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Aritmética verbal

La aritmética verbal , también conocida como alfamética , criptoaritmética , criptoaritmo o suma de palabras , es un tipo de juego matemático que consiste en una ecuación matemática entre números desconocidos , cuyos dígitos están representados por letras del alfabeto. El objetivo es identificar el valor de cada letra. El nombre se puede extender a rompecabezas que utilizan símbolos no alfabéticos en lugar de letras.

La ecuación suele ser una operación básica de aritmética , como la suma , la multiplicación o la división . El ejemplo clásico, publicado en la edición de julio de 1924 de la revista Strand por Henry Dudeney , [1] es:

La solución a este acertijo es O = 0, M = 1, Y = 2, E = 5, N = 6, D = 7, R = 8 y S = 9.

Tradicionalmente, cada letra debe representar un dígito diferente y (como notación aritmética ordinaria) el dígito inicial de un número de varios dígitos no debe ser cero. Un buen acertijo debe tener una solución única y las letras deben formar una frase (como en el ejemplo anterior).

La aritmética verbal puede resultar útil como motivación y fuente de ejercicios en la enseñanza del álgebra .

Historia

Los acertijos criptoarítmicos son bastante antiguos y se desconoce su inventor. Un ejemplo de 1864 en The American Agriculturist [2] refuta la noción popular de que fue inventado por Sam Loyd . El nombre "criptoaritmo" fue acuñado por el experto en acertijos Minos (seudónimo de Simon Vatriquant) en la edición de mayo de 1931 de Sphinx, una revista belga de matemáticas recreativas, y fue traducido como "criptoaritmético" por Maurice Kraitchik en 1942. [3] En 1955, JAH Hunter introdujo la palabra "alfamético" para designar criptoritmos, como el de Dudeney, cuyas letras forman palabras o frases significativas. [4]

Tipos de criptoritmos

El rompecabezas de división esquelética de Richard Feynman : cada A representa el mismo dígito y cada punto cualquier dígito no representado por A [5]

Los tipos de criptoaritmo incluyen la división alfamética, la digimética y la esquelética.

Alfamético
Un tipo de criptoaritmo en el que un conjunto de palabras se escribe en forma de una suma larga o algún otro problema matemático. El objetivo es reemplazar las letras del alfabeto con dígitos decimales para hacer una suma aritmética válida.
Digimético
Un criptoaritmo en el que se utilizan dígitos para representar otros dígitos.
División esquelética
Una división larga en la que la mayoría o todos los dígitos se reemplazan por símbolos (generalmente asteriscos) para formar un criptoaritmo.

Resolver criptoritmos

Resolver un criptoritmo a mano suele implicar una combinación de deducciones y pruebas exhaustivas de posibilidades. Por ejemplo, la siguiente secuencia de deducciones resuelve el acertijo ENVIAR+MÁS = DINERO de Dudeney (las columnas están numeradas de derecha a izquierda):

  1. De la columna 5, M = 1 ya que es el único arrastre posible de la suma de dos números de un solo dígito en la columna 4.
  2. Dado que hay un acarreo en la columna 5, O debe ser menor o igual que M (de la columna 4). Pero O no puede ser igual a M, por lo que O es menor que M. Por lo tanto, O = 0 .
  3. Dado que O es 1 menos que M, S es 8 o 9 dependiendo de si hay un acarreo en la columna 4. Pero si hubiera un acarreo en la columna 4 (generado por la suma de la columna 3), N sería menor que o igual a O. Esto es imposible ya que O = 0. Por lo tanto, no hay acarreo en la columna 4 y S = 9 .
  4. Si no hubiera acarreo en la columna 3, entonces E = N, lo cual es imposible. Por lo tanto hay un acarreo y N = E + 1.
  5. Si no hubo acarreo en la columna 2, entonces (N + R) mod 10 = E, y N = E + 1, entonces (E + 1 + R) mod 10 = E, lo que significa (1 + R) mod 10 = 0 , entonces R = 9. Pero S = 9, entonces debe haber un acarreo en la columna 2, entonces R = 8 .
  6. Para producir un acarreo en la columna 2, debemos tener D + E = 10 + Y.
  7. Y es al menos 2, por lo que D + E es al menos 12.
  8. Los únicos dos pares de números disponibles que suman al menos 12 son (5,7) y (6,7), por lo que E = 7 o D = 7.
  9. Dado que N = E + 1, E no puede ser 7 porque entonces N = 8 = R entonces D = 7 .
  10. E no puede ser 6 porque entonces N = 7 = D entonces E = 5 y N = 6 .
  11. D + E = 12 entonces Y = 2 .

Otro ejemplo de TO+GO=OUT (fuente desconocida):

  1. La suma de dos números mayores de dos cifras es 99+99=198. Entonces O=1 y hay un acarreo en la columna 3.
  2. Dado que la columna 1 está a la derecha de todas las demás columnas, es imposible que tenga un acarreo. Por lo tanto 1+1=T y T=2 .
  3. Como la columna 1 se calculó en el último paso, se sabe que no hay un acarreo en la columna 2. Pero también se sabe que hay un acarreo en la columna 3 en el primer paso. Por tanto, 2+G≥10. Si G es igual a 9, U sería igual a 1, pero esto es imposible ya que O también es igual a 1. Entonces solo G=8 es posible y con 2+8=10+U, U=0 .

El uso de la aritmética modular suele ayudar. Por ejemplo, el uso de la aritmética mod-10 permite tratar las columnas de un problema de suma como ecuaciones simultáneas , mientras que el uso de la aritmética mod-2 permite inferencias basadas en la paridad de las variables.

En informática , los criptoaritmos proporcionan buenos ejemplos para ilustrar el método de fuerza bruta y algoritmos que generan todas las permutaciones de m opciones a partir de n posibilidades. Por ejemplo, el rompecabezas de Dudeney anterior se puede resolver probando todas las asignaciones de ocho valores entre los dígitos del 0 al 9 a las ocho letras S,E,N,D,M,O,R,Y, lo que da 1.814.400 posibilidades. También proporcionan buenos ejemplos para retroceder el paradigma del diseño de algoritmos .

Otra información

Cuando se generaliza a bases arbitrarias, el problema de determinar si un criptoaritmo tiene solución es NP-completo . [6] (La generalización es necesaria para el resultado de dureza porque en base 10, ¡solo hay 10! posibles asignaciones de dígitos a letras, y estas se pueden comparar con el rompecabezas en tiempo lineal).

La alfamética se puede combinar con otros acertijos numéricos como Sudoku y Kakuro para crear Sudoku y Kakuro crípticos .

Alfaméticos más largos

Anton Pavlis construyó un alfamético en 1983 con 41 sumandos:

MUCHOS+MÁS+HOMBRES+PARECEN+DECIR+ESO+
ELLOS+PUEDEN+PRONTO+INTENTAR+QUEDARSE+EN+CASA+
PARA+PARA+VER+O+OÍR+EL+MISMO+UNO+
HOMBRE+INTENTA+CONOCER+EL+EQUIPO+EN+EL+
LUNA+COMO+ÉL+TIENE+EN+LOS+OTROS+DIEZ
=PRUEBAS

(La respuesta es MUCHOS OTROS = 2764195083.) [7]

Ver también

Referencias

  1. ^ HE Dudeney , en Strand Magazine vol. 68 (julio de 1924), págs. 97 y 214.
  2. ^ "Acertijo matemático n.º 109". Agricultor americano . vol. 23, núm. 12 de diciembre de 1864. pág. 349.
  3. ↑ Maurice Kraitchik , Recreaciones matemáticas (1953), págs. 79-80.
  4. ^ JAH Hunter, en el Toronto Globe and Mail (27 de octubre de 1955), p. 27.
  5. ^ Feynman, Richard P. (agosto de 2008). Desviaciones perfectamente razonables de los caminos trillados: las cartas de Richard P. Feynman. ISBN 9780786722426.
  6. ^ David Eppstein (1987). "Sobre la integridad NP de los criptoritmos" (PDF) . Noticias SIGACT . 18 (3): 38–40. doi :10.1145/24658.24662. S2CID  2814715.
  7. ^ Pavlis, Antón. "Crux Mathematicorum" (PDF) . Sociedad Matemática Canadiense . Sociedad Canadiense de Matemáticas. pag. 115 . Consultado el 14 de diciembre de 2016 .

enlaces externos

Solucionadores alfaméticos