espacio nuclear

Una generalización de espacios euclidianos de dimensión finita diferentes de los espacios de Hilbert

En matemáticas , los espacios nucleares son espacios vectoriales topológicos que pueden verse como una generalización de espacios euclidianos de dimensión finita y comparten muchas de sus propiedades deseables. Sin embargo, los espacios nucleares son bastante diferentes de los espacios de Hilbert , otra generalización de los espacios euclidianos de dimensión finita. Fueron presentados por Alexander Grothendieck .

La topología de los espacios nucleares se puede definir mediante una familia de seminormas cuyas bolas unitarias disminuyen rápidamente de tamaño. Los espacios vectoriales cuyos elementos son "suaves" en algún sentido tienden a ser espacios nucleares; un ejemplo típico de espacio nuclear es el conjunto de funciones suaves en una variedad compacta . Todos los espacios vectoriales de dimensión finita son nucleares. No existen espacios de Banach que sean nucleares, excepto los de dimensión finita. En la práctica, suele ser cierto lo contrario: si un espacio vectorial topológico "que se produce naturalmente" no es un espacio de Banach, entonces hay muchas posibilidades de que sea nuclear.

Motivación original: el teorema del núcleo de Schwartz

Gran parte de la teoría de los espacios nucleares fue desarrollada por Alexander Grothendieck mientras investigaba el teorema del núcleo de Schwartz y publicada en (Grothendieck 1955). Ahora describimos esta motivación.

Para cualquier subconjunto abierto y el mapa canónico es un isomorfismo de TVS (donde tiene la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados ) y, además, ambos espacios son canónicamente TVS-isomorfos a (donde desde es nuclear, este producto tensorial es simultáneamente el producto tensorial inyectivo y producto tensorial proyectivo ). ^[1] En resumen, el teorema del núcleo de Schwartz establece que: ${\displaystyle \Omega _{1}\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \Omega _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\times \Omega _{2}\right)\to L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)}$ ${\displaystyle L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right){\widehat {\otimes }}{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{2}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)}$

$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\times \Omega _{2}\right)\cong {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right){\widehat {\otimes }}{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{2}\right)\cong L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)}$$

isomorfismos TVS

Este resultado es falso si se reemplaza el espacio con (que es un espacio reflexivo que es incluso isomorfo a su propio espacio dual fuerte) y se reemplaza con el dual de este espacio. ^[2] ¿Por qué un resultado tan bueno es válido para el espacio de distribuciones y funciones de prueba, pero no para el espacio de Hilbert (que generalmente se considera uno de los TVS "mejores")? Esta pregunta llevó a Grothendieck a descubrir los espacios nucleares, los mapas nucleares y el producto tensorial inyectivo . ${\displaystyle C_{c}^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Motivaciones de la geometría

Otro conjunto de ejemplos motivadores proviene directamente de la geometría y la teoría de la variedad suave ^{[3] apéndice 2} . Dadas variedades suaves y un espacio vectorial topológico de Hausdorff localmente convexo, existen los siguientes isomorfismos de espacios nucleares ${\displaystyle M,N}$

• ${\displaystyle C^{\infty }(M)\otimes C^{\infty }(N)\cong C^{\infty }(M\times N)}$
• ${\displaystyle C^{\infty }(M)\otimes F\cong \{f:M\to F:f{\text{ is smooth }}\}}$

Definición

Esta sección enumera algunas de las definiciones más comunes de espacio nuclear. Las definiciones siguientes son todas equivalentes. Tenga en cuenta que algunos autores utilizan una definición más restrictiva de espacio nuclear, añadiendo la condición de que el espacio también debe ser un espacio de Fréchet . (Esto significa que el espacio está completo y la topología viene dada por una familia contable de seminormas).

Grothendieck utilizó la siguiente definición para definir los espacios nucleares. ^[4]

Definición 0 : Sea un espacio vectorial topológico localmente convexo. Entonces es nuclear si para cualquier espacio localmente convexo la incrustación del espacio vectorial canónico es una incrustación de TVS cuya imagen es densa en el codominio (donde el dominio es el producto tensorial proyectivo y el codominio es el espacio de todas las formas bilineales continuas por separado dotadas de la topología de la convergencia uniforme en subconjuntos equicontinuos ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }}$

Empezamos recordando algunos antecedentes. Un espacio vectorial topológico localmente convexo tiene una topología definida por alguna familia de seminormas . Para cualquier seminorma, la bola unitaria es una vecindad simétrica convexa cerrada del origen y, a la inversa, cualquier vecindad simétrica convexa cerrada de 0 es la bola unitaria de alguna seminorma. (Para espacios vectoriales complejos, la condición "simétrica" ​​debe reemplazarse por " equilibrada ".) Si es una seminorma entonces denota el espacio de Banach dado al completar el espacio normado auxiliar usando la seminorma. Hay un mapa natural (no necesariamente inyectivo) . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X_{p}}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle X\to X_{p}}$

Si es otra seminorma, mayor que (puntualmente como una función en ), entonces hay un mapa natural de a tal que el primer mapa factoriza como Estos mapas son siempre continuos. El espacio es nuclear cuando se cumple una condición más fuerte, a saber, que estos mapas son operadores nucleares . La condición de ser operador nuclear es sutil, y más detalles están disponibles en el artículo correspondiente. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{q}}$ ${\displaystyle X_{p}}$ ${\displaystyle X\to X_{q}\to X_{p}.}$ ${\displaystyle X}$

Definición 1 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que para cualquier seminorma podemos encontrar una seminorma más grande, de modo que el mapa natural sea nuclear . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$

Informalmente, esto significa que siempre que se nos da la bola unitaria de alguna seminorma, podemos encontrar una bola unitaria "mucho más pequeña" de otra seminorma dentro de ella, o que cualquier vecindad de 0 contiene una vecindad "mucho más pequeña". No es necesario comprobar esta condición para todas las seminormas ; basta con comprobar si hay un conjunto de seminormas que generan la topología, es decir, un conjunto de seminormas que son una subbase de la topología. ${\displaystyle p}$

En lugar de utilizar espacios de Banach y operadores nucleares arbitrarios, podemos dar una definición en términos de espacios de Hilbert y operadores de clases de trazas , que son más fáciles de entender. (En los espacios de Hilbert, los operadores nucleares a menudo se denominan operadores de clases de traza). Diremos que una seminorma es una seminorma de Hilbert si es un espacio de Hilbert, o de manera equivalente si proviene de una forma semidefinida positiva sesquilineal en ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

Definición 2 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico con una topología definida por una familia de seminormas de Hilbert, de modo que para cualquier seminorma de Hilbert podemos encontrar una seminorma de Hilbert más grande , de modo que el mapa natural de a sea de clase de traza . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}}$ ${\displaystyle X_{p}}$

Algunos autores prefieren utilizar operadores de Hilbert-Schmidt en lugar de operadores de clases de seguimiento. Esto hace poca diferencia, porque cualquier operador de clase de traza es Hilbert-Schmidt, y el producto de dos operadores de Hilbert-Schmidt es de clase de traza.

Definición 3 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico con una topología definida por una familia de seminormas de Hilbert, de modo que para cualquier seminorma de Hilbert podemos encontrar una seminorma de Hilbert más grande , de modo que el mapa natural desde hasta sea Hilbert-Schmidt. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}}$ ${\displaystyle X_{p}}$

Si estamos dispuestos a utilizar el concepto de operador nuclear desde un espacio vectorial topológico localmente convexo arbitrario a un espacio de Banach, podemos dar definiciones más breves como las siguientes:

Definición 4 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que para cualquier seminorma el mapa natural es nuclear . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X\to X_{p}}$

Definición 5 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que cualquier aplicación lineal continua a un espacio de Banach es nuclear.

Grothendieck utilizó una definición similar a la siguiente:

Definición 6 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que para cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo el mapa natural del producto tensor proyectivo al inyectivo de y es un isomorfismo. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

De hecho, es suficiente comprobar esto sólo para espacios de Banach o incluso sólo para el único espacio de Banach de series absolutamente convergentes. ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$

Caracterizaciones

Sea un espacio localmente convexo de Hausdorff. Entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es nuclear;
2. para cualquier espacio localmente convexo, la incrustación del espacio vectorial canónico es una incrustación de TVS cuya imagen es densa en el codominio; ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$
3. para cualquier espacio de Banach, la incrustación del espacio vectorial canónico es un isomorfismo sobreyectivo de TVS; ^[5] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$
4. para cualquier espacio de Hausdorff localmente convexo, la incrustación del espacio vectorial canónico es un isomorfismo sobreyectivo de TVS; ^[5] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$
5. la incorporación canónica de in es un isomorfismo sobreyectivo de TVS; ^[6] ${\displaystyle \ell ^{1}[\mathbb {N} ,X]}$ ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} ,X)}$
6. el mapa canónico de es un isomorfismo TVS sobreyectivo. ^[6] ${\displaystyle \ell ^{1}{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\to \ell ^{1}{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }X}$
7. para cualquier seminorma podemos encontrar una seminorma mayor de modo que el mapa natural sea nuclear ; ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$
8. para cualquier seminorma podemos encontrar una seminorma mayor de modo que la inyección canónica sea nuclear; ^[5] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{p}^{\prime }\to X_{q}^{\prime }}$
9. la topología de está definida por una familia de seminormas de Hilbert, de modo que para cualquier seminorma de Hilbert podemos encontrar una seminorma de Hilbert más grande, de modo que el mapa natural sea de clase de traza ; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$
10. ${\displaystyle X}$tiene una topología definida por una familia de seminormas de Hilbert, de modo que para cualquier seminorma de Hilbert podemos encontrar una seminorma de Hilbert más grande , de modo que el mapa natural sea Hilbert-Schmidt; ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$
11. para cualquier seminorma el mapa natural es nuclear . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X\to X_{p}}$
12. cualquier aplicación lineal continua a un espacio de Banach es nuclear;
13. toda seminorma continua es prenuclear; ^[7] ${\displaystyle X}$
14. cada subconjunto equicontinuo de es prenuclear; ^[7] ${\displaystyle X^{\prime }}$
15. toda aplicación lineal desde un espacio de Banach hacia el que transforma la bola unitaria en un conjunto equicontinuo, es nuclear; ^[5] ${\displaystyle X^{\prime }}$
16. la finalización de es un espacio nuclear; ${\displaystyle X}$

Si es un espacio de Fréchet entonces son equivalentes los siguientes: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es nuclear;
2. cada secuencia sumable es absolutamente sumable; ^[6] ${\displaystyle X}$
3. el dual fuerte de es nuclear; ${\displaystyle X}$

Condiciones suficientes

• Un espacio de Hausdorff localmente convexo es nuclear si y sólo si su terminación es nuclear.
• Cada subespacio de un espacio nuclear es nuclear. ^[8]
• Cada espacio del cociente de Hausdorff de un espacio nuclear es nuclear. ^[8]
• El límite inductivo de una secuencia contable de espacios nucleares es nuclear. ^[8]
• La suma directa localmente convexa de una secuencia contable de espacios nucleares es nuclear. ^[8]
• El fuerte dual de un espacio Fréchet nuclear es nuclear. ^[9]
  • En general, el fuerte dual de un espacio nuclear puede no ser nuclear. ^[9]
• Un espacio Fréchet cuyo dual fuerte es nuclear es en sí mismo nuclear. ^[9]
• El límite de una familia de espacios nucleares es nuclear. ^[8]
• El producto de una familia de espacios nucleares es nuclear. ^[8]
• La realización de un espacio nuclear es nuclear (y de hecho, un espacio es nuclear si y sólo si su realización es nuclear).
• El producto tensorial de dos espacios nucleares es nuclear.
• El producto tensorial proyectivo , así como su terminación, de dos espacios nucleares es nuclear. ^[10]

Supongamos que y son espacios localmente convexos y son nucleares. ${\displaystyle X,Y,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

• Si es nuclear, entonces el espacio vectorial de aplicaciones lineales continuas dotadas de la topología de convergencia simple es un espacio nuclear. ^[9] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X,N)}$
• Si es un espacio semirreflexivo cuyo dual fuerte es nuclear y si es nuclear, entonces el espacio vectorial de mapas lineales continuos (dotado de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de ) es un espacio nuclear. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle L_{b}(X,N)}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos

Si es un conjunto de cualquier cardinalidad, entonces y (con la topología del producto ) son ambos espacios nucleares. ^[12] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$

Un ejemplo de dimensión infinita relativamente simple de un espacio nuclear es el espacio de todas las secuencias decrecientes rápidamente ("Decreciente rápidamente" significa que está acotado para cualquier polinomio ). Para cada número real es posible definir una norma mediante ${\displaystyle c=\left(c_{1},c_{2},\ldots \right).}$ ${\displaystyle c_{n}p(n)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{s}}$

$${\displaystyle \|c\|_{s}=\sup _{}\left|c_{n}\right|n^{s}}$$

${\displaystyle C_{s},}$ ${\displaystyle C_{s}\to C_{t}}$ ${\displaystyle s\geq t,}$ ${\displaystyle s>t+1}$ ${\displaystyle \sum n^{t-s}}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{t}}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{t+1},}$ ${\displaystyle C_{t+2}\to C_{t}}$

• El espacio de funciones suaves en cualquier variedad compacta es nuclear.
• El espacio de Schwartz de funciones suaves en el que las derivadas de todos los órdenes disminuyen rápidamente es un espacio nuclear. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• El espacio de funciones holomorfas enteras en el plano complejo es nuclear.
• El espacio de distribuciones del dual fuerte es el nuclear. ^[11] ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime },}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}},}$

Propiedades

Los espacios nucleares son en muchos aspectos similares a los espacios de dimensión finita y tienen muchas de sus buenas propiedades.

• Todo espacio de Hausdorff de dimensión finita es nuclear.
• Un espacio Fréchet es nuclear si y sólo si su dual fuerte es nuclear.
• Todo subconjunto acotado de un espacio nuclear es precompacto (recordemos que un conjunto es precompacto si su cierre al completar el espacio es compacto). ^[13] Esto es análogo al teorema de Heine-Borel . Por el contrario, ningún espacio normado de dimensión infinita tiene esta propiedad (aunque los espacios de dimensión finita sí la tienen).
• Si es un espacio nuclear cuasi completo (es decir, todos los subconjuntos cerrados y acotados están completos), entonces tiene la propiedad de Heine-Borel . ^[14] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Un espacio de cañón nuclear cuasi completo es un espacio de Montel .
• Cada subconjunto cerrado equicontinuo del dual de un espacio nuclear es un conjunto metrizable compacto (para la topología dual fuerte).
• Todo espacio nuclear es un subespacio de un producto de espacios de Hilbert.
• Todo espacio nuclear admite una base de seminormas formadas por normas de Hilbert.
• Todo espacio nuclear es un espacio de Schwartz.
• Todo espacio nuclear posee la propiedad de aproximación. ^[15]
• Cualquier subespacio y cualquier espacio cociente por un subespacio cerrado de un espacio nuclear es nuclear.
• Si es nuclear y es cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo, entonces el mapa natural desde el producto tensorial proyectivo de A hasta el producto tensorial inyectivo es un isomorfismo. En términos generales, esto significa que sólo hay una forma sensata de definir el producto tensorial. Esta propiedad caracteriza los espacios nucleares. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A.}$
• En la teoría de medidas en espacios vectoriales topológicos, un teorema básico establece que cualquier medida de conjunto de cilindros continuos en el dual de un espacio nuclear de Fréchet se extiende automáticamente a una medida de radón . Esto es útil porque a menudo es fácil construir medidas de conjuntos de cilindros en espacios vectoriales topológicos, pero no son lo suficientemente buenas para la mayoría de las aplicaciones a menos que sean medidas de radón (por ejemplo, ni siquiera son contablemente aditivas en general).

El teorema del núcleo

Gran parte de la teoría de los espacios nucleares fue desarrollada por Alexander Grothendieck mientras investigaba el teorema del núcleo de Schwartz y publicada en (Grothendieck 1955). Tenemos la siguiente generalización del teorema.

Teorema del núcleo de Schwartz : ^[9] Supongamos que es nuclear, es localmente convexo y es una forma bilineal continua en Luego se origina en un espacio de la forma donde y son subconjuntos equicontinuos adecuados de y Equivalentemente, es de la forma, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle X_{A^{\prime }}^{\prime }{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y_{B^{\prime }}^{\prime }}$ ${\displaystyle A^{\prime }}$ ${\displaystyle B^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }.}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle v(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}^{\prime }\right\rangle \left\langle y,y_{i}^{\prime }\right\rangle \quad {\text{ for all }}(x,y)\in X\times Y}$$

${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)\in \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \left\{x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime },\ldots \right\}}$ ${\displaystyle \left\{y_{1}^{\prime },y_{2}^{\prime },\ldots \right\}}$ ${\displaystyle X_{A^{\prime }}^{\prime }}$ ${\displaystyle Y_{B^{\prime }}^{\prime },}$

Teorema de Bochner-Minlos

Cualquier funcional definido positivo continuo en un espacio nuclear se llama funcional característico si y para cualquier complejo ^{[16] [17]} ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C(0)=1,}$ ${\displaystyle z_{j}{\text{ and }}x_{j}\in A,}$ ${\displaystyle j,k=1,\ldots ,n,}$

$${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}z_{j}{\bar {z}}_{k}C(x_{j}-x_{k})\geq 0.}$$

Dada una característica funcional en un espacio nuclear, el teorema de Bochner-Minlos (después de Salomon Bochner y Robert Adol'fovich Minlos ) garantiza la existencia y unicidad de una medida de probabilidad correspondiente en el espacio dual dada por ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A^{\prime },}$

$${\displaystyle C(y)=\int _{A^{\prime }}e^{i\langle x,y\rangle }\,d\mu (x).}$$

Esto extiende la transformada inversa de Fourier a espacios nucleares.

En particular, si el espacio nuclear ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A=\bigcap _{k=0}^{\infty }H_{k},}$$

espacio dualmedida de ruido blancoelemento aleatoriodistribución aleatoria ${\displaystyle H_{k}}$ ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}\|y\|_{H_{0}}^{2}},}$ ${\displaystyle A}$

Espacios fuertemente nucleares

Un espacio fuertemente nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que para cualquier seminorma existe una seminorma más grande, de modo que el mapa natural es fuertemente nuclear . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$

Ver también

• Espacio normado auxiliar
• Kernel de Fredholm  : tipo de kernel en un espacio de BanachPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Producto tensor inyectivo
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Operador nuclear
• Producto tensorial proyectivo  : producto tensorial definido en dos espacios vectoriales topológicosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio de Hilbert aparejado  : construcción que vincula el estudio de valores propios "ligados" y continuos en el análisis funcional
• Clase de seguimiento  : operador compacto para el que se puede definir un seguimiento finito
• Espacio vectorial topológico  : espacio vectorial con noción de cercanía

Referencias

1. Tréves 2006, pag. 531.
2. Trèves 2006, págs. 509–510.
3. Costello, Kevin (2011). Renormalización y teoría de campos efectiva. Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. ISBN 978-0-8218-5288-0. OCLC  692084741.
4. Schaefer y Wolff 1999, pág. 170.
5. Trèves 2006, pag. 511.
6. Schaefer y Wolff 1999, pág. 184.
7. Schaefer y Wolff 1999, pág. 178.
8. Schaefer y Wolff 1999, pág. 103.
9. Schaefer y Wolff 1999, pág. 172.
10. Schaefer y Wolff 1999, pág. 105.
11. Schaefer y Wolff 1999, pág. 173.
12. Schaefer y Wolff 1999, pág. 100.
13. Schaefer y Wolff 1999, pág. 101.
14. Tréves 2006, pag. 520.
15. Schaefer y Wolff 1999, pág. 110.
16. Holden y col. 2009, pág. 258.
17. TR Johansen, El teorema de Bochner-Minlos para espacios nucleares y un espacio abstracto de ruido blanco , 2003.

Bibliografía

• Becnel, Jeremy (2021). Herramientas para el análisis de dimensiones infinitas . Prensa CRC. ISBN 978-0-367-54366-2. OCLC  1195816154.
• Grothendieck, Alejandro (1955). "Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires". Memorias de la Sociedad Matemática Estadounidense . dieciséis .
• Diéstel, Joe (2008). "La teoría métrica de los productos tensoriales: el currículum de Grothendieck revisado" . Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. ISBN 978-0-8218-4440-3. OCLC  185095773.
• Dubinsky, Ed (1979). La estructura de los espacios nucleares de Fréchet . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09504-7. OCLC  5126156.
• Grothendieck, Grothendieck (1966). Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (en francés). Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-1216-5. OCLC  1315788.
• Holden, Helge; Øksendal, Bernt; Uboe, enero; Zhang, Tusheng (2009). Ecuaciones diferenciales parciales estocásticas . Londres Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-89488-1.
• Husain, Taqdir (1978). Cañón en espacios vectoriales topológicos y ordenados . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7. OCLC  4493665.
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Apuntes de conferencias de matemáticas . vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Nlend, H (1977). Bornologías y análisis funcional: curso de introducción a la teoría de la dualidad topología-bornología y su uso en el análisis funcional . Amsterdam Nueva York Nueva York: Pub del norte de Holanda. Co. Distribuidores exclusivos para EE. UU. y Canadá, Elsevier-North Holland. ISBN 0-7204-0712-5. OCLC  2798822.
• Nlend, H (1981). Espacios nucleares y connucleares: cursos de introducción a los espacios nucleares y connucleares a la luz de la dualidad . Ámsterdam Nueva York Nueva York, Nueva York: Pub de Holanda Septentrional. Co. Distribuidores exclusivos para EE. UU. y Canadá, Elsevier Holanda Septentrional. ISBN 0-444-86207-2. OCLC  7553061.
• Gel'fand, IM; Vilenkin, N. Ya. (1964). Funciones generalizadas - vol. 4: Aplicaciones del análisis armónico . Nueva York: Academic Press. OCLC  310816279.
• Takeyuki Hida y Si Si, Conferencias sobre las funciones del ruido blanco , World Scientific Publishing, 2008. ISBN 978-981-256-052-0 
• GL Litvinov (2001) [1994], "Espacio nuclear", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Pietsch, Albrecht (1972) [1965]. Espacios nucleares localmente convexos. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. vol. 66. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-05644-9. SEÑOR  0350360.
• Pietsch, Albrecht (1972). Espacios nucleares localmente convexos . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC  539541.
• Robertson, AP; WJ Robertson (1964). Espacios vectoriales topológicos . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 53. Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 141.
• Robertson, AP (1973). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Inglaterra: University Press. ISBN 0-521-29882-2. OCLC  589250.
• Ryan, Raymond (2002). Introducción a los productos tensoriales de los espacios de Banach . Londres Nueva York: Springer. ISBN 1-85233-437-1. OCLC  48092184.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wang (1979). Espacios de Schwartz, espacios nucleares y productos tensoriales . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC  5126158.