Paradoja de los gemelos

Experimento mental sobre relatividad especial

Durante la misión de un año a la ISS , el astronauta Scott Kelly  (derecha) envejeció aproximadamente 8 milisegundos y medio menos que su hermano gemelo Mark  (izquierda), que se encontraba en la Tierra, debido a efectos relativistas. ^[1]

En física, la paradoja de los gemelos es un experimento mental de relatividad especial que involucra a gemelos, uno de los cuales realiza un viaje espacial a velocidades relativistas y regresa a casa para descubrir que el gemelo que permaneció en la Tierra ha envejecido más. Este resultado parece desconcertante porque cada gemelo ve al otro gemelo en movimiento y, por lo tanto, como consecuencia de una aplicación incorrecta ^{[2] [3]} e ingenua ^{[4] [5]} de la dilatación del tiempo y el principio de relatividad , cada uno debería encontrar paradójicamente que el otro ha envejecido menos. Sin embargo, este escenario se puede resolver dentro del marco estándar de la relatividad especial: la trayectoria del gemelo viajero involucra dos marcos inerciales diferentes , uno para el viaje de ida y otro para el viaje de vuelta. ^[6] Otra forma de entender la paradoja es darse cuenta de que el gemelo viajero está experimentando aceleración , lo que lo convierte en un observador no inercial. En ambos puntos de vista no hay simetría entre las trayectorias espaciotemporales de los gemelos. Por lo tanto, la paradoja de los gemelos no es en realidad una paradoja en el sentido de una contradicción lógica. Todavía hay debate sobre su resolución. ^[7]

A partir de Paul Langevin en 1911, se han dado varias explicaciones de esta paradoja. Estas explicaciones "se pueden agrupar en aquellas que se centran en el efecto de diferentes estándares de simultaneidad en diferentes sistemas de referencia, y aquellas que designan la aceleración [experimentada por el gemelo viajero] como la razón principal". ^[8] Max von Laue argumentó en 1913 que, dado que el gemelo viajero debe estar en dos sistemas inerciales separados, uno en el camino de ida y otro en el de vuelta, este cambio de sistema es la razón de la diferencia de envejecimiento. ^[9] Las explicaciones propuestas por Albert Einstein y Max Born invocaron la dilatación del tiempo gravitacional para explicar el envejecimiento como un efecto directo de la aceleración. ^[10] Sin embargo, se ha demostrado que ni la relatividad general, ^{[11] [12] [13] [14] [15]} ni siquiera la aceleración, son necesarias para explicar el efecto, ya que el efecto sigue siendo válido si dos astronautas se cruzan en el punto de retorno y sincronizan sus relojes en ese punto. La situación en el punto de retorno puede considerarse como una situación en la que un par de observadores , uno que se aleja del punto de partida y otro que se acerca a él, pasan uno al lado del otro, y donde la lectura del reloj del primer observador se transfiere a la del segundo, ambos manteniendo una velocidad constante, y ambos tiempos de viaje se suman al final de su recorrido. ^[16]

Historia

En su famoso artículo sobre la relatividad especial de 1905, Albert Einstein dedujo que para dos relojes estacionarios y sincrónicos que se colocan en los puntos A y B, si el reloj en A se mueve a lo largo de la línea AB y se detiene en B, el reloj que se mueve desde A se retrasará con respecto al reloj en B. Afirmó que este resultado también se aplicaría si el camino de A a B fuera poligonal o circular. ^{[A 1]} Einstein consideró que esto era una consecuencia natural de la relatividad especial, no una paradoja como algunos sugirieron, y en 1911, reiteró y elaboró ​​este resultado de la siguiente manera (con los comentarios del físico Robert Resnick siguiendo los de Einstein): ^{[A 2] [17]}

Einstein: Si colocáramos un organismo vivo en una caja... podríamos hacer que, después de un vuelo arbitrario y prolongado, el organismo pudiera regresar a su lugar original en una condición apenas alterada, mientras que los organismos correspondientes que habían permanecido en sus posiciones originales ya habían dado paso a nuevas generaciones desde hacía mucho tiempo. Para el organismo en movimiento, el largo tiempo del viaje era un mero instante, siempre que el movimiento se produjera aproximadamente a la velocidad de la luz.
Resnick: Si el organismo estacionario es un hombre y el que viaja es su gemelo, entonces el viajero regresa a casa y encuentra a su hermano gemelo mucho más viejo que él. La paradoja se centra en la afirmación de que, en relatividad, cualquiera de los gemelos podría considerar al otro como el viajero, en cuyo caso cada uno debería encontrar al otro más joven, una contradicción lógica. Esta afirmación presupone que las situaciones de los gemelos son simétricas e intercambiables, una suposición que no es correcta. Además, se han realizado los experimentos accesibles y respaldan la predicción de Einstein.

En 1911, Paul Langevin dio un "ejemplo sorprendente" al describir la historia de un viajero que hizo un viaje a un factor de Lorentz de γ = 100 (99,995% de la velocidad de la luz). El viajero permanece en un proyectil durante un año de su tiempo y luego invierte la dirección. Al regresar, el viajero descubrirá que ha envejecido dos años, mientras que en la Tierra han pasado 200 años. Durante el viaje, tanto el viajero como la Tierra siguen enviándose señales entre sí a una velocidad constante, lo que coloca la historia de Langevin entre las versiones de efecto Doppler de la paradoja de los gemelos. Los efectos relativistas sobre las velocidades de las señales se utilizan para explicar las diferentes velocidades de envejecimiento. La asimetría que se produjo porque solo el viajero experimentó aceleración se utiliza para explicar por qué existe alguna diferencia, ^{[18] [19]} porque "cualquier cambio de velocidad o cualquier aceleración tiene un significado absoluto". ^{[A 3]}

Max von Laue (1911, 1913) elaboró ​​la explicación de Langevin. Utilizando el formalismo espacio-temporal de Hermann Minkowski , Laue continuó demostrando que las líneas del universo de los cuerpos en movimiento inercial maximizan el tiempo propio transcurrido entre dos eventos. También escribió que el envejecimiento asimétrico se explica completamente por el hecho de que el gemelo astronauta viaja en dos marcos separados, mientras que el gemelo terrestre permanece en un marco, y el tiempo de aceleración puede hacerse arbitrariamente pequeño en comparación con el tiempo de movimiento inercial . ^{[A 4] [A 5] [A 6]} Finalmente, Lord Halsbury y otros eliminaron cualquier aceleración introduciendo el enfoque de los "tres hermanos". El gemelo viajero transfiere la lectura de su reloj a un tercero, viajando en la dirección opuesta. Otra forma de evitar los efectos de la aceleración es el uso del efecto Doppler relativista (ver § Cómo se ve: el desplazamiento Doppler relativista a continuación) .

Ni Einstein ni Langevin consideraron que tales resultados fueran problemáticos: Einstein sólo los llamó "peculiares", mientras que Langevin los presentó como una consecuencia de la aceleración absoluta. ^{[A 7]} Ambos argumentaron que, a partir de la diferencia temporal ilustrada por la historia de los gemelos, no se podía construir ninguna contradicción interna. En otras palabras, ni Einstein ni Langevin vieron la historia de los gemelos como un desafío a la autoconsistencia de la física relativista.

Ejemplo específico

Consideremos una nave espacial que viaja desde la Tierra hasta el sistema estelar más cercano: una distancia d = 4 años luz de distancia, a una velocidad v = 0,8 c (es decir, el 80% de la velocidad de la luz).

Para simplificar los números, se supone que el barco alcanza su velocidad máxima en un tiempo insignificante al partir (aunque en realidad tardaría unos 9 meses acelerando a 1  g para alcanzar la velocidad máxima). De manera similar, al final del viaje de ida, se supone que el cambio de dirección necesario para iniciar el viaje de regreso ocurre en un tiempo insignificante. Esto también se puede modelar suponiendo que el barco ya está en movimiento al comienzo del experimento y que el evento de regreso se modela mediante una aceleración de distribución delta de Dirac . ^[20]

Las partes observarán la situación de la siguiente manera: ^{[21] [22]}

Perspectiva de la Tierra

El control de la misión en la Tierra razona sobre el viaje de esta manera: el viaje de ida y vuelta durará t = 2 d / v = 10 años en tiempo terrestre ( es decir, todos los que se queden en la Tierra tendrán 10 años más cuando la nave regrese). La cantidad de tiempo medida en los relojes de la nave y el envejecimiento de los viajeros durante su viaje se reducirán por el factor , el recíproco del factor de Lorentz ( dilatación del tiempo ). En este caso α = 0,6 y los viajeros habrán envejecido solo 0,6 × 10 = 6 años cuando regresen. ${\displaystyle \alpha =\scriptstyle {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

La perspectiva de los viajeros

Los miembros de la tripulación de la nave también calculan los detalles de su viaje desde su perspectiva. Saben que el sistema estelar distante y la Tierra se mueven con respecto a la nave a una velocidad v durante el viaje. En su sistema de referencia en reposo, la distancia entre la Tierra y el sistema estelar es α d = 0,6 × 4 = 2,4 años luz ( contracción de longitud ), tanto para el viaje de ida como para el de vuelta. Cada mitad del viaje dura α d / v = 2,4 / 0,8 = 3 años , y el viaje de ida y vuelta dura el doble (6 años). Sus cálculos muestran que llegarán a casa habiendo envejecido 6 años. El cálculo final de los viajeros sobre su envejecimiento coincide completamente con los cálculos de los que están en la Tierra, aunque experimentan el viaje de forma bastante diferente a los que se quedan en casa.

Conclusión

No importa qué método utilicen para predecir las lecturas del reloj, todo el mundo estará de acuerdo. Si nacen gemelos el día que sale la nave, y uno emprende el viaje mientras el otro se queda en la Tierra, se volverán a encontrar cuando el viajero tenga 6 años y el gemelo que se queda en casa tenga 10.

Resolución de la paradoja en la relatividad especial

El aspecto paradójico de la situación de los gemelos surge del hecho de que en cualquier momento dado el reloj del gemelo viajero va más lento en el marco inercial del gemelo terrestre, pero basándose en el principio de relatividad se podría argumentar igualmente que el reloj del gemelo terrestre va más lento en el marco inercial del gemelo viajero. ^{[23] [24] [25]} Una solución propuesta se basa en el hecho de que el gemelo terrestre está en reposo en el mismo marco inercial durante todo el viaje, mientras que el gemelo viajero no: en la versión más simple del experimento mental, el gemelo viajero cambia en el punto medio del viaje de estar en reposo en un marco inercial que se mueve en una dirección (alejándose de la Tierra) a estar en reposo en un marco inercial que se mueve en la dirección opuesta (hacia la Tierra). En este enfoque, determinar qué observador cambia de marco y cuál no es crucial. Aunque ambos gemelos pueden afirmar legítimamente que están en reposo en su propio marco, solo el gemelo viajero experimenta aceleración cuando se encienden los motores de la nave espacial. Esta aceleración, medible con un acelerómetro, hace que su sistema de referencia en reposo sea temporalmente no inercial, lo que revela una asimetría crucial entre las perspectivas de los gemelos: aunque podemos predecir la diferencia de envejecimiento desde ambas perspectivas, necesitamos utilizar métodos diferentes para obtener resultados correctos.

Papel de la aceleración

Aunque algunas soluciones atribuyen un papel crucial a la aceleración del gemelo viajero en el momento del giro, ^{[23] [24] [25] [26]} otras señalan que el efecto también surge si uno imagina dos viajeros separados, uno que va hacia afuera y otro que viene hacia adentro, que se cruzan y sincronizan sus relojes en el punto correspondiente al "giro" de un solo viajero. En esta versión, la aceleración física del reloj viajero no juega un papel directo; ^{[27] [28] [20]} "la cuestión es cuán largas son las líneas del mundo, no cuán dobladas están". ^[29] La longitud a la que se hace referencia aquí es la longitud invariante de Lorentz o "intervalo de tiempo propio" de una trayectoria que corresponde al tiempo transcurrido medido por un reloj que sigue esa trayectoria (ver la Sección Diferencia en el tiempo transcurrido como resultado de las diferencias en las trayectorias espacio-temporales de los gemelos más adelante). En el espacio-tiempo de Minkowski, el gemelo viajero debe sentir una historia diferente de aceleraciones que el gemelo terrestre, incluso si esto solo significa aceleraciones del mismo tamaño separadas por diferentes cantidades de tiempo, ^[29] sin embargo "incluso este papel para la aceleración puede eliminarse en formulaciones de la paradoja de los gemelos en el espacio-tiempo curvo, donde los gemelos pueden caer libremente a lo largo de geodésicas espacio-temporales entre encuentros". ^[8]

Relatividad de la simultaneidad

Diagrama de Minkowski de la paradoja de los gemelos. Existe una diferencia entre las trayectorias de los gemelos: la trayectoria de la nave se divide equitativamente entre dos sistemas inerciales diferentes, mientras que el gemelo basado en la Tierra permanece en el mismo sistema inercial.

Para entender momento a momento cómo se desarrolla la diferencia de tiempo entre los gemelos, hay que entender que en la relatividad especial no existe el concepto de presente absoluto . Para diferentes marcos inerciales hay diferentes conjuntos de eventos que son simultáneos en ese marco. Esta relatividad de la simultaneidad significa que cambiar de un marco inercial a otro requiere un ajuste en qué porción del espacio-tiempo cuenta como el "presente". En el diagrama de espacio-tiempo de la derecha, dibujado para el marco de referencia del gemelo basado en la Tierra, la línea del mundo de ese gemelo coincide con el eje vertical (su posición es constante en el espacio, moviéndose solo en el tiempo). En la primera etapa del viaje, el segundo gemelo se mueve hacia la derecha (línea inclinada negra); y en la segunda etapa, de nuevo hacia la izquierda. Las líneas azules muestran los planos de simultaneidad para el gemelo viajero durante la primera etapa del viaje; las líneas rojas, durante la segunda etapa. Justo antes de dar la vuelta, el gemelo viajero calcula la edad del gemelo basado en la Tierra midiendo el intervalo a lo largo del eje vertical desde el origen hasta la línea azul superior. Justo después del giro, si vuelve a calcular, medirá el intervalo desde el origen hasta la línea roja inferior. En cierto sentido, durante el giro en U, el plano de simultaneidad salta del azul al rojo y barre muy rápidamente un gran segmento de la línea del universo del gemelo basado en la Tierra. Cuando uno pasa del marco inercial saliente al marco inercial entrante, hay una discontinuidad de salto en la edad del gemelo basado en la Tierra ^{[23] [24] [28] [30] [31]} (6,4 años en el ejemplo anterior).

Un enfoque no espaciotemporal

Como se mencionó anteriormente, una aventura de paradoja de gemelos de "ida y vuelta" puede incorporar la transferencia de la lectura del reloj de un astronauta "saliente" a un astronauta "entrante", eliminando así el efecto de la aceleración. Además, la aceleración física de los relojes no contribuye a los efectos cinemáticos de la relatividad especial. Más bien, en la relatividad especial, la diferencia de tiempo entre dos relojes reunidos se produce puramente por el movimiento inercial uniforme, como se analiza en el artículo original de Einstein sobre la relatividad de 1905, ^[27] así como en todas las derivaciones cinemáticas posteriores de las transformaciones de Lorentz.

Debido a que los diagramas espacio-temporales incorporan la sincronización de relojes de Einstein (con su metodología de red de relojes), habrá un salto necesario en la lectura del tiempo del reloj de la Tierra realizado por un "astronauta que regresa repentinamente" que hereda un "nuevo significado de simultaneidad" de acuerdo con una nueva sincronización de relojes dictada por la transferencia a un marco inercial diferente, como se explica en Spacetime Physics de John A. Wheeler. ^[30]

Si, en lugar de incorporar la sincronización de relojes de Einstein (red de relojes), el astronauta (el que sale y el que llega) y la parte terrestre se informan periódicamente entre sí sobre el estado de sus relojes mediante el envío de señales de radio (que viajan a la velocidad de la luz), entonces todas las partes notarán una acumulación incremental de asimetría en el registro del tiempo, comenzando en el punto de "cambio de dirección". Antes del "cambio de dirección", cada parte considera que el reloj de la otra parte registra el tiempo de manera diferente al suyo, pero la diferencia observada es simétrica entre las dos partes. Después del "cambio de dirección", las diferencias observadas no son simétricas y la asimetría crece de manera incremental hasta que las dos partes se reúnen. Cuando finalmente se reúnen, esta asimetría se puede ver en la diferencia real que se muestra en los dos relojes reunidos. ^[32]

La equivalencia entre el envejecimiento biológico y el cronometraje del reloj

Todos los procesos (químicos, biológicos, el funcionamiento de los aparatos de medición, la percepción humana que implica el ojo y el cerebro, la comunicación de la fuerza) están limitados por la velocidad de la luz. Hay un reloj que funciona en cada nivel, que depende de la velocidad de la luz y del retraso inherente incluso a nivel atómico. Por lo tanto, el envejecimiento biológico no es en modo alguno diferente del cronometraje de un reloj. ^[33] Esto significa que el envejecimiento biológico se ralentizaría de la misma manera que un reloj.

Cómo se ve: el efecto Doppler relativista

En vista de la dependencia del marco de la simultaneidad para eventos en diferentes lugares del espacio, algunos tratamientos prefieren un enfoque más fenomenológico, describiendo lo que los gemelos observarían si cada uno enviara una serie de pulsos de radio regulares, igualmente espaciados en el tiempo de acuerdo con el reloj del emisor. ^[28] Esto es equivalente a preguntar, si cada gemelo se enviara un video de sí mismos al otro, ¿qué verían en sus pantallas? O, si cada gemelo siempre llevara un reloj que indicara su edad, ¿qué hora vería cada uno en la imagen de su gemelo distante y su reloj?

Poco después de la partida, el gemelo viajero ve al gemelo que se queda en casa sin retraso temporal. Al llegar, la imagen en la pantalla de la nave muestra al gemelo que se queda como estaba 1 año después del lanzamiento, porque la radio emitida desde la Tierra 1 año después del lanzamiento llega a la otra estrella 4 años después y se encuentra allí con la nave. Durante esta etapa del viaje, el gemelo viajero ve que su propio reloj avanza 3 años y el reloj en la pantalla avanza 1 año, por lo que parece avanzar a 1 ⁄ 3 de la velocidad normal, solo 20 segundos de imagen por minuto de la nave. Esto combina los efectos de la dilatación del tiempo debido al movimiento (por el factor ε = 0,6 , cinco años en la Tierra son 3 años en la nave) y el efecto del aumento del retraso del tiempo de la luz (que aumenta de 0 a 4 años).

Por supuesto, la frecuencia observada de la transmisión es también 1 ⁄ 3 de la frecuencia del transmisor (una reducción en la frecuencia; "desplazamiento al rojo"). Esto se llama efecto Doppler relativista . La frecuencia de los tictac del reloj (o de los frentes de onda) que se ve desde una fuente con frecuencia de reposo f _reposo es

${\displaystyle f_{\mathrm {obs} }=f_{\mathrm {rest} }{\sqrt {\left({1-v/c}\right)/\left({1+v/c}\right)}}}$

cuando la fuente se aleja directamente. Esto es f _obs = 1 ⁄ 3 f _{en reposo} para v / c = 0,8.

En cuanto al gemelo que se queda en casa, recibe una señal ralentizada de la nave durante 9 años, a una frecuencia de 1/3 de la frecuencia del transmisor. Durante estos 9 años, el reloj del gemelo viajero en la pantalla parece avanzar 3 años, por lo que ambos gemelos ven la imagen de su hermano envejeciendo a una velocidad de solo 1/3 de su propia velocidad. Expresado de otra manera, ambos verían el reloj del otro correr a 1/3 de su propia velocidad de reloj . Si excluyen del cálculo el hecho de que el retraso del tiempo de luz de la transmisión aumenta a una velocidad de 0,8 segundos por segundo, ambos pueden deducir que el otro gemelo está envejeciendo más lentamente, a una velocidad del 60%.

Luego la nave gira de regreso a casa. El reloj del gemelo que se quedó muestra en la pantalla de la nave "1 año después del lanzamiento", y durante los 3 años del viaje de regreso aumenta hasta "10 años después del lanzamiento", por lo que el reloj en la pantalla parece avanzar 3 veces más rápido de lo habitual.

Cuando la fuente se mueve hacia el observador, la frecuencia observada es más alta ("desplazada al azul") y está dada por

${\displaystyle f_{\mathrm {obs} }=f_{\mathrm {rest} }{\sqrt {\left({1+v/c}\right)/\left({1-v/c}\right)}}}$

Esto es f _obs = 3 f _rest para v / c = 0,8.

En cuanto a la pantalla de la Tierra, muestra que el viaje de regreso comenzó 9 años después del lanzamiento, y el reloj de viaje en la pantalla muestra que han pasado 3 años en la nave. Un año después, la nave está de regreso en casa y el reloj marca 6 años. Entonces, durante el viaje de regreso, ambos gemelos ven que el reloj de su hermano va 3 veces más rápido que el suyo. Si se tiene en cuenta el hecho de que el retraso del tiempo de la luz disminuye 0,8 segundos cada segundo, cada gemelo calcula que el otro gemelo está envejeciendo a un 60% de su propia velocidad de envejecimiento.

Trayectorias de luz para las imágenes intercambiadas durante el viaje
. Izquierda: Tierra a nave. Derecha: Nave a Tierra.
Las líneas rojas indican que se reciben imágenes de baja frecuencia, las líneas azules indican que se reciben imágenes de alta frecuencia.

Los diagramas x – t (espacio-tiempo) de la derecha muestran las trayectorias de las señales luminosas que viajan entre la Tierra y la nave (primer diagrama) y entre la nave y la Tierra (segundo diagrama). Estas señales llevan las imágenes de cada gemelo y su reloj de edad al otro gemelo. La línea vertical negra es la trayectoria de la Tierra a través del espacio-tiempo y los otros dos lados del triángulo muestran la trayectoria de la nave a través del espacio-tiempo (como en el diagrama de Minkowski anterior). En lo que respecta al emisor, las transmite a intervalos iguales (por ejemplo, una vez por hora) según su propio reloj; pero según el reloj del gemelo que recibe estas señales, no se reciben a intervalos iguales.

Una vez que el barco ha alcanzado su velocidad de crucero de 0,8 c , cada gemelo vería pasar 1 segundo en la imagen recibida del otro gemelo por cada 3 segundos de su propio tiempo. Es decir, cada uno vería la imagen del reloj del otro atrasarse, no solo por el factor ε 0,6, sino incluso más lenta porque el retardo de tiempo de la luz aumenta 0,8 segundos por segundo. Esto se muestra en las figuras mediante trayectorias de luz roja. En algún momento, las imágenes recibidas por cada gemelo cambian de modo que cada uno vería pasar 3 segundos en la imagen por cada segundo de su propio tiempo. Es decir, la señal recibida ha aumentado en frecuencia por el desplazamiento Doppler. Estas imágenes de alta frecuencia se muestran en las figuras mediante trayectorias de luz azul.

La asimetría en las imágenes desplazadas por el Doppler

La asimetría entre la Tierra y la nave espacial se manifiesta en este diagrama por el hecho de que la nave recibe más imágenes desplazadas al azul (envejecimiento rápido). Dicho de otro modo, la nave espacial ve cómo la imagen cambia de un desplazamiento al rojo (envejecimiento más lento de la imagen) a un desplazamiento al azul (envejecimiento más rápido de la imagen) en el punto medio de su viaje (en el momento de la vuelta, 3 años después de la salida); la Tierra ve cómo la imagen de la nave cambia de un desplazamiento al rojo a un desplazamiento al azul después de 9 años (casi al final del período en el que la nave está ausente). En la siguiente sección, se verá otra asimetría en las imágenes: la gemela de la Tierra ve cómo la gemela de la nave envejece en la misma cantidad en las imágenes desplazadas al rojo y al azul; la gemela de la nave ve cómo la gemela de la Tierra envejece en cantidades diferentes en las imágenes desplazadas al rojo y al azul.

Cálculo del tiempo transcurrido a partir del diagrama Doppler

El gemelo en la nave ve imágenes de baja frecuencia (rojas) durante 3 años. Durante ese tiempo, vería que el gemelo de la Tierra en la imagen envejece 3/3 = 1 año . Luego ve imágenes de alta frecuencia (azules) durante el viaje de regreso de 3 años. Durante ese tiempo, vería que el gemelo de la Tierra en la imagen envejece 3 × 3 = 9 años. Cuando finalice el viaje, la imagen del gemelo de la Tierra habrá envejecido 1 + 9 = 10 años.

El gemelo de la Tierra ve 9 años de imágenes lentas (rojas) de la nave gemela, durante las cuales la nave gemela envejece (en la imagen) en 9/3 = 3 años. Luego ve imágenes rápidas (azules) durante el año restante hasta que la nave regresa. En las imágenes rápidas, la nave gemela envejece en 1 × 3 = 3 años. El envejecimiento total de la nave gemela en las imágenes recibidas por la Tierra es de 3 + 3 = 6 años , por lo que la nave gemela regresa más joven (6 años en lugar de 10 años en la Tierra).

La distinción entre lo que ven y lo que calculan

Para evitar confusiones, observe la distinción entre lo que ve cada gemelo y lo que cada uno calcularía. Cada uno ve una imagen de su gemelo que sabe que se originó en un momento anterior y que está desplazada por el efecto Doppler. No toma el tiempo transcurrido en la imagen como la edad actual de su gemelo.

• Si quiere calcular cuándo su gemelo tenía la edad que se muestra en la imagen ( es decir , qué edad tenía él en ese momento), tiene que determinar a qué distancia estaba su gemelo cuando se emitió la señal; en otras palabras, tiene que considerar la simultaneidad para un evento distante.
• Si quiere calcular la velocidad a la que su gemelo estaba envejeciendo cuando se transmitió la imagen, realiza los ajustes necesarios para tener en cuenta el efecto Doppler. Por ejemplo, cuando recibe imágenes de alta frecuencia (que muestran a su gemelo envejeciendo rápidamente) con una frecuencia , no concluye que el gemelo estaba envejeciendo tan rápidamente cuando se generó la imagen, como tampoco concluye que la sirena de una ambulancia esté emitiendo la frecuencia que él oye. Sabe que el efecto Doppler ha aumentado la frecuencia de la imagen en el factor 1 / (1 − v / c ). Por lo tanto, calcula que su gemelo estaba envejeciendo a la velocidad de ${\displaystyle \scriptstyle {f_{\mathrm {rest} }{\sqrt {\left({1+v/c}\right)/\left({1-v/c}\right)}}}}$

${\displaystyle f_{\mathrm {rest} }{\sqrt {\left({1+v/c}\right)/\left({1-v/c}\right)}}\times \left(1-v/c\right)=f_{\mathrm {rest} }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\equiv \epsilon f_{\mathrm {rest} }}$

cuando se emitió la imagen. Un cálculo similar revela que su gemelo envejecía a la misma tasa reducida de εf _{en reposo} en todas las imágenes de baja frecuencia.

Simultaneidad en el cálculo del desplazamiento Doppler

Puede resultar difícil ver dónde entra la simultaneidad en el cálculo del efecto Doppler, y de hecho, a menudo se prefiere este cálculo porque no hay que preocuparse por la simultaneidad. Como se ha visto anteriormente, el gemelo de la nave puede convertir la frecuencia de la imagen que recibe con efecto Doppler en una frecuencia más lenta del reloj del reloj distante para las imágenes rojas y azules. Si ignora la simultaneidad, podría decir que su gemelo estaba envejeciendo a un ritmo reducido durante todo el viaje y, por lo tanto, debería ser más joven que él. Ahora ha vuelto al punto de partida y tiene que tener en cuenta el cambio en su noción de simultaneidad en el momento de la vuelta. La frecuencia que puede calcular para la imagen (corregida por el efecto Doppler) es la frecuencia del reloj del gemelo terrestre en el momento en que se envió, no en el momento en que se recibió. Dado que recibe un número desigual de imágenes con efecto Doppler, debería darse cuenta de que las emisiones con efecto Doppler no se emitieron durante períodos de tiempo iguales para el gemelo terrestre y, por lo tanto, debe tener en cuenta la simultaneidad a distancia.

Punto de vista del gemelo viajero

Durante el cambio de sentido, el gemelo viajero se encuentra en un marco de referencia acelerado . Según el principio de equivalencia , el gemelo viajero puede analizar la fase de cambio de sentido como si el gemelo que se queda en casa estuviera cayendo libremente en un campo gravitatorio y como si el gemelo viajero estuviera estacionario. Un artículo de Einstein de 1918 presenta un esbozo conceptual de la idea. ^{[A 8]} Desde el punto de vista del viajero, un cálculo para cada tramo por separado, ignorando el cambio de sentido, conduce a un resultado en el que los relojes de la Tierra envejecen menos que el viajero. Por ejemplo, si los relojes de la Tierra envejecen 1 día menos en cada tramo, la cantidad de retraso de los relojes de la Tierra asciende a 2 días. La descripción física de lo que sucede en el cambio de sentido tiene que producir un efecto contrario del doble de esa cantidad: 4 días de adelanto de los relojes de la Tierra. Entonces el reloj del viajero terminará con un retraso neto de 2 días en los relojes de la Tierra, de acuerdo con los cálculos realizados en el marco del gemelo que se queda en casa.

El mecanismo para el avance del reloj del gemelo que se queda en casa es la dilatación del tiempo gravitacional . Cuando un observador descubre que los objetos que se mueven inercialmente se aceleran con respecto a sí mismos, esos objetos están en un campo gravitacional en lo que respecta a la relatividad. Para el gemelo viajero en el giro, este campo gravitacional llena el universo. En una aproximación de campo débil, los relojes funcionan a una velocidad de t' = t (1 + Φ / c ² ) donde Φ es la diferencia en el potencial gravitacional. En este caso, Φ = gh donde g es la aceleración del observador viajero durante el giro y h es la distancia al gemelo que se queda en casa. El cohete se dirige hacia el gemelo que se queda en casa, lo que coloca a ese gemelo en un potencial gravitacional más alto. Debido a la gran distancia entre los gemelos, los relojes del gemelo que se queda en casa parecerán estar lo suficientemente acelerados como para explicar la diferencia en los tiempos propios que experimentan los gemelos. No es casualidad que esta aceleración sea suficiente para explicar el cambio de simultaneidad descrito anteriormente. La solución de la relatividad general para un campo gravitacional homogéneo estático y la solución de la relatividad especial para una aceleración finita producen resultados idénticos. ^[34]

Se han realizado otros cálculos para el gemelo viajero (o para cualquier observador que a veces acelera), que no involucran el principio de equivalencia, y que no involucran ningún campo gravitatorio. Tales cálculos se basan únicamente en la teoría especial, no en la teoría general, de la relatividad. Un enfoque calcula superficies de simultaneidad considerando pulsos de luz, de acuerdo con la idea de Hermann Bondi del cálculo k . ^[35] Un segundo enfoque calcula una integral sencilla pero técnicamente complicada para determinar cómo el gemelo viajero mide el tiempo transcurrido en el reloj de la persona que se queda en casa. Un esquema de este segundo enfoque se da en una sección separada a continuación.

Diferencia en el tiempo transcurrido como resultado de las diferencias en las trayectorias espacio-temporales de los gemelos

Paradoja de los gemelos que emplea un cohete siguiendo un perfil de aceleración en términos de tiempo de coordenadas T y estableciendo c=1: Fase 1 (a=0,6, T=2); Fase 2 (a=0, T=2); Fase 3-4 (a=-0,6, 2T=4); Fase 5 (a=0, T=2); Fase 6 (a=0,6, T=2). Los gemelos se encuentran en T=12 y τ=9,33. Los números azules indican el tiempo de coordenadas T en el marco inercial del gemelo que se queda en casa, los números rojos el tiempo propio τ del cohete gemelo y "a" es la aceleración propia. Las líneas rojas delgadas representan líneas de simultaneidad en términos de los diferentes marcos inerciales momentáneos del cohete gemelo. Los puntos marcados con los números azules 2, 4, 8 y 10 indican los momentos en que la aceleración cambia de dirección.

El siguiente párrafo muestra varias cosas:

• Cómo emplear un enfoque matemático preciso para calcular las diferencias en el tiempo transcurrido
• Cómo demostrar exactamente la dependencia del tiempo transcurrido de los diferentes caminos tomados a través del espacio-tiempo por los gemelos
• Cómo cuantificar las diferencias en el tiempo transcurrido
• Cómo calcular el tiempo propio como función (integral) del tiempo de coordenadas

Asociemos el reloj K al "gemelo que se queda en casa". Asociemos el reloj K' al cohete que realiza el viaje. En el evento de partida, ambos relojes se ponen a 0.

Fase 1: El cohete (con reloj K' ) se embarca con aceleración propia constante a durante un tiempo T _a medido por el reloj K hasta que alcanza una cierta velocidad V .

Fase 2: El cohete continúa avanzando a velocidad V durante un tiempo T _c según el reloj K.

Fase 3: El cohete enciende sus motores en la dirección opuesta a K durante un tiempo T _a según el reloj K hasta que está en reposo con respecto al reloj K . La aceleración propia constante tiene el valor − a , en otras palabras el cohete está desacelerando .

Fase 4: El cohete continúa disparando sus motores en dirección opuesta a K , durante el mismo tiempo T _a según el reloj K , hasta que K' recupera la misma velocidad V con respecto a K , pero ahora hacia K (con velocidad − V ).

Fase 5: El cohete continúa avanzando hacia K a la velocidad V durante el mismo tiempo T _c según el reloj K.

Fase 6: El cohete vuelve a encender sus motores en dirección a K , por lo que desacelera con una aceleración propia constante a durante un tiempo T _a , siempre según el reloj K , hasta que ambos relojes se reúnen.

Sabiendo que el reloj K permanece inercial (estacionario), el tiempo propio total acumulado Δ τ del reloj K' estará dado por la función integral del tiempo de coordenadas Δ t

${\displaystyle \Delta \tau =\int {\sqrt {1-(v(t)/c)^{2}}}\ dt\ }$

donde v ( t ) es la velocidad de coordenadas del reloj K' en función de t según el reloj K , y, por ejemplo durante la fase 1, dada por

${\displaystyle v(t)={\frac {at}{\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2}}}}.}$

Esta integral se puede calcular para las 6 fases: ^[36]

Fase 1 ${\displaystyle :\quad c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)\,}$

Fase 2 ${\displaystyle :\quad T_{c}\ {\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}$

Fase 3 ${\displaystyle :\quad c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)\,}$

Fase 4 ${\displaystyle :\quad c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)\,}$

Fase 5 ${\displaystyle :\quad T_{c}\ {\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}$

Fase 6 ${\displaystyle :\quad c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)\,}$

donde a es la aceleración propia, percibida por el reloj K' durante la(s) fase(s) de aceleración y donde se cumplen las siguientes relaciones entre V , a y T _a :

${\displaystyle V=a\ T_{a}/{\sqrt {1+(a\ T_{a}/c)^{2}}}}$

${\displaystyle a\ T_{a}=V/{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}$

Así, el reloj viajero K' mostrará un tiempo transcurrido de

${\displaystyle \Delta \tau =2T_{c}{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}+4c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)}$

que puede expresarse como

${\displaystyle \Delta \tau =2T_{c}/{\sqrt {1+(a\ T_{a}/c)^{2}}}+4c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)}$

mientras que el reloj estacionario K muestra un tiempo transcurrido de

${\displaystyle \Delta t=2T_{c}+4T_{a}\,}$

que es, para cada valor posible de a , T _a , T _c y V , mayor que la lectura del reloj K' :

${\displaystyle \Delta t>\Delta \tau \,}$

Diferencia de tiempos transcurridos: cómo calcularla desde el barco

Paradoja de los gemelos que emplea un cohete siguiendo un perfil de aceleración en términos de tiempo propio τ y estableciendo c=1: Fase 1 (a=0,6, τ=2); Fase 2 (a=0, τ=2); Fase 3-4 (a=-0,6, 2τ=4); Fase 5 (a=0, τ=2); Fase 6 (a=0,6, τ=2). Los gemelos se encuentran en T=17,3 y τ=12.

En la fórmula estándar del tiempo propio

${\displaystyle \Delta \tau =\int _{0}^{\Delta t}{\sqrt {1-\left({\frac {v(t)}{c}}\right)^{2}}}\ dt,\ }$

Δ τ representa el tiempo del observador no inercial (en viaje) K' en función del tiempo transcurrido Δ t del observador inercial (que se queda en casa) K para quien el observador K' tiene velocidad v ( t ) en el tiempo t .

Para calcular el tiempo transcurrido Δ t del observador inercial K en función del tiempo transcurrido Δ τ del observador no inercial K' , donde solo son accesibles las cantidades medidas por K' , se puede utilizar la siguiente fórmula: ^[20]

${\displaystyle \Delta t^{2}=\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right]\,\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{-\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right],\ }$

donde a(τ) es la aceleración propia del observador no inercial K' medida por él mismo (por ejemplo, con un acelerómetro) durante todo el viaje de ida y vuelta. La desigualdad de Cauchy-Schwarz se puede utilizar para demostrar que la desigualdad Δ t > Δ τ se deduce de la expresión anterior:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta t^{2}&=\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right]\,\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{-\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right]\\&>\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,e^{-\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')\,d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right]^{2}=\left[\int _{0}^{\Delta \tau }d{\bar {\tau }}\right]^{2}=\Delta \tau ^{2}.\end{aligned}}}$

Al utilizar la función delta de Dirac para modelar la fase de aceleración infinita en el caso estándar del viajero que tiene una velocidad constante v durante el viaje de ida y de vuelta, la fórmula produce el resultado conocido:

${\displaystyle \Delta t={\frac {1}{\sqrt {1-{\tfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\Delta \tau .\ }$

En el caso en que el observador acelerado K' se aleja de K con velocidad inicial cero, la ecuación general se reduce a la forma más simple:

${\displaystyle \Delta t=\int _{0}^{\Delta \tau }e^{\pm \int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }},\ }$

lo cual, en la versión suave de la paradoja de los gemelos donde el viajero tiene fases de aceleración propias constantes, dadas sucesivamente por a , − a , − a , a , resulta en ^[20]

${\displaystyle \Delta t={\tfrac {4}{a}}\sinh({\tfrac {a}{4}}\Delta \tau )\ }$

donde se utiliza la convención c = 1, de acuerdo con la expresión anterior con fases de aceleración T _a = Δ t /4 y fases inerciales (de inercia) T _c = 0.

Una versión rotacional

Los gemelos Bob y Alice habitan una estación espacial en órbita circular alrededor de un cuerpo masivo en el espacio. Bob se pone el traje y sale de la estación. Mientras Alice permanece dentro de la estación, continuando su órbita como antes, Bob usa un sistema de propulsión de cohetes para dejar de orbitar y flotar donde estaba. Cuando la estación completa una órbita y regresa a Bob, este se reúne con Alice. Alice ahora es más joven que Bob. ^[37] Además de la aceleración rotacional, Bob debe desacelerar para quedarse estacionario y luego acelerar nuevamente para igualar la velocidad orbital de la estación espacial.

No existe paradoja de gemelos en un marco de referencia absoluto

La conclusión de Einstein de que existía una diferencia real en los tiempos de reloj registrados (o envejecimiento) entre las partes reunidas llevó a Paul Langevin a postular un marco de referencia absoluto real, aunque experimentalmente indiscernible:

En 1911, Langevin escribió: "Una traslación uniforme en el éter no tiene sentido experimental. Pero por ello no se debe concluir, como a veces ha sucedido prematuramente, que el concepto de éter debe abandonarse, que el éter es inexistente e inaccesible a la experimentación. Sólo una velocidad uniforme relativa a él no puede detectarse, pero cualquier cambio de velocidad... tiene un sentido absoluto". ^[38]

En 1913 se publicaron los Últimos ensayos póstumos de Henri Poincaré , en los que reafirmaba su postura: «Hoy en día algunos físicos quieren adoptar una nueva convención. No es que se sientan obligados a hacerlo; consideran que esta nueva convención es más conveniente; eso es todo. Y aquellos que no son de esta opinión pueden legítimamente conservar la antigua». ^[39]

En la relatividad de Poincaré y Hendrik Lorentz , que supone un marco de referencia absoluto (aunque experimentalmente indiscernible), no surge ninguna paradoja debido al hecho de que la desaceleración del reloj (junto con la contracción de la longitud y la velocidad) se considera una realidad, de ahí la diferencia de tiempo real entre los relojes reunidos.

En esa interpretación, una parte en reposo con la totalidad del cosmos (en reposo con el baricentro del universo, o en reposo con un posible éter) tendría la máxima velocidad de medición del tiempo y una longitud no contraída. Todos los efectos de la relatividad especial de Einstein (medición consistente de la velocidad de la luz, así como la desaceleración del reloj y la contracción de la longitud medidas simétricamente en los marcos inerciales) encajan en su lugar.

Esta interpretación de la relatividad, que John A. Wheeler llama “teoría del éter B (contracción de la longitud más contracción del tiempo)”, no tuvo tanta aceptación como la de Einstein, que simplemente hizo caso omiso de cualquier realidad más profunda detrás de las mediciones simétricas a través de sistemas inerciales. No existe ninguna prueba física que distinga una interpretación de la otra. ^[40]

En 2005, Robert B. Laughlin (Premio Nobel de Física de la Universidad de Stanford) escribió sobre la naturaleza del espacio: "Resulta irónico que la obra más creativa de Einstein, la teoría general de la relatividad, se reduzca a conceptualizar el espacio como un medio cuando su premisa original [en la relatividad especial] era que no existía tal medio... La palabra 'éter' tiene connotaciones extremadamente negativas en la física teórica debido a su asociación anterior con la oposición a la relatividad. Esto es desafortunado porque, despojada de estas connotaciones, captura bastante bien la forma en que la mayoría de los físicos realmente piensan sobre el vacío... La relatividad en realidad no dice nada sobre la existencia o no existencia de materia que impregna el universo, solo que cualquier materia de ese tipo debe tener simetría relativista (es decir, tal como se mide)". ^[41]

En su libro Special Relativity (1968), AP French escribió: "Obsérvese, sin embargo, que estamos apelando a la realidad de la aceleración de A y a la observabilidad de las fuerzas inerciales asociadas con ella. ¿Existirían efectos como la paradoja de los gemelos (específicamente, la diferencia de tiempo entre relojes reunidos) si no existiera el marco de estrellas fijas y galaxias distantes? La mayoría de los físicos dirían que no. Nuestra definición definitiva de un marco inercial puede ser, de hecho, que se trata de un marco que tiene aceleración cero con respecto a la materia del universo en general". ^[42]

Véase también

• La paradoja de la nave espacial de Bell
• Hipótesis del reloj
• Paradoja de Ehrenfest
• Herbert Dingle
• Paradoja de la escalera
• Lista de paradojas
• La paradoja de Supplee
• Dilatación del tiempo
• Tiempo para las estrellas

Fuentes primarias

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2. Einstein, Alberto (1911). "Die Relativitäts-Theorie". Naturforschende Gesellschaft, Zúrich, Vierteljahresschrift . 56 : 1–14.
3. Langevin, P. (1911), "La evolución del espacio y el tiempo", Scientia , X : 31–54(traducido por JB Sykes, 1973 del original francés: "L'évolution de l'espace et du temps").
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5. Von Laue, Max (1913). Das Relativitätsprinzip (El principio de la relatividad) (2 ed.). Braunschweig, Alemania: Friedrich Vieweg. OCLC  298055497.
6. Von Laue, Max (1913). "Das Relativitätsprinzip (El principio de la relatividad)". Jahrbücher der Philosophie . 1 : 99–128.
7. "Vamos a ver este carácter absoluto de la aceleración manifestarse de otra forma". ("Nous allons voir se manifester sous une autre forme ce caractère absolu de l'accélération."), página 82 de Langevin1911
8. Einstein, A. (1918), "Diálogo sobre las objeciones contra la teoría de la relatividad", Die Naturwissenschaften 48 , págs. 697–702, 29 de noviembre de 1918

Fuentes secundarias

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42. French, AP (1968). Relatividad especial. WW Norton, Nueva York. pág. 156.

Lectura adicional

El reloj ideal

El reloj ideal es un reloj cuyo funcionamiento depende únicamente de su velocidad instantánea y es independiente de cualquier aceleración del reloj.

• Wolfgang Rindler (2006). "Dilatación del tiempo". Relatividad: especial, general y cosmológica . Oxford University Press. pág. 43. ISBN 0-19-856731-6.

Dilatación del tiempo gravitacional; dilatación del tiempo en movimiento circular

• John A Peacock (2001). Física cosmológica. Cambridge University Press. pág. 8. ISBN 0-521-42270-1.
• Silvio Bonometto; Vittorio Gorini; Ugo Moschella (2002). Cosmología moderna. Prensa CRC. pag. 12.ISBN​ 0-7503-0810-9.
• Patrick Cornille (2003). Electromagnetismo avanzado y física del vacío. World Scientific. pág. 180. ISBN 981-238-367-0.

Enlaces externos

• Descripción general de la paradoja de los gemelos Archivado el 24 de septiembre de 2015 en Wayback Machine en las Preguntas frecuentes sobre física de Usenet
• La paradoja de los gemelos: ¿es paradójica la simetría de la dilatación del tiempo? De Einsteinlight: Relatividad en animaciones y clips de películas.
• Animaciones FLASH: de John de Pillis. (Escena 1): "Vista" desde el punto de vista del gemelo terrestre. (Escena 2): "Vista" desde el punto de vista del gemelo viajero.
• Calculadora científica de la relatividad: paradoja del reloj gemelo