con varias variantes. ^[4]

La electrodinámica de Maxwell sigue un enfoque de dos etapas: en primer lugar, asigna un campo magnético a cada elemento actual y, en segundo lugar, define que la fuerza sobre una carga de prueba que se mueve a esa velocidad se puede calcular utilizando la expresión . En la época de Maxwell, la velocidad se interpretaba como la velocidad de la carga de prueba en relación con el medio en el que se propaga el campo magnético. En la electrodinámica de Maxwell, la fuerza de Lorentz es una ley física que no puede atribuirse a una causa o mecanismo. ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

La electrodinámica de Weber, por otro lado, no define un campo magnético o una fuerza de Lorentz, pero interpreta la fuerza de una corriente sobre una carga de prueba postulando que un conductor que transporta corriente contiene cargas puntuales negativas y positivas que se mueven a velocidades relativas ligeramente diferentes. velocidades con respecto a la carga de prueba. Esto produce a su vez ligeras deformaciones de la fuerza, de modo que, dependiendo de la velocidad de la carga de prueba, quedan fuerzas residuales. En resumen, corresponden exactamente a la fuerza de Lorentz. ${\displaystyle q}$

Esto significa que la electrodinámica de Weber explica la fuerza de Lorentz mediante el principio de la relatividad, aunque sólo para velocidades relativas mucho menores que la velocidad de la luz. Por tanto, la hipótesis de Gauss de 1835 representa ya una interpretación temprana del magnetismo como efecto relativista. Esta interpretación no está incluida en la electrodinámica de Maxwell.

Ondas electromagnéticas

Para corrientes alternas y cargas puntuales, las diferentes representaciones de la ley de fuerza de Ampere no son equivalentes. Maxwell conocía la electrodinámica de Weber y la valoró positivamente. ^[11] Sin embargo, decidió construir su teoría sobre la ley de Biot-Savart generalizándola a los casos en los que los bucles conductores contienen discontinuidades. La importancia de la corriente de desplazamiento queda clara al estudiar el campo de la fuerza electromagnética que generaría un electrón acelerado sobre una carga de prueba en reposo. Las figuras muestran el campo de un electrón que se acelera al 75 por ciento de la velocidad de la luz en 3 nanosegundos.

Campo de la fuerza electromagnética de una carga puntual negativa acelerada desde la perspectiva de una carga de prueba positiva en reposo en electrodinámica Weber.

Campo de la fuerza electromagnética de una carga puntual negativa acelerada desde la perspectiva de una carga de prueba positiva en reposo en electrodinámica de Maxwell.

En el caso de la fuerza de Weber se puede observar que el campo inicialmente radial se aplana en la dirección del movimiento. Esto representa un efecto que actualmente está asociado con la contracción de Lorentz . Algo similar también se puede observar en el campo calculado mediante las ecuaciones de Maxwell. Pero aquí también se puede reconocer un frente de onda. También se puede observar que en la zona del frente de onda la fuerza ya no es una fuerza central. Este efecto se conoce como bremsstrahlung .

Por tanto, los fenómenos de ondas electromagnéticas no están incluidos en la electrodinámica de Weber. Por esta razón, la electrodinámica de Weber sólo es aplicable en aplicaciones en las que todas las cargas involucradas se mueven lenta y uniformemente.

Tercera ley de Newton en electrodinámica de Maxwell y Weber

En electrodinámica de Maxwell , la tercera ley de Newton no se cumple para las partículas. En cambio, las partículas ejercen fuerzas sobre los campos electromagnéticos y los campos ejercen fuerzas sobre las partículas, pero las partículas no ejercen fuerzas directamente sobre otras partículas. Por tanto, dos partículas cercanas no siempre experimentan fuerzas iguales y opuestas. En relación con esto, la electrodinámica de Maxwell predice que las leyes de conservación del momento y de conservación del momento angular son válidas sólo si se tienen en cuenta el momento de las partículas y el momento de los campos electromagnéticos circundantes. El momento total de todas las partículas no necesariamente se conserva, porque las partículas pueden transferir parte de su momento a campos electromagnéticos o viceversa. ^[12] El conocido fenómeno de la presión de radiación demuestra que las ondas electromagnéticas son capaces de "empujar" la materia. Consulte Tensor de tensión de Maxwell y Vector de Poynting para obtener más detalles.

La ley de fuerza de Weber es bastante diferente: todas las partículas, independientemente de su tamaño y masa, seguirán exactamente la tercera ley de Newton . Por lo tanto, la electrodinámica de Weber, a diferencia de la electrodinámica de Maxwell, tiene conservación del momento de las partículas y conservación del momento angular de las partículas.

Energía potencial para cargas puntuales en electrodinámica de Maxwell.

En las ecuaciones de Maxwell, la fuerza sobre una carga procedente de cargas cercanas se puede calcular combinando las ecuaciones de Jefimenko con la ley de fuerza de Lorentz . La energía potencial correspondiente es aproximadamente: ^[9] ${\displaystyle \mathbf {F} }$

$${\displaystyle U_{\rm {Max}}\approx {\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\left(1-{\frac {\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }{2c^{2}}}-{\frac {(\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {r} )(\mathbf {v_{2}} \cdot \mathbf {r} )}{2r^{2}c^{2}}}\right),}$$donde y son las velocidades de y , respectivamente, y donde los efectos relativistas y de retardo se omiten por simplicidad; véase Darwin Lagrangiano . ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$

Utilizando estas expresiones, se puede derivar la forma regular de la ley de Ampère y la ley de Faraday . Es importante destacar que la electrodinámica de Weber no predice una expresión como la ley de Biot-Savart y probar las diferencias entre la ley de Ampere y la ley de Biot-Savart es una forma de probar la electrodinámica de Weber. ^[13]

Pruebas experimentales

Limitaciones

Según los conocimientos actuales, la electrodinámica de Weber es una teoría incompleta. La expresión de la energía potencial ( 3 ) sugiere que se trata de una primera parte de una serie de Taylor, es decir, una aproximación que sólo es suficientemente correcta para velocidades pequeñas y aceleraciones muy pequeñas. Sin embargo, lo problemático es que la electrodinámica de Weber y la electrodinámica de Maxwell no son equivalentes ni siquiera en estas circunstancias. ^{[9] [13] [14] [15] [16]}

Dado que la electrodinámica de Weber es una aproximación válida sólo para velocidades y aceleraciones bajas, una comparación experimental con la electrodinámica de Maxwell sólo es razonable si se cumplen estas condiciones y requisitos. En muchos experimentos que refutan la electrodinámica de Weber, estas condiciones no se cumplen. Curiosamente, los experimentos que respetan las limitaciones de la electrodinámica de Weber a menudo muestran una mejor concordancia de la electrodinámica de Weber con los resultados de las mediciones que la electrodinámica de Maxwell. ^{[17] [18] [19]}

Experimentos que no apoyan la electrodinámica de Weber

Pruebas dependientes de la velocidad

El término dependiente de la velocidad en la fuerza de Weber podría causar que un gas que se escapa de un recipiente se cargue eléctricamente. Sin embargo, debido a que los electrones utilizados para establecer estos límites están unidos a Coulomb , los efectos de renormalización pueden cancelar las correcciones dependientes de la velocidad. Otras búsquedas han hecho girar solenoides portadores de corriente , observaron metales a medida que se enfriaban y utilizaron superconductores para obtener una gran velocidad de deriva. ^[20] Ninguna de estas búsquedas ha observado ninguna discrepancia con la ley de Coulomb. La observación de la carga de los haces de partículas proporciona límites más débiles, pero prueba las correcciones dependientes de la velocidad de las ecuaciones de Maxwell para partículas con velocidades más altas. ^{[21] [22]}

Pruebas dependientes de la aceleración

Hermann von Helmholtz observó que la electrodinámica de Weber predice que las cargas en determinadas configuraciones pueden comportarse como si tuvieran masa inercial negativa . Sin embargo, algunos científicos han cuestionado el argumento de Helmholtz. ^[23] Esto se puede comprobar midiendo la frecuencia de oscilación de una lámpara de neón dentro de un conductor esférico polarizado a un alto voltaje. No se han observado desviaciones significativas de la teoría de Maxwell. ^[15]

Relación con la electrodinámica cuántica

La electrodinámica cuántica (QED) es quizás la teoría más rigurosamente probada en física, con predicciones muy no triviales verificadas con una precisión superior a 10 partes por mil millones: consulte las pruebas de precisión de QED . Dado que las ecuaciones de Maxwell pueden derivarse como el límite clásico de las ecuaciones de QED, ^[24] se deduce que si QED es correcta (como creen ampliamente los físicos convencionales), entonces las ecuaciones de Maxwell y la ley de fuerza de Lorentz también son correctas.

Referencias

1. Baumgartel, C; S Maher (2022). "Fundamentos del electromagnetismo: una revisión de la ley de la fuerza electrodinámica de Wilhelm Weber". Fundaciones . 2 (4): 949–980. doi : 10.3390/fundamentos2040065 .
2. Assis, André Koch Torres; Chaib, JPM C; Ampère, André-Marie (2015). Electrodinámica de Ampère: análisis del significado y evolución de la fuerza de Ampère entre elementos actuales, junto con una traducción completa de su obra maestra: Teoría de los fenómenos electrodinámicos, únicamente deducida de la experiencia (PDF) . Montreal: Apeiron. pag. 29.ISBN​ 978-1-987980-03-5.
3. Gauss, Carl Friedrich (1867). Carl Friedrich Gauss Werke. Banda Fünfter . Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. pag. 617.
4. Maxwell, James Clerk (1881). Tratado sobre Electricidad y Magnetismo . vol. 2 (2 ed.). Oxdord. pag. 162.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
5. W. Weber (1893). Werke de Wilhelm Weber (Banda 3). Galvanismo y electrodinámica. Erster Teil. Königliche Gesellschaft zu Göttingen. págs. 244 y 245.
6. Wilhelm Weber (2021). André Koch Torres Assis (ed.). Principales obras de Wilhelm Weber en electrodinámica traducidas al inglés. Volumen I: Sistema absoluto de unidades de Gauss y Weber (PDF) . Apeiron Montreal.
7. Wilhelm Weber (2021). André Koch Torres Assis (ed.). Principales obras de Wilhelm Weber en electrodinámica traducidas al inglés. Volumen II: La fuerza fundamental de Weber y la unificación de las leyes de Coulomb, Ampere y Faraday (PDF) . Apeiron Montreal.
8. Wilhelm Weber (2021). André Koch Torres Assis (ed.). Principales obras de Wilhelm Weber en electrodinámica traducidas al inglés. Volumen III: Medición de la constante c de Weber, diamagnetismo, ecuación telegráfica y propagación de ondas eléctricas a la velocidad de la luz (PDF) . Apeiron Montreal.
9. Assis, AKT; HT Silva (septiembre de 2000). "Comparación entre la electrodinámica de Weber y la electrodinámica clásica". Pramana . 55 (3): 393–404. Código bibliográfico : 2000Prama..55..393A. doi :10.1007/s12043-000-0069-2. S2CID  14848996.
10. Kühn, Steffen (2023). "La importancia de la electrodinámica Weber-Maxwell en ingeniería eléctrica". Transacciones IEEE sobre antenas y propagación . 71 (8): 6698–6706. Código Bib : 2023ITAP...71.6698K. doi :10.1109/TAP.2023.3278078.
11. Baumgärtel, Christof (2022). Aspectos de la electrodinámica Weber (PDF) (tesis doctoral). Universidad de Liverpool.
12. Página, Leigh; Adams, normando I. (1945). "Acción y reacción entre cargas en movimiento". Revista Estadounidense de Física . 13 (3): 141-147. Código bibliográfico : 1945AmJPh..13..141P. doi :10.1119/1.1990689.
13. Assis, AKT; JJ Caluzi (1991). "Una limitación de la ley de Weber". Letras de Física A. 160 (1): 25–30. Código bibliográfico : 1991PhLA..160...25A. doi :10.1016/0375-9601(91)90200-R.
14. Wesley, JP (1990). "Electrodinámica de Weber, parte I. teoría general, efectos de la corriente estacionaria". Fundamentos de Letras de Física . 3 (5): 443–469. Código bibliográfico : 1990FoPhL...3..443W. doi :10.1007/BF00665929. S2CID  122235702.
15. Junginger, JE; ZD Popovic (2004). "Una investigación experimental de la influencia de un potencial electrostático en la masa del electrón según lo predicho por la ley de fuerza de Weber". Poder. J. Física . 82 (9): 731–735. Código Bib : 2004CaJPh..82..731J. doi :10.1139/p04-046.
16. Y Kinzer; J. Fukai (1996). "La fuerza de Weber y las ecuaciones de Maxwell". Encontró. Física. Lett . 9 (5): 457. Código bibliográfico : 1996FoPhL...9..457K. doi :10.1007/BF02190049. S2CID  121825743.
17. Peter Graneau (1982). "Propulsión a chorro electromagnética en la dirección del flujo de corriente". Naturaleza . 295 (5847): 311–312. Código Bib :1982Natur.295..311G. doi :10.1038/295311a0.
18. Christof Baumgärtel; Ray T. Smith; Simón Maher (2020). "Predecir con precisión las desviaciones del haz de electrones en los campos marginales de un solenoide". Informes científicos . 10 (1): 2045–2322. Código Bib : 2020NatSR..1010903B. doi :10.1038/s41598-020-67596-0. PMC 7331722 . 
19. Steffen Kühn (2021). "Investigación experimental de un efecto de inducción inusual y su interpretación como consecuencia necesaria de la electrodinámica de Weber". Revista de Ingeniería Eléctrica . 72 (6): 366–373. Código Bib : 2021JEE....72..366K. doi : 10.2478/jee-2021-0052.
20. Limón, DK; WF Edwards; CS Kenyon (1992). "Potenciales eléctricos asociados a corrientes estacionarias en bobinas superconductoras". Letras de Física A. 162 (2): 105-114. Código bibliográfico : 1992PhLA..162..105L. doi :10.1016/0375-9601(92)90985-U.
21. Walz, DR; HR Noyes (abril de 1984). "Prueba calorimétrica de relatividad especial". Revisión física A. 29 (1): 2110–2114. Código bibliográfico : 1984PhRvA..29.2110W. doi :10.1103/PhysRevA.29.2110. OSTI  1446354.
22. Bartlett, DF; Barrio BFL (15 de diciembre de 1997). "¿La carga de un electrón es independiente de su velocidad?". Revisión física D. 16 (12): 3453–3458. Código bibliográfico : 1977PhRvD..16.3453B. doi :10.1103/physrevd.16.3453.
23. JJ Caluzi; AKT Asistencia (1997). "Un análisis crítico del argumento de Helmholtz contra la electrodinámica de Weber". Fundamentos de la Física . 27 (10): 1445-1452. Código bibliográfico : 1997FoPh...27.1445C. doi :10.1007/BF02551521. S2CID  53471560.
24. Peskin, M.; Schroeder, D. (1995). Una introducción a la teoría cuántica de campos. Prensa de Westview. ISBN 0-201-50397-2 . Sección 4.1. 

Lectura adicional

• André Koch Torres Assis: la electrodinámica de Weber. Kluwer Acad. Publicado, Dordrecht 1994, ISBN 0-7923-3137-0 .