stringtranslate.com

Cebolla trigintadu

En álgebra abstracta , los trigintaduiones , también conocidos como 32-iones , 32-niones , 2 5 -niones o, a veces, pationes ( ), [1] [2] forman un álgebra no conmutativa y no asociativa de 32 dimensiones sobre los números reales , [3] [4] generalmente representados por la letra T mayúscula, T en negrita o negrita de pizarra . [2]

Nombres

La palabra trigintaduonion se deriva del latín triginta 'treinta' + duo 'dos' + el sufijo -nion , que se utiliza para sistemas numéricos hipercomplejos .

Aunque trigintaduonion es típicamente el término más utilizado, Robert PC de Marrais en cambio utiliza el término pathion en referencia a los 32 caminos de la sabiduría del texto cabalístico ( místico judío ) Sefer Yetzirah , ya que pathion es más corto y más fácil de recordar y pronunciar . Se representa con negrita de pizarra . [1] Otros nombres alternativos incluyen 32-ion , 32 -nion , 2,5 -ion y 2,5 -nion .

Definición

Cada trigintaduonión es una combinación lineal de las unidades trigintaduoniones , , , , ..., , que forman una base del espacio vectorial de trigintaduoniones. Cada trigintaduonión se puede representar en la forma

con coeficientes reales x i .

Los trigintaduiones se pueden obtener aplicando la construcción de Cayley-Dickson a los sedeniones , que se pueden expresar matemáticamente como . [5] La aplicación de la construcción de Cayley-Dickson a los sedeniones produce un álgebra de 64 dimensiones llamada 64-iones , 64-niones , sexagintaquatroniones o sexagintaquattuorniones , a veces también conocidos como chingons . [6] [7] [8]

Como resultado, las trigintaduiones también pueden definirse de la siguiente manera. [5]

Un álgebra de dimensión 4 sobre los octoniones :

donde y

Un álgebra de dimensión 8 sobre cuaterniones :

donde y

Un álgebra de dimensión 16 sobre los números complejos :

donde y

Un álgebra de dimensión 32 sobre los números reales :

donde y

son todos subconjuntos de . Esta relación se puede expresar como:

Multiplicación

Propiedades

Al igual que los octoniones y los sedeniones , la multiplicación de trigintaduoniones no es conmutativa ni asociativa . Al igual que los sedeniones, los trigintaduoniones contienen divisores de cero y, por lo tanto, no son un álgebra de división .

Representaciones geométricas

Mientras que los patrones de multiplicación de unidades de octoniones pueden representarse geométricamente mediante PG(2,2) (también conocido como plano de Fano ) y la multiplicación de unidades de sedeniones mediante PG(3,2) , la multiplicación de unidades de trigintaduiones puede representarse geométricamente mediante PG(4,2). Esto también puede extenderse a PG(5,2) para los 64 niones, como se explica en el resumen de Saniga, Holweck y Pracna (2015):

Dada una álgebra de Cayley–Dickson -dimensional , donde , observamos primero que la tabla de multiplicación de sus unidades imaginarias , está codificada en las propiedades del espacio proyectivo si estas unidades imaginarias se consideran como puntos y tríadas distinguidas de ellos y , como líneas. Se observa que este espacio proyectivo presenta dos tipos distintos de líneas según o . [9]

Una ilustración de la estructura de la configuración (15 4 20 3 ) o Cayley–Salmon

Además, Saniga, Holweck y Pracna (2015) afirman que:

Se ha descubierto que la estructura de incidencia punto-línea correspondiente es una configuración binomial específica ; en particular, ( octonions ) es isomorfo a la configuración Pasch (6 2 ,4 3 ), ( sedenions ) es la famosa configuración Desargues (10 3 ), (32-nions) coincide con la configuración Cayley–Salmon (15 4 ,20 3 ) que se encuentra en el conocido hexagrama místico de Pascal y (64-nions) es idéntico a una configuración particular (21 5 ,35 3 ) que puede verse como cuatro triángulos en perspectiva desde una línea donde los puntos de perspectividad de seis pares de ellos forman una configuración Pasch . [9]

La configuración de -niones puede entonces generalizarse como: [9]

Tablas de multiplicar

La multiplicación de la unidad trigintaduonions se ilustra en las dos tablas siguientes. Combinadas, forman una única tabla de 32×32 con 1024 celdas. [10] [5]

A continuación se muestra la tabla de multiplicación de los trigintaduiones para . La mitad superior de esta tabla, para , corresponde a la tabla de multiplicación de los sedeniones . El cuadrante superior izquierdo de la tabla, para y , corresponde a la tabla de multiplicación de los octoniones .

A continuación se muestra la tabla de multiplicación de trigintaduonion para .

Triples

Hay 155 triples (o tríadas) distinguidos de unidades imaginarias de trigintaduonion en la tabla de multiplicación de trigintaduonion, que se enumeran a continuación. En comparación, los octoniones tienen 7 de estos triples, los sedeniones tienen 35, mientras que los sexagintaquatroniones tienen 651. [9]

Algoritmos computacionales

El primer algoritmo computacional para la multiplicación de trigintaduiones fue desarrollado por Cariow y Cariowa (2014).

Aplicaciones

Las trigintaduonions tienen aplicaciones en la física de partículas , [11] la física cuántica y otras ramas de la física moderna. [10] Más recientemente, las trigintaduonions y otros números hipercomplejos también se han utilizado en la investigación de redes neuronales [12] y la criptografía .

Más álgebras

Los términos de Robert de Marrais para las álgebras que siguen inmediatamente a los sedenions son los pathions (es decir, trigintaduonions), chingons, routons y voudons. [8] [13] Se resumen de la siguiente manera. [1] [5]

Referencias

  1. ^ abc de Marrais, Robert PC (2002). "Volando más alto que una cometa-caja: basureros de cadenas de cometas, mandalas de arena y patrones de divisor cero en los 2n-iones más allá de los sedeniones". arXiv : math/0207003 .
  2. ^ ab Cawagas, Raoul E.; Carrascal, Alejandro S.; Bautista, Lincoln A.; María, John P. Sta.; Urrutia, Jackie D.; Nobles, Bernadeth (2009). "La estructura subálgebra del álgebra de Cayley-Dickson de dimensión 32 (trigintaduonion)". arXiv : 0907.2047 [matemáticas.RA].
  3. ^ Saini, Kavita; Raj, Kuldip (2021). "Sobre la generalización de Tribonacci Trigintaduonions". Revista india de matemáticas puras y aplicadas . 52 (2). Springer Science y Business Media LLC: 420–428. doi :10.1007/s13226-021-00067-y. ISSN  0019-5588.
  4. ^ "Trigintaduonion". Universidad de Waterloo . Consultado el 8 de octubre de 2024 .
  5. ^ abcd "Conjuntos de nombre" (PDF) (en francés). Forum Futura-Science. 6 de septiembre de 2011. Consultado el 11 de octubre de 2024 .
  6. ^ Carter, Michael (19 de agosto de 2011). "Visualización de los números hipercomplejos de Cayley-Dickson hasta los Chingons (64D)". MaplePrimes . Consultado el 8 de octubre de 2024 .
  7. ^ "Centro de aplicaciones". Maplesoft . 2010-01-18 . Consultado el 2024-10-08 .
  8. ^ ab Valkova-Jarvis, Zlatka; Poulkov, Vladimir; Stoynov, Viktor; Mihaylova, Dimitriya; Iliev, Georgi (18 de marzo de 2022). "Un método para el diseño de algoritmos DSP ortogonales bicomplejos para aplicaciones en redes de acceso de radio inteligentes". Simetría . 14 (3). MDPI AG: 613. Bibcode :2022Symm...14..613V. doi : 10.3390/sym14030613 . ISSN  2073-8994.
  9. ^ abcde Saniga, Holweck y Pracna (2015).
  10. ^ ab Weng, Zi-Hua (23 de julio de 2024). "Campos de calibración y cuatro interacciones en los espacios trigintaduion". Métodos matemáticos en las ciencias aplicadas . Wiley. doi : 10.1002/mma.10345 . ISSN  0170-4214.
  11. ^ Weng, Zihua (2 de abril de 2007). "Campos compuestos y sus ecuaciones cuánticas en el espacio trigintaduioniano". arXiv : 0704.0136 [physics.gen-ph].
  12. ^ Baluni, Sapna; Yadav, Vijay K.; Das, Subir (2024). "Criterios de estabilidad de Lagrange para redes neuronales hipercomplejas con retrasos variables en el tiempo". Comunicaciones en ciencia no lineal y simulación numérica . 131 . Elsevier BV: 107765. Bibcode :2024CNSNS.13107765B. doi :10.1016/j.cnsns.2023.107765. ISSN  1007-5704.
  13. ^ de Marrais, Robert PC (2006). "¡Presto! Digitalización, Parte I: De la teoría de números NKS a la semántica "XORbitante", pasando por el proceso Cayley-Dickson y las "representaciones" basadas en divisores cero". arXiv : matemáticas/0603281 .
  14. ^ Cariow, Aleksandr (2015). "Un enfoque unificado para desarrollar algoritmos racionalizados para la multiplicación de números hipercomplejos". Przegląd Elektrotechniczny . 1 (2). Wydawnictwo SIGMA-NO: 38–41. doi :10.15199/48.2015.02.09. ISSN  0033-2097.

Enlaces externos