En matemáticas , la botella de Klein ( / ˈk · laɪ · n / ) es un ejemplo de una superficie no orientable ; es decir, informalmente, una superficie de un solo lado que, si se viaja sobre ella, se puede seguir de regreso al punto de origen mientras se da la vuelta al viajero. Más formalmente, la botella de Klein es una variedad bidimensional en la que no se puede definir un vector normal en cada punto que varíe continuamente en toda la variedad. Otras superficies no orientables relacionadas incluyen la banda de Möbius y el plano proyectivo real . Mientras que una banda de Möbius es una superficie con un límite , una botella de Klein no tiene límite. A modo de comparación, una esfera es una superficie orientable sin límite.
La botella de Klein fue descrita por primera vez en 1882 por el matemático Felix Klein . [1]
El cuadrado siguiente es un polígono fundamental de la botella de Klein. La idea es "pegar" los bordes rojo y azul correspondientes con las flechas que coinciden, como en los diagramas siguientes. Nótese que se trata de un pegado "abstracto" en el sentido de que intentar realizarlo en tres dimensiones da como resultado una botella de Klein que se intersecta consigo misma. [2]
Para construir la botella de Klein, se pegan las flechas rojas del cuadrado (lados izquierdo y derecho), lo que da como resultado un cilindro. Para pegar los extremos del cilindro de manera que las flechas de los círculos coincidan, se pasa un extremo por el lado del cilindro. Esto crea una curva de autointersección; esto es, por tanto, una inmersión de la botella de Klein en el espacio tridimensional .
Esta inmersión es útil para visualizar muchas propiedades de la botella de Klein. Por ejemplo, la botella de Klein no tiene límite , la superficie termina abruptamente y no es orientable , como se refleja en la unilateralidad de la inmersión.
El modelo físico común de una botella de Klein es una construcción similar. El Museo de la Ciencia de Londres tiene una colección de botellas de Klein de vidrio soplado en exposición, que muestran muchas variaciones sobre este tema topológico. Las botellas datan de 1995 y fueron fabricadas para el museo por Alan Bennett. [3]
La botella de Klein, propiamente dicha, no se autointerseca. No obstante, hay una manera de visualizar la botella de Klein como contenida en cuatro dimensiones. Al agregar una cuarta dimensión al espacio tridimensional, se puede eliminar la autointersección. Empuje suavemente un trozo del tubo que contiene la intersección a lo largo de la cuarta dimensión, fuera del espacio tridimensional original. Una analogía útil es considerar una curva que se autointerseca en el plano; las autointersecciones se pueden eliminar levantando una hebra del plano. [4]
Supongamos, para mayor claridad, que adoptamos el tiempo como cuarta dimensión. Consideremos cómo podría construirse la figura en el espacio xyzt . La ilustración adjunta ("Evolución temporal...") muestra una evolución útil de la figura. En t = 0, la pared brota de un brote en algún lugar cerca del punto de "intersección". Después de que la figura haya crecido durante un tiempo, la sección más temprana de la pared comienza a retroceder, desapareciendo como el Gato de Cheshire , pero dejando atrás su sonrisa cada vez más amplia. Para cuando el frente de crecimiento llega al lugar donde había estado el brote, no hay nada allí con lo que intersecar y el crecimiento se completa sin perforar la estructura existente. La figura de 4, tal como se define, no puede existir en el espacio tridimensional, pero se entiende fácilmente en el espacio tridimensional. [4]
Más formalmente, la botella de Klein es el espacio cociente descrito como el cuadrado [0,1] × [0,1] con lados identificados por las relaciones (0, y ) ~ (1, y ) para 0 ≤ y ≤ 1 y ( x , 0) ~ (1 − x , 1) para 0 ≤ x ≤ 1 .
Al igual que la banda de Möbius , la botella de Klein es una variedad bidimensional que no es orientable . A diferencia de la banda de Möbius, es una variedad cerrada , lo que significa que es una variedad compacta sin límite. Mientras que la banda de Möbius puede integrarse en el espacio euclidiano tridimensional R 3 , la botella de Klein no puede. Sin embargo, puede integrarse en R 4 . [4]
Continuando esta secuencia, por ejemplo , es posible crear una variedad 3 que no se pueda incrustar en R 4 pero sí en R 5 ; en este caso, conectando dos extremos de un esférico entre sí de la misma manera que los dos extremos de un cilindro para una botella de Klein, se crea una figura, denominada "botella de Klein esférico", que no se puede incrustar completamente en R 4 . [5]
La botella de Klein puede verse como un haz de fibras sobre el círculo S 1 , con fibra S 1 , de la siguiente manera: se toma el cuadrado (módulo de la relación de equivalencia que identifica el borde) de arriba como E , el espacio total, mientras que el espacio base B está dado por el intervalo unitario en y , módulo 1~0 . La proyección π: E → B está dada entonces por π([ x , y ]) = [ y ] .
La botella de Klein se puede construir (en un espacio de cuatro dimensiones, porque en un espacio tridimensional no se puede hacer sin permitir que la superficie se intersecte consigo misma) uniendo los bordes de dos bandas de Möbius, como se describe en el siguiente poema de Leo Moser : [6]
Un matemático llamado Klein
creía que la banda de Möbius era divina.
Dijo: "Si pegas
los bordes de dos,
obtendrás una botella rara como la mía".
La construcción inicial de la botella de Klein mediante la identificación de los bordes opuestos de un cuadrado muestra que a la botella de Klein se le puede dar una estructura compleja CW con una celda 0 P , dos celdas 1 C 1 , C 2 y una celda 2 D . Por lo tanto, su característica de Euler es 1 − 2 + 1 = 0 . El homomorfismo de contorno está dado por ∂ D = 2 C 1 y ∂ C 1 = ∂ C 2 = 0 , lo que produce los grupos de homología de la botella de Klein K como H 0 ( K , Z ) = Z , H 1 ( K , Z ) = Z ×( Z /2 Z ) y H n ( K , Z ) = 0 para n > 1 .
Existe una función de recubrimiento 2-1 desde el toro hasta la botella de Klein, porque dos copias de la región fundamental de la botella de Klein, una colocada junto a la imagen especular de la otra, dan como resultado una región fundamental del toro. La cubierta universal tanto del toro como de la botella de Klein es el plano R 2 .
El grupo fundamental de la botella de Klein se puede determinar como el grupo de transformaciones de baraja de la tapa universal y tiene la presentación ⟨ a , b | ab = b −1 a ⟩ . Se sigue que es isomorfo a , el único producto semidirecto no trivial del grupo aditivo de los números enteros consigo mismo.
Seis colores son suficientes para colorear cualquier mapa en la superficie de una botella de Klein; ésta es la única excepción a la conjetura de Heawood , una generalización del teorema de los cuatro colores , que requeriría siete.
Una botella de Klein es homeomorfa a la suma conexa de dos planos proyectivos . [7] También es homeomorfa a una esfera más dos tapas cruzadas .
Cuando se la integra en un espacio euclidiano, la botella de Klein tiene una sola cara. Sin embargo, existen otros 3-espacios topológicos y, en algunos de los ejemplos no orientables, se puede integrar una botella de Klein de manera que tenga dos caras, aunque debido a la naturaleza del espacio sigue siendo no orientable. [2]
Al diseccionar una botella de Klein en dos mitades a lo largo de su plano de simetría se obtienen dos bandas de Möbius que son una imagen especular , es decir, una con una media torsión hacia la izquierda y la otra con una media torsión hacia la derecha (una de ellas se muestra a la derecha). Recuerde que la intersección mostrada en la imagen no existe realmente. [8]
Una descripción de los tipos de curvas cerradas simples que pueden aparecer en la superficie de la botella de Klein se da mediante el uso del primer grupo de homología de la botella de Klein calculado con coeficientes enteros. Este grupo es isomorfo a Z × Z 2 . Hasta la inversión de la orientación, las únicas clases de homología que contienen curvas cerradas simples son las siguientes: (0,0), (1,0), (1,1), (2,0), (0,1). Hasta la inversión de la orientación de una curva cerrada simple, si se encuentra dentro de una de las dos tapas cruzadas que forman la botella de Klein, entonces está en la clase de homología (1,0) o (1,1); si corta la botella de Klein en dos tiras de Möbius, entonces está en la clase de homología (2,0); si corta la botella de Klein en un anillo, entonces está en la clase de homología (0,1); y si limita un disco, entonces está en la clase de homología (0,0). [4]
Para realizar la inmersión en forma de “ocho” o “bagel” de la botella de Klein, se puede partir de una cinta de Möbius y curvarla para llevar el borde hasta la línea media; como sólo hay un borde, se encontrará allí consigo mismo, pasando por la línea media. Tiene una parametrización particularmente sencilla como un toro en forma de “ocho” con media torsión: [4]
para 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ v < 2π y r > 2.
En esta inmersión, el círculo de autointersección (donde sin( v ) es cero) es un círculo geométrico en el plano xy . La constante positiva r es el radio de este círculo. El parámetro θ proporciona el ángulo en el plano xy así como la rotación de la figura 8, y v especifica la posición alrededor de la sección transversal en forma de 8. Con la parametrización anterior, la sección transversal es una curva de Lissajous 2:1 .
Se puede modelar una parametrización 4-D sin intersección a partir de la del toro plano :
donde R y P son constantes que determinan la relación de aspecto, θ y v son similares a las definidas anteriormente. v determina la posición alrededor de la figura 8, así como la posición en el plano xy. θ determina también el ángulo de rotación de la figura 8 y la posición alrededor del plano zw. ε es cualquier constante pequeña y ε sen v es una pequeña protuberancia dependiente de v en el espacio zw para evitar la autointersección. La protuberancia v hace que la figura 8 bidimensional/planar que se autointersecta se extienda en una "patata frita" estilizada tridimensional o en forma de silla de montar en el espacio xyw y xyz visto de canto. Cuando ε=0 la autointersección es un círculo en el plano zw <0, 0, cos θ , sen θ >. [4]
El toro pinzado es quizás la parametrización más simple de la botella de Klein tanto en tres como en cuatro dimensiones. Es un toro que, en tres dimensiones, se aplana y pasa a través de sí mismo en un lado. Desafortunadamente, en tres dimensiones esta parametrización tiene dos puntos de pinzamiento , lo que la hace indeseable para algunas aplicaciones. En cuatro dimensiones, la amplitud z rota hacia la amplitud w y no hay autointersecciones ni puntos de pinzamiento. [4]
Se puede ver esto como un tubo o cilindro que se envuelve, como en un toro, pero su sección transversal circular se da vuelta en cuatro dimensiones, presentando su "parte trasera" a medida que se reconecta, al igual que una sección transversal de la banda de Möbius gira antes de volver a conectarse. La proyección ortogonal 3D de esto es el toro pinzado que se muestra arriba. Así como una banda de Möbius es un subconjunto de un toro sólido, el tubo de Möbius es un subconjunto de un esferindro cerrado toroidalmente (esferitoro sólido).
La parametrización de la inmersión tridimensional de la propia botella es mucho más complicada.
para 0 ≤ u < π y 0 ≤ v < 2π. [4]
Las inmersiones regulares en 3D de la botella de Klein se dividen en tres clases de homotopía regular . [9] Las tres están representadas por:
La inmersión tradicional en botella de Klein es aquiral . La inmersión en forma de 8 es quiral. (La inmersión en toro pinzado anterior no es regular, ya que tiene puntos de pinzamiento, por lo que no es relevante para esta sección).
Si se corta la tradicional botella de Klein en su plano de simetría, se rompe en dos bandas de Möbius de quiralidad opuesta. Una botella de Klein en forma de 8 se puede cortar en dos bandas de Möbius de la misma quiralidad y no se puede deformar regularmente hasta quedar en su imagen especular. [4]
La generalización de la botella de Klein a un género superior se da en el artículo sobre el polígono fundamental . [10]
En otro orden de ideas, construyendo 3-variedades , se sabe que una botella de Klein sólida es homeomorfa al producto cartesiano de una cinta de Möbius y un intervalo cerrado. La botella de Klein sólida es la versión no orientable del toro sólido , equivalente a
Una superficie de Klein es, al igual que las superficies de Riemann , una superficie con un atlas que permite componer las funciones de transición mediante conjugación compleja . Se puede obtener la denominada estructura dianalítica del espacio y tiene un solo lado. [11]
![{\displaystyle {\begin{aligned}x(u,v)=-&{\frac {2}{15}}\cos u\left(3\cos {v}-30\sin {u}+90\cos ^{4}{u}\sin {u}\right.-\\&\left.60\cos ^{6}{u}\sin {u}+5\cos {u}\cos {v}\sin {u}\right)\\[3pt]y(u,v)=-&{\frac {1}{15}}\sin u\left(3\cos {v}-3\cos ^{2}{u}\cos {v}-48\cos ^{4}{u}\cos {v}+48\cos ^{6}{u}\cos {v}\right.-\\&60\sin {u}+5\cos {u}\cos {v}\sin {u}-5\cos ^{3}{u}\cos {v}\sin {u}-\\&\left.80\cos ^{5}{u}\cos {v}\sin {u}+80\cos ^{7}{u}\cos {v}\sin {u}\right)\\[3pt]z(u,v)=&{\frac {2}{15}}\left(3+5\cos {u}\sin {u}\right)\sin {v}\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5d921d40ba9c619980533c34235fd121d6e557)
