En geometría , un unital es un conjunto de n 3 + 1 puntos organizados en subconjuntos de tamaño n + 1 de modo que cada par de puntos distintos del conjunto estén contenidos exactamente en un subconjunto. [a] Esto equivale a decir que un unital es un diseño de bloques 2-( n 3 + 1, n + 1, 1) . Algunos unitales pueden estar incrustados en un plano proyectivo de orden n 2 (los subconjuntos del diseño se convierten en conjuntos de puntos colineales en el plano proyectivo). En este caso de unidades incrustadas , cada línea del plano intersecta al unidad en 1 o n + 1 puntos. En los planos desarguesianos , PG(2, q 2 ), los ejemplos clásicos de unidades están dados por curvas hermitianas no degeneradas. También hay muchos ejemplos no clásicos. El primer y único unital conocido con parámetros de potencia no primos, n = 6 , fue construido por Bhaskar Bagchi y Sunanda Bagchi. [1] Aún se desconoce si este unital puede incrustarse en un plano proyectivo de orden 36 , si tal plano existe.
Repasamos alguna terminología utilizada en geometría proyectiva .
Una correlación de una geometría proyectiva es una biyección en sus subespacios que invierte la contención. En particular, una correlación intercambia puntos e hiperplanos . [2]
Una correlación de orden dos se llama polaridad .
Una polaridad se llama polaridad unitaria si su forma sesquilineal asociada s con automorfismo acompañante α satisface
Un punto se llama punto absoluto de una polaridad si se encuentra en la imagen de sí mismo bajo la polaridad.
Los puntos absolutos de una polaridad unitaria de la geometría proyectiva PG( d , F ), para algún d ≥ 2, es una variedad hermitiana no degenerada , y si d = 2 esta variedad se llama curva hermitiana no degenerada . [3]
En PG(2, q 2 ) para alguna potencia prima q , el conjunto de puntos de una curva hermitiana no degenerada forma un unital, [4] que se llama unital clásico .
Sea una curva hermitiana no degenerada para alguna potencia prima . Como todas las curvas hermitianas no degeneradas en el mismo plano son proyectivamente equivalentes, se pueden describir en términos de coordenadas homogéneas de la siguiente manera: [5]
H. Lüneburg construyó otra familia de unidades basada en grupos Ree . [6] Sea Γ = R( q ) el grupo Ree de tipo 2 G 2 de orden ( q 3 + 1) q 3 ( q − 1 ) donde q = 3 2 m +1 . Sea P el conjunto de todos los q 3 + 1 3 subgrupos de Sylow de Γ. Γ actúa doblemente transitivamente en este conjunto por conjugación (será conveniente pensar en estos subgrupos como puntos sobre los que Γ está actuando). Para cualquier S y T en P , el estabilizador puntual , Γ S , T es cíclico de orden q - 1, y por tanto contiene una involución única , μ. Cada una de estas involuciones fija exactamente q + 1 puntos de P . Construya un diseño de bloques en los puntos de P cuyos bloques sean los conjuntos de puntos fijos de estas diversas involuciones μ. Dado que Γ actúa doblemente transitivamente sobre P , este será un diseño 2 con parámetros 2-( q 3 + 1, q + 1, 1) llamado Ree unital. [7]
Lüneburg también demostró que los unitales de Ree no pueden incrustarse en planos proyectivos de orden q 2 ( desarguesianos o no), de modo que el grupo de automorfismo Γ sea inducido por un grupo de colineación del plano. [8] Para q = 3, Grüning [9] demostró que un unital Ree no puede incrustarse en ningún plano proyectivo de orden 9. [10]
En los cuatro planos proyectivos de orden 9 (el plano desarguesiano PG(2,9), el plano Hall de orden 9, el plano Hall dual de orden 9 y el plano Hughes de orden 9. [b] ), se realizó una búsqueda informática exhaustiva por Penttila y Royle [11] encontraron 18 unitales (hasta equivalencia) con n = 3 en estos cuatro planos: dos en PG(2,9) (ambos Buekenhout), cuatro en el plano Hall (dos Buekenhout, dos no), y así otros cuatro en el plano dual Hall y ocho en el plano Hughes. Sin embargo, uno de los unitales de Buekenhout en el plano Hall es autodual [12] y, por lo tanto, se vuelve a contar en el plano Hall dual. Por lo tanto, hay 17 unitales integrables distintos con n = 3. Por otro lado, una búsqueda por computadora no exhaustiva encontró más de 900 diseños mutuamente no isomorfos que son unitales con n = 3. [13]
Dado que los unitales son diseños de bloques , se dice que dos unitales son isomórficos si hay un isomorfismo de diseño entre ellos, es decir, una biyección entre los conjuntos de puntos que asigna bloques a bloques. Este concepto no tiene en cuenta la propiedad de incrustabilidad, por lo que para hacerlo decimos que dos unitales, incrustados en el mismo plano ambiental, son equivalentes si hay una colineación del plano que asigna un unital al otro. [10]
Al examinar el unital clásico en el modelo de Bruck/Bose , Buekenhout [14] proporcionó dos construcciones, que en conjunto demostraron la existencia de un unital incrustado en cualquier plano de traslación bidimensional finito . Metz [15] demostró posteriormente que una de las construcciones de Buekenhout en realidad produce unidades no clásicas en todos los planos desarguesianos finitos de orden cuadrado al menos 9. Estos unidades de Buekenhout-Metz han sido ampliamente estudiados. [16] [17]
La idea central en la construcción de Buekenhout es que cuando uno observa el modelo de Bruck/Bose de dimensiones superiores, que se encuentra en , la ecuación de la curva hermitiana satisfecha por un unital clásico se convierte en una superficie cuádrica en , ya sea un cono puntual sobre un Ovoide tridimensional si la línea representada por la extensión del modelo de Bruck/Bose se encuentra con el unitario en un punto, o una cuádrica no singular en caso contrario. Debido a que estos objetos tienen patrones de intersección conocidos con respecto a los planos de , el conjunto de puntos resultante sigue siendo un unital en cualquier plano de traslación cuya extensión generadora contenga todas las mismas líneas que la extensión original dentro de la superficie cuádrica. En el caso del cono ovoidal, esta intersección forzada consta de una sola línea, y cualquier extensión se puede asignar a una extensión que contenga esta línea, lo que demuestra que cada plano de traslación de esta forma admite un unital incrustado.
Las variedades hermitianas son en cierto sentido una generalización de las cuádricas y ocurren naturalmente en la teoría de las polaridades.
Sea K un campo con automorfismo involutivo . Sea n un número entero y V un espacio vectorial (n+1) -dimensional sobre K .
Una variedad hermitiana H en PG(V) es un conjunto de puntos cuyas líneas vectoriales representativas consisten en puntos isotrópicos de una forma sesquilineal hermitiana no trivial en V.
Sea una base de V . Si un punto p en el espacio proyectivo tiene coordenadas homogéneas con respecto a esta base, está en la variedad hermitiana si y sólo si:
donde y no todos
Si se construye la matriz hermitiana A con , la ecuación se puede escribir de forma compacta:
dónde
Sea p un punto de la variedad hermitiana H. Una recta L que pasa por p es, por definición, tangente cuando contiene solo un punto ( p en sí) de la variedad o se encuentra completamente en la variedad. Se puede demostrar que estas líneas forman un subespacio, o un hiperplano del espacio completo. En el último caso, el punto es singular.
