Víctor Andreevich Toponogov

Matemático ruso (1930-2004)

Victor Andreevich Toponogov ( en ruso : Ви́ктор Андре́евич Топоно́гов ; 6 de marzo de 1930 - 21 de noviembre de 2004) fue un destacado matemático ruso , conocido por sus contribuciones a la geometría diferencial y a la llamada geometría de Riemann "en general".

Biografía

Después de terminar la escuela secundaria en 1948, Toponogov ingresó al departamento de Mecánica y Matemáticas en la Universidad Estatal de Tomsk , se graduó con honores en 1953 y continuó como estudiante de posgrado allí hasta 1956. Se mudó a una institución en Novosibirsk en 1956 y vivió en esa ciudad por el resto de su carrera. Dado que la institución en Novosibirsk aún no había sido completamente acreditada, había defendido su tesis doctoral en la Universidad Estatal de Moscú en 1958, sobre un tema en espacios de Riemann . La Universidad Estatal de Novosibirsk se estableció en 1959. En 1961, Toponogov se convirtió en profesor en un Instituto de Matemáticas y Computación recién creado en Novosibirsk afiliado a la universidad estatal.

Los intereses científicos de Toponogov fueron influenciados por su asesor Abram Fet , quien enseñó en Tomsk y más tarde en Novosibirsk. Fet era un topólogo reconocido y especialista en cálculo variacional a gran escala. El trabajo de Toponogov también estuvo fuertemente influenciado por el trabajo de Aleksandr Danilovich Aleksandrov . Más tarde, la clase de espacios métricos conocidos como espacios CAT( k ) recibirían el nombre de Élie Cartan , Aleksandrov y Toponogov.

Toponogov publicó más de cuarenta artículos y algunos libros a lo largo de su carrera. Sus trabajos se concentran en la geometría de Riemann "en general". Un número significativo de sus estudiantes también hicieron contribuciones notables en este campo.

Conjetura sobre superficies convexas completas

En 1995 Toponogov formuló la conjetura: ^[2]

En una superficie convexa completa S homeomorfa a un plano se cumple la siguiente igualdad:

${\displaystyle \inf _{p\in S}|\kappa _{2}(p)-\kappa _{1}(p)|=0,}$

donde y son las curvaturas principales de S. ${\displaystyle \kappa _{1}}$ ${\displaystyle \kappa _{2}}$

En otras palabras, establece que toda superficie convexa completa homeomorfa a un plano debe tener un punto umbilical que puede estar en el infinito. Como tal, es el análogo abierto natural de la conjetura de Carathéodory para superficies convexas cerradas. ^{[3] [4]}

En el mismo artículo, Toponogov demostró la conjetura bajo cualquiera de dos supuestos: la integral de la curvatura de Gauss es menor que , o la curvatura de Gauss y los gradientes de las curvaturas están acotados en S . La conjetura fue demostrada por Guilfoyle y Klingenberg en 2024 ^[5] para superficies -lisas. ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle C^{3,\alpha }}$

Véase también

• Teorema de Toponogov

Referencias

1. "Victor Toponogov - Proyecto de genealogía matemática".
2. Toponogov, VA (1995). "Sobre las condiciones de existencia de puntos umbilicales en una superficie convexa". Siberian Mathematical Journal . 36 (4): 780–784. doi :10.1007/BF02107335. S2CID  122221022.
3. Fontenele, F.; Xavier, F. (2019). "Encontrar umbilicales en superficies convexas abiertas". Rev. Mat. Iberoam . 35 (7): 2035–2052. doi :10.4171/rmi/1109. S2CID  199122809.
4. Ghomi, M.; Howard, R. (2012). "Curvaturas normales de grafos asintóticamente constantes y conjetura de Carathéodory". Proc. Amer. Math. Soc. 140 (12): 4323–4335. arXiv : 1101.3031 . doi :10.1090/S0002-9939-2012-11420-0. S2CID  12148752.
5. Guilfoyle, B.; Klingenberg, W. (2024). "Prueba de la conjetura de Toponogov en superficies completas". J. Gökova Geom. Topol. GGT . 17 : 1–50.

Enlaces externos

• Biografía de Toponogov, incluida una lista de sus publicaciones (en inglés)