Función Walsh

Matriz de Hadamard ordenada natural (matriz del medio) de orden 16 que está ordenada secuencialmente para generar una matriz de Walsh (matriz de la derecha).
Ambas contienen las 16 funciones de Walsh de orden 16 como filas (y columnas).
En la matriz de la derecha, el número de cambios de signo por fila es consecutivo.

En matemáticas , más específicamente en análisis armónico , las funciones de Walsh forman un conjunto ortogonal completo de funciones que se pueden usar para representar cualquier función discreta, al igual que las funciones trigonométricas se pueden usar para representar cualquier función continua en el análisis de Fourier . ^[1] Por lo tanto, se pueden ver como una contraparte digital discreta del sistema analógico continuo de funciones trigonométricas en el intervalo unitario . Pero a diferencia de las funciones seno y coseno , que son continuas, las funciones de Walsh son constantes por partes . Toman los valores −1 y +1 solo, en subintervalos definidos por fracciones diádicas .

El sistema de funciones de Walsh se conoce como sistema Walsh . Es una extensión del sistema de funciones ortogonales de Rademacher. ^[2]

Las funciones de Walsh, el sistema de Walsh, la serie de Walsh ^[3] y la transformada rápida de Walsh-Hadamard deben su nombre al matemático estadounidense Joseph L. Walsh . Tienen diversas aplicaciones en física e ingeniería al analizar señales digitales .

Históricamente se han utilizado diversas numeraciones de las funciones de Walsh, pero ninguna de ellas es particularmente superior a las demás. En este artículo se utiliza la numeración de Walsh-Paley .

Definición

Definimos la secuencia de funciones de Walsh , de la siguiente manera. ${\displaystyle W_{k}:[0,1]\rightarrow \{-1,1\}}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

Para cualquier número natural k , y número real , sea ${\displaystyle x\in [0,1]}$

${\displaystyle k_{j}}$sea ​​el j -ésimo bit en la representación binaria de k , comenzando con como el bit menos significativo, y ${\displaystyle k_{0}}$

${\displaystyle x_{j}}$sea ​​el j -ésimo bit en la representación binaria fraccionaria de , comenzando con como el bit fraccionario más significativo. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{1}}$

Entonces, por definición

${\displaystyle W_{k}(x)=(-1)^{\sum _{j=0}^{\infty }k_{j}x_{j+1}}}$

En particular, en todas partes del intervalo, ya que todos los bits de k son cero. ${\displaystyle W_{0}(x)=1}$

Nótese que es precisamente la función de Rademacher r _m . Por lo tanto, el sistema de Rademacher es un subsistema del sistema de Walsh. Además, cada función de Walsh es un producto de funciones de Rademacher: ${\displaystyle W_{2^{m}}}$

${\displaystyle W_{k}(x)=\prod _{j=0}^{\infty }r_{j}(x)^{k_{j}}}$

Comparación entre funciones de Walsh y funciones trigonométricas

Las funciones de Walsh y las funciones trigonométricas son sistemas que forman un conjunto completo y ortonormal de funciones, una base ortonormal en el espacio de Hilbert de las funciones integrables al cuadrado en el intervalo unitario. Ambos son sistemas de funciones acotadas , a diferencia, por ejemplo, del sistema de Haar o del sistema de Franklin. ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$

Tanto el sistema trigonométrico como el de Walsh admiten una extensión natural por periodicidad desde el intervalo unitario hasta la recta real . Además, tanto el análisis de Fourier sobre el intervalo unitario ( serie de Fourier ) como sobre la recta real ( transformada de Fourier ) tienen sus contrapartes digitales definidas mediante el sistema de Walsh, la serie de Walsh análoga a la serie de Fourier, y la transformada de Hadamard análoga a la transformada de Fourier.

Propiedades

El sistema de Walsh es un grupo discreto multiplicativo abeliano isomorfo a , el dual de Pontryagin del grupo de Cantor . Su identidad es , y cada elemento es de orden dos (es decir, autoinverso). ${\displaystyle \{W_{k}\},k\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \coprod _{n=0}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle W_{0}}$

El sistema de Walsh es una base ortonormal del espacio de Hilbert . Ortonormalidad significa ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}W_{k}(x)W_{l}(x)dx=\delta _{kl}}$,

y ser una base significa que si, para cada , establecemos entonces ${\displaystyle f\in L^{2}[0,1]}$ ${\displaystyle f_{k}=\int _{0}^{1}f(x)W_{k}(x)dx}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}(f(x)-\sum _{k=0}^{N}f_{k}W_{k}(x))^{2}dx\;\ {\xrightarrow[{N\rightarrow \infty }]{}}\;\ 0}$

Resulta que para cada , la serie converge a para casi cada . ${\displaystyle f\in L^{2}[0,1]}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }f_{k}W_{k}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$

El sistema Walsh (en numeración Walsh-Paley) forma una base de Schauder en ,   . Nótese que, a diferencia del sistema Haar , y al igual que el sistema trigonométrico, esta base no es incondicional , ni el sistema es una base de Schauder en . ${\displaystyle L^{p}[0,1]}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle L^{1}[0,1]}$

Generalizaciones

Sistemas Walsh-Ferleger

Sea el grupo compacto de Cantor dotado de medida de Haar y sea su grupo discreto de caracteres . Los elementos de se identifican fácilmente con las funciones de Walsh. Por supuesto, los caracteres se definen en mientras que las funciones de Walsh se definen en el intervalo unitario, pero como existe un isomorfismo módulo cero entre estos espacios de medida , las funciones medibles en ellos se identifican mediante isometría . ${\displaystyle \mathbb {D} =\prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {D} }}=\coprod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {D} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$

Entonces la teoría de la representación básica sugiere la siguiente generalización amplia del concepto de sistema de Walsh .

Para un espacio de Banach arbitrario, sea una acción fiel , fuertemente continua y uniformemente acotada de sobre X. Para cada , considere su espacio propio . Entonces X es el espacio lineal cerrado de los espacios propios: . Suponga que cada espacio propio es unidimensional y elija un elemento tal que . Entonces el sistema , o el mismo sistema en la numeración de Walsh-Paley de los caracteres se llama sistema de Walsh generalizado asociado con la acción . El sistema clásico de Walsh se convierte en un caso especial, es decir, para ${\displaystyle (X,||\cdot ||)}$ ${\displaystyle \{R_{t}\}_{t\in \mathbb {D} }\subset \operatorname {Aut} X}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \gamma \in {\hat {\mathbb {D} }}}$ ${\displaystyle X_{\gamma }=\{x\in X:R_{t}x=\gamma (t)x\}}$ ${\displaystyle X={\overline {\operatorname {Span} }}(X_{\gamma },\gamma \in {\hat {\mathbb {D} }})}$ ${\displaystyle w_{\gamma }\in X_{\gamma }}$ ${\displaystyle \|w_{\gamma }\|=1}$ ${\displaystyle \{w_{\gamma }\}_{\gamma \in {\hat {\mathbb {D} }}}}$ ${\displaystyle \{w_{k}\}_{k\in {\mathbb {N} }_{0}}}$ ${\displaystyle \{R_{t}\}_{t\in \mathbb {D} }}$

${\displaystyle R_{t}:x=\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}2^{-j}\mapsto \sum _{j=1}^{\infty }(x_{j}\oplus t_{j})2^{-j}}$

¿Dónde está la suma módulo 2? ${\displaystyle \oplus }$

A principios de la década de 1990, Serge Ferleger y Fyodor Sukochev demostraron que en una amplia clase de espacios de Banach (los llamados espacios UMD ^[4] ) los sistemas de Walsh generalizados tienen muchas propiedades similares al clásico: forman una base de Schauder ^[5] y una descomposición finito-dimensional uniforme ^[6] en el espacio, tienen la propiedad de convergencia aleatoria incondicional. ^[7] Un ejemplo importante de sistema de Walsh generalizado es el sistema de Walsh fermiónico en espacios L ^p no conmutativos asociados con un factor hiperfinito de tipo II .

Sistema de fermiones de Walsh

El sistema fermiónico de Walsh es un análogo no conmutativo o "cuántico" del sistema clásico de Walsh. A diferencia de este último, consta de operadores, no de funciones. Sin embargo, ambos sistemas comparten muchas propiedades importantes, por ejemplo, ambos forman una base ortonormal en el espacio de Hilbert correspondiente, o una base de Schauder en espacios simétricos correspondientes. Los elementos del sistema fermiónico de Walsh se denominan operadores de Walsh .

El término Fermión en el nombre del sistema se explica por el hecho de que el espacio de operadores envolvente, el llamado factor hiperfinito de tipo II , puede verse como el espacio de observables del sistema de un número infinito numerable de fermiones de espín distintos . Cada operador de Rademacher actúa solo sobre una coordenada de fermión particular, y allí es una matriz de Pauli . Puede identificarse con el observable que mide el componente de espín de ese fermión a lo largo de uno de los ejes en el espacio de espín. Por lo tanto, un operador de Walsh mide el espín de un subconjunto de fermiones, cada uno a lo largo de su propio eje. ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle \{x,y,z\}}$

Sistema Vilenkin

Fijemos una secuencia de números enteros con y dotada de la topología del producto y la medida de Haar normalizada. Definamos y . Cada uno puede asociarse con el número real ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},...)}$ ${\displaystyle \alpha _{k}\geq 2,k=1,2,\dots }$ ${\displaystyle \mathbb {G} =\mathbb {G} _{\alpha }=\prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /\alpha _{k}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle A_{0}=1}$ ${\displaystyle A_{k}=\alpha _{1}\alpha _{2}\dots \alpha _{k-1}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {G} }$

${\displaystyle \left|x\right|=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x_{k}}{A_{k}}}\in \left[0,1\right].}$

Esta correspondencia es un isomorfismo de módulo cero entre y el intervalo unitario. También define una norma que genera la topología de . Para , sea donde ${\displaystyle \mathbb {G} }$ ${\displaystyle \mathbb {G} }$ ${\displaystyle k=1,2,\dots }$ ${\displaystyle \rho _{k}:\mathbb {G} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \rho _{k}(x)=\exp \left(i{\frac {2\pi x_{k}}{\alpha _{k}}}\right)=\cos \left({\frac {2\pi x_{k}}{\alpha _{k}}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi x_{k}}{\alpha _{k}}}\right).}$

El conjunto se denomina sistema generalizado de Rademacher . El sistema de Vilenkin es el grupo de caracteres ( complejos ) de , que son todos productos finitos de . Para cada entero no negativo existe una secuencia única tal que y ${\displaystyle \{\rho _{k}\}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {G} }}=\coprod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /\alpha _{k}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {G} }$ ${\displaystyle \{\rho _{k}\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n_{0},n_{1},\dots }$ ${\displaystyle 0\leq n_{k}<\alpha _{k+1},k=0,1,2,\dots }$

${\displaystyle n=\sum _{k=0}^{\infty }n_{k}A_{k}.}$

Entonces, ¿dónde? ${\displaystyle {\hat {\mathbb {G} }}={\chi _{n}|n=0,1,\dots }}$

${\displaystyle \chi _{n}=\sum _{k=0}^{\infty }\rho _{k+1}^{n_{k}}.}$

En particular, si , entonces es el grupo de Cantor y es el sistema de Walsh-Paley (de valor real). ${\displaystyle \alpha _{k}=2,k=1,2...}$ ${\displaystyle \mathbb {G} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {G} }}=\left\{\chi _{n}|n=0,1,\dots \right\}}$

El sistema de Vilenkin es un sistema ortonormal completo y forma una base de Schauder en ,  . ^[8] ${\displaystyle \mathbb {G} }$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {G} ,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$

Extensiones de fase no lineales

Se desarrollaron extensiones de fase no lineales de la transformada discreta de Walsh-Hadamard . Se demostró que las funciones de base de fase no lineal con propiedades de correlación cruzada mejoradas superan significativamente a los códigos de Walsh tradicionales en las comunicaciones de acceso múltiple por división de código (CDMA). ^[9]

Aplicaciones

Las funciones de Walsh se pueden utilizar dondequiera que se utilicen representaciones de dígitos, incluido el reconocimiento de voz , el procesamiento de imágenes médicas y biológicas y la holografía digital .

Por ejemplo, la transformada rápida de Walsh-Hadamard (FWHT) se puede utilizar en el análisis de métodos cuasi-Monte Carlo digitales . En radioastronomía , las funciones de Walsh pueden ayudar a reducir los efectos de la diafonía eléctrica entre las señales de antena. También se utilizan en paneles LCD pasivos como formas de onda de control binario X e Y donde la autocorrelación entre X e Y se puede hacer mínima para los píxeles que están desfasados.

Véase también

• Transformada de Fourier discreta
• Transformada rápida de Fourier
• Análisis armónico
• Funciones ortogonales
• Matriz de Walsh
• Función de paridad

Notas

1. Walsh 1923.
2. Bien 1949.
3. Schipp, Wade y Simon 1990.
4. Pisier 2011.
5. Sukochev y Ferleger 1995.
6. Ferleger y Sukochev 1996.
7. Ferleger 1998.
8. Joven 1976
9. AN Akansu y R. Poluri, "Códigos ortogonales de fase no lineales tipo Walsh para comunicaciones CDMA de secuencia directa", IEEE Trans. Signal Process., vol. 55, núm. 7, págs. 3800–3806, julio de 2007.

Referencias

• Ferleger, Sergei V. (marzo de 1998). Sistemas RUC en espacios simétricos no conmutativos (informe técnico). MP-ARC-98-188.
• Ferleger, Sergei V.; Sukochev, Fyodor A. (marzo de 1996). "Sobre la contractibilidad hasta un punto de los grupos lineales de espacios Lp no conmutativos reflexivos". Actas matemáticas de la Sociedad filosófica de Cambridge . 119 (3): 545–560. Bibcode :1996MPCPS.119..545F. doi :10.1017/s0305004100074405. S2CID  119786894.
• Fine, NJ (1949). "Sobre las funciones de Walsh". Trans. Amer. Math. Soc . 65 (3): 372–414. doi : 10.1090/s0002-9947-1949-0032833-2 .
• Pisier, Gilles (2011). Martingalas en espacios de Banach (en relación con el tipo y el cotipo). Curso IHP (PDF) .
• Schipp, Ferenc; Wade, WR; Simón, P. (1990). Serie Walsh. Una introducción al análisis armónico diádico . Akadémiai Kiadó.
• Sukochev, Fyodor A.; Ferleger, Sergei V. (diciembre de 1995). "Análisis armónico en espacios (UMD): aplicaciones a la teoría de bases". Notas matemáticas . 58 (6): 1315–1326. doi :10.1007/bf02304891. S2CID  121256402.
• Walsh, JL (1923). "Un conjunto cerrado de funciones ortogonales normales". Amer. J. Math. 45 (1): 5–24. doi :10.2307/2387224. JSTOR  2387224. S2CID  6131655.
• Young, W.-S. (1976). "Convergencia media de series generalizadas de Walsh-Fourier". Trans. Amer. Math. Soc. 218 : 311–320. doi : 10.1090/s0002-9947-1976-0394022-8 . JSTOR  1997441. S2CID  53755959.

Enlaces externos

• "Funciones de Walsh". MathWorld .

• "Funciones de Walsh". Enciclopedia de Matemáticas .

• "Sistema Walsh". Enciclopedia de Matemáticas .

• "Funciones de Walsh". Proyecto de Exploración de Stanford .