Representación de campos vectoriales en sistemas de coordenadas curvilíneas 3D
Coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) como las que se usan comúnmente en física : distancia radial r , ángulo polar θ ( theta ) y ángulo azimutal φ ( phi ). El símbolo ρ ( rho ) se usa a menudo en lugar de r . Nota: Esta página utiliza la notación física común para coordenadas esféricas, donde es el ángulo entre el eje z y el radio vector que conecta el origen con el punto en cuestión, mientras que es el ángulo entre la proyección del radio vector sobre el plano xy y el eje x . Se utilizan otras definiciones, por lo que se debe tener cuidado al comparar diferentes fuentes. [1] θ {\estilo de visualización \theta} ϕ {\estilo de visualización \phi}
Sistema de coordenadas cilíndricas
Campos vectoriales Los vectores se definen en coordenadas cilíndricas por ( ρ , φ , z ), donde
ρ es la longitud del vector proyectado sobre el plano xy ,φ es el ángulo entre la proyección del vector sobre el plano xy (es decir, ρ ) y el eje x positivo (0 ≤ φ < 2 π ),z es la coordenada z regular .( ρ , φ , z ) se da en coordenadas cartesianas por:
[ ρ ϕ el ] = [ incógnita 2 + y 2 arctano ( y / incógnita ) el ] , 0 ≤ ϕ < 2 π , {\displaystyle {\begin{bmatrix}\rho \\\phi \\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\ \operatorname {arctan} (y/x)\\z\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \phi <2\pi ,}
o inversamente por: [ incógnita y el ] = [ ρ porque ϕ ρ pecado ϕ el ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho \cos \phi \\\rho \sin \phi \\z\end{bmatrix }}.}
Cualquier campo vectorial se puede escribir en términos de los vectores unitarios como:
Los vectores unitarios cilíndricos están relacionados con los vectores unitarios cartesianos por: A = A incógnita incógnita ^ + A y y ^ + A el el ^ = A ρ ρ ^ + A ϕ ϕ ^ + A el el ^ {\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{\rho }\mathbf {\hat {\rho }} +A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}\mathbf {\hat {z}} } [ ρ ^ ϕ ^ z ^ ] = [ cos ϕ sin ϕ 0 − sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1 ] [ x ^ y ^ z ^ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {\rho }} \\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}}
Nota: la matriz es una matriz ortogonal , es decir, su inversa es simplemente su transpuesta .
Derivada temporal de un campo vectorial Para saber cómo cambia el campo vectorial A en el tiempo, se deben calcular las derivadas temporales. Para ello se utilizará la notación de Newton para la derivada temporal ( ). En coordenadas cartesianas esto es simplemente: A ˙ {\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}} A ˙ = A ˙ x x ^ + A ˙ y y ^ + A ˙ z z ^ {\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {A}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\dot {A}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}
Sin embargo, en coordenadas cilíndricas esto se convierte en: A ˙ = A ˙ ρ ρ ^ + A ρ ρ ^ ˙ + A ˙ ϕ ϕ ^ + A ϕ ϕ ^ ˙ + A ˙ z z ^ + A z z ^ ˙ {\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}_{\rho }{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+A_{\rho }{\dot {\hat {\boldsymbol {\rho }}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\hat {\boldsymbol {\phi }}}+A_{\phi }{\dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}+{\dot {A}}_{z}{\hat {\boldsymbol {z}}}+A_{z}{\dot {\hat {\boldsymbol {z}}}}}
Se necesitan las derivadas temporales de los vectores unitarios, que se dan por: ρ ^ ˙ = ϕ ˙ ϕ ^ ϕ ^ ˙ = − ϕ ˙ ρ ^ z ^ ˙ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {\rho } }}}&={\dot {\phi }}{\hat {\boldsymbol {\phi }}}\\{\dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}{\hat {\mathbf {\rho } }}\\{\dot {\hat {\mathbf {z} }}}&=0\end{aligned}}}
Entonces la derivada del tiempo se simplifica a: A ˙ = ρ ^ ( A ˙ ρ − A ϕ ϕ ˙ ) + ϕ ^ ( A ˙ ϕ + A ρ ϕ ˙ ) + z ^ A ˙ z {\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\hat {\boldsymbol {\rho }}}\left({\dot {A}}_{\rho }-A_{\phi }{\dot {\phi }}\right)+{\hat {\boldsymbol {\phi }}}\left({\dot {A}}_{\phi }+A_{\rho }{\dot {\phi }}\right)+{\hat {\mathbf {z} }}{\dot {A}}_{z}}
Derivada temporal de segundo orden de un campo vectorial La segunda derivada temporal es de interés en física , ya que se encuentra en ecuaciones de movimiento para sistemas mecánicos clásicos . La segunda derivada temporal de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas viene dada por: A ¨ = ρ ^ ( A ¨ ρ − A ϕ ϕ ¨ − 2 A ˙ ϕ ϕ ˙ − A ρ ϕ ˙ 2 ) + ϕ ^ ( A ¨ ϕ + A ρ ϕ ¨ + 2 A ˙ ρ ϕ ˙ − A ϕ ϕ ˙ 2 ) + z ^ A ¨ z {\displaystyle \mathbf {\ddot {A}} =\mathbf {\hat {\rho }} \left({\ddot {A}}_{\rho }-A_{\phi }{\ddot {\phi }}-2{\dot {A}}_{\phi }{\dot {\phi }}-A_{\rho }{\dot {\phi }}^{2}\right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left({\ddot {A}}_{\phi }+A_{\rho }{\ddot {\phi }}+2{\dot {A}}_{\rho }{\dot {\phi }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}^{2}\right)+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {A}}_{z}}
Para entender esta expresión se sustituye A por P , donde P es el vector ( ρ , φ , z ).
Esto significa que . A = P = ρ ρ ^ + z z ^ {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {P} =\rho \mathbf {\hat {\rho }} +z\mathbf {\hat {z}} }
Después de sustituir, el resultado es: P ¨ = ρ ^ ( ρ ¨ − ρ ϕ ˙ 2 ) + ϕ ^ ( ρ ϕ ¨ + 2 ρ ˙ ϕ ˙ ) + z ^ z ¨ {\displaystyle {\ddot {\mathbf {P} }}=\mathbf {\hat {\rho }} \left({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\phi }}^{2}\right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left(\rho {\ddot {\phi }}+2{\dot {\rho }}{\dot {\phi }}\right)+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {z}}}
En mecánica, los términos de esta expresión se denominan:
Sistema de coordenadas esféricas
Campos vectoriales Los vectores se definen en coordenadas esféricas por ( r , θ , φ ), donde
r es la longitud del vector,θ es el ángulo entre el eje Z positivo y el vector en cuestión (0 ≤ θ ≤ π ), yφ es el ángulo entre la proyección del vector sobre el plano xy y el eje X positivo (0 ≤ φ < 2 π ).( r , θ , φ ) se da en coordenadas cartesianas por:
o inversamente por: [ r θ ϕ ] = [ x 2 + y 2 + z 2 arccos ( z / x 2 + y 2 + z 2 ) arctan ( y / x ) ] , 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ < 2 π , {\displaystyle {\begin{bmatrix}r\\\theta \\\phi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\arccos(z/{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}})\\\arctan(y/x)\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \theta \leq \pi ,\ \ \ 0\leq \phi <2\pi ,} [ x y z ] = [ r sin θ cos ϕ r sin θ sin ϕ r cos θ ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}r\sin \theta \cos \phi \\r\sin \theta \sin \phi \\r\cos \theta \end{bmatrix}}.}
Cualquier campo vectorial se puede escribir en términos de los vectores unitarios como:
Los vectores unitarios esféricos están relacionados con los vectores unitarios cartesianos por: A = A x x ^ + A y y ^ + A z z ^ = A r r ^ + A θ θ ^ + A ϕ ϕ ^ {\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}} [ r ^ θ ^ ϕ ^ ] = [ sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ − sin θ − sin ϕ cos ϕ 0 ] [ x ^ y ^ z ^ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \\\cos \theta \cos \phi &\cos \theta \sin \phi &-\sin \theta \\-\sin \phi &\cos \phi &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}}
Nota: la matriz es una matriz ortogonal , es decir, su inversa es simplemente su transpuesta .
Los vectores unitarios cartesianos están entonces relacionados con los vectores unitarios esféricos por: [ x ^ y ^ z ^ ] = [ sin θ cos ϕ cos θ cos ϕ − sin ϕ sin θ sin ϕ cos θ sin ϕ cos ϕ cos θ − sin θ 0 ] [ r ^ θ ^ ϕ ^ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\cos \theta \cos \phi &-\sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \sin \phi &\cos \phi \\\cos \theta &-\sin \theta &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}}
Derivada temporal de un campo vectorial Para averiguar cómo cambia el campo vectorial A en el tiempo, se deben calcular las derivadas temporales. En coordenadas cartesianas, esto es simplemente:
Sin embargo, en coordenadas esféricas esto se convierte en:
Se necesitan las derivadas temporales de los vectores unitarios. Se dan por:
Por lo tanto, la derivada temporal se convierte en: A ˙ = A ˙ x x ^ + A ˙ y y ^ + A ˙ z z ^ {\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{x}\mathbf {\hat {x}} +{\dot {A}}_{y}\mathbf {\hat {y}} +{\dot {A}}_{z}\mathbf {\hat {z}} } A ˙ = A ˙ r r ^ + A r r ^ ˙ + A ˙ θ θ ^ + A θ θ ^ ˙ + A ˙ ϕ ϕ ^ + A ϕ ϕ ^ ˙ {\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{r}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}+{\dot {A}}_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}} r ^ ˙ = θ ˙ θ ^ + ϕ ˙ sin θ ϕ ^ θ ^ ˙ = − θ ˙ r ^ + ϕ ˙ cos θ ϕ ^ ϕ ^ ˙ = − ϕ ˙ sin θ r ^ − ϕ ˙ cos θ θ ^ {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}&={\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}&=-{\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {r}}}-{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}\end{aligned}}} A ˙ = r ^ ( A ˙ r − A θ θ ˙ − A ϕ ϕ ˙ sin θ ) + θ ^ ( A ˙ θ + A r θ ˙ − A ϕ ϕ ˙ cos θ ) + ϕ ^ ( A ˙ ϕ + A r ϕ ˙ sin θ + A θ ϕ ˙ cos θ ) {\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\boldsymbol {\hat {r}}}\left({\dot {A}}_{r}-A_{\theta }{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\sin \theta \right)+{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\left({\dot {A}}_{\theta }+A_{r}{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\cos \theta \right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left({\dot {A}}_{\phi }+A_{r}{\dot {\phi }}\sin \theta +A_{\theta }{\dot {\phi }}\cos \theta \right)}
Véase también
Referencias ^ Wolfram Mathworld, coordenadas esféricas 
