Turbulencia cuántica

La turbulencia cuántica ^{[1] [2]} es el nombre que se le da al flujo turbulento (el movimiento caótico de un fluido a altas velocidades de flujo) de los fluidos cuánticos , como los superfluidos . La idea de que una forma de turbulencia podría ser posible en un superfluido a través de las líneas de vórtice cuantizadas fue sugerida por primera vez por Richard Feynman . La dinámica de los fluidos cuánticos está gobernada por la mecánica cuántica , en lugar de la física clásica que gobierna los fluidos clásicos (ordinarios) . Algunos ejemplos de fluidos cuánticos incluyen helio superfluido ( 4 He y pares de Cooper de 3 He ), condensados ​​de Bose-Einstein (BEC), condensados ​​de polaritones y pasta nuclear que se teoriza que existe dentro de las estrellas de neutrones . Los fluidos cuánticos existen a temperaturas inferiores a la temperatura crítica a la que tiene lugar la condensación de Bose-Einstein ^{[3] .} ${\displaystyle T_{c}}$

Propiedades generales de los superfluidos

Fig. 1. Diagrama esquemático de un fluido (azul) en un recipiente cilíndrico. Izquierda: La curva traza un camino cerrado en una región simplemente conectada. El camino se puede reducir hasta el punto y, por lo tanto, se puede aplicar el teorema de Stokes. Para un fluido cuántico, esto indica que la circulación se desvanece. Derecha: La curva traza un camino cerrado en una región con múltiples conexiones (es decir, con agujeros). El camino no se puede reducir debido al agujero y, por lo tanto, el teorema de Stokes no se cumple, lo que lleva a una circulación cuantizada distinta de cero. Para un fluido cuántico, esto sugiere que las estructuras de vórtice actúan como "agujeros". ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$

Fig. 2. Izquierda: Esquema simple de una línea de vórtice recta en el espacio tridimensional, con circulación positiva. Centro: Velocidad azimutal contra el radio. (i) muestra la velocidad del fluido de una rotación de cuerpo sólido. (ii) muestra la velocidad del fluido de un vórtice en fluidos clásicos y cuánticos. (iii) una combinación de (i) y (ii) para formar un modelo de vórtice de Rankine para un tornado con núcleo de tamaño . Derecha: Densidad numérica contra el radio de un fluido cuántico con vórtice . Se puede observar una disminución de la densidad para un radio pequeño . La cantidad representa la densidad del fluido lo suficientemente lejos del núcleo del vórtice . ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle r<a_{0}}$ ${\displaystyle n_{s}}$ ${\displaystyle r>a_{0}}$

Fig. 3. Izquierda: Esquema de un anillo de vórtice de radio que se mueve a una velocidad . Centro: Esquema tridimensional de un anillo de vórtice cuántico. La velocidad del anillo es generada por el propio anillo, que se impulsa a sí mismo a una velocidad que es inversamente proporcional al radio del anillo. El grosor del anillo se ha exagerado mucho con el fin de poder ver la forma similar a un toro. En realidad, para el helio II el grosor es de aproximadamente . Derecha: El perfil de velocidad del anillo de vórtice en función de su tamaño. Se puede ver una relación inversa. Esto sugiere que los anillos más pequeños se mueven a una velocidad mucho mayor, mientras que los anillos más grandes se mueven a una velocidad mucho menor. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle v_{R}}$ ${\displaystyle 10^{-10}{\text{m}}}$

La turbulencia de los fluidos cuánticos se ha estudiado principalmente en dos fluidos cuánticos: helio líquido y condensados ​​atómicos. Se han realizado observaciones experimentales en los dos isótopos estables del helio, el común ⁴ He y el raro ³ He. Este último isótopo tiene dos fases, llamadas fase A y fase B. La fase A es fuertemente anisotrópica y, aunque tiene propiedades hidrodinámicas muy interesantes, los experimentos de turbulencia se han realizado casi exclusivamente en la fase B. El helio se licua a una temperatura de aproximadamente 4 K. A esta temperatura, el fluido se comporta como un fluido clásico con una viscosidad extraordinariamente pequeña, conocido como helio I. Después de un enfriamiento adicional, el helio I sufre una condensación de Bose-Einstein en un superfluido, conocido como helio II. La temperatura crítica para la condensación de Bose-Einstein del helio es de 2,17 K (a la presión de vapor saturada ), mientras que solo es de aproximadamente unos pocos mK para ^{el 3} He-B. ^[4] ${\displaystyle T_{c}}$

Aunque en los condensados ​​atómicos no hay tanta evidencia experimental de turbulencia como en el helio, se han realizado experimentos con rubidio , sodio , cesio , litio y otros elementos. La temperatura crítica para estos sistemas es del orden de micro-Kelvin.

Hay dos propiedades fundamentales de los fluidos cuánticos que los distinguen de los fluidos clásicos: la superfluidez y la circulación cuantificada.

Superfluidez

La superfluidez surge como consecuencia de la relación de dispersión de las excitaciones elementales, y los fluidos que exhiben este comportamiento fluyen sin viscosidad . Esta es una propiedad vital para la turbulencia cuántica, ya que la viscosidad en los fluidos clásicos provoca la disipación de la energía cinética en calor, lo que amortigua el movimiento del fluido. Landau predijo que si un superfluido fluye más rápido que una cierta velocidad crítica (o alternativamente, un objeto se mueve más rápido que en un fluido estático), se emiten excitaciones térmicas (rotones) ya que se vuelve energéticamente favorable para generar cuasipartículas, lo que da como resultado que el fluido ya no exhiba propiedades superfluidas. Para el helio II, esta velocidad crítica es . ${\displaystyle v_{c}}$ ${\displaystyle v_{c}}$ ${\displaystyle v_{c}\approx 60{\text{m/s}}}$

Circulación cuantificada

La propiedad de circulación cuantificada surge como consecuencia de la existencia y unicidad de una función de onda macroscópica compleja , que afecta la vorticidad (rotación local) de manera muy profunda, haciéndola crucial para la turbulencia cuántica. ${\displaystyle \Psi }$

La velocidad y la densidad del fluido se pueden recuperar de la función de onda escribiéndola en forma polar , donde es la magnitud de y es la fase. La velocidad del fluido es entonces , y la densidad numérica es . La densidad de masa está relacionada con la densidad numérica por , donde es la masa de un bosón . ${\displaystyle \Psi (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \Psi (\mathbf {x} ,t)=|\Psi (\mathbf {x} ,t)|e^{i\phi (\mathbf {x} ,t)}}$ ${\displaystyle |\Psi |}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)=(\hbar /m)\nabla \phi }$ ${\displaystyle n(\mathbf {x} ,t)=|\Psi |^{2}}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=mn}$ ${\displaystyle m}$

La circulación se define como la integral de línea a lo largo de una trayectoria cerrada simple dentro del fluido. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \Gamma =\oint _{C}\mathbf {v} \cdot \mathbf {dr} }$

Para una superficie simplemente conexa , se cumple el teorema de Stokes y la circulación se anula, ya que la velocidad se puede expresar como el gradiente de la fase. Para una superficie conexa múltiple, la diferencia de fase entre un punto inicial arbitrario en la curva y el punto final (mismo punto inicial que está cerrado) debe ser , donde para que la función de onda tenga un solo valor. Esto conduce a un valor cuantizado para la circulación. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 2\pi q}$ ${\displaystyle q=0,1,2,\cdots }$

${\displaystyle \Gamma ={\frac {\hbar }{m}}\oint _{C}\nabla S\cdot \mathbf {dr} =q\kappa }$

donde es el quantum de circulación , y el entero es la carga (o número de bobinado) del vórtice. Los vórtices con carga múltiple ( ) en helio II son inestables y por esta razón en la mayoría de aplicaciones prácticas . Es energéticamente favorable para el fluido formar vórtices con carga simple en lugar de un solo vórtice de carga , y por lo tanto un vórtice con carga múltiple se dividiría en vórtices con carga simple. Bajo ciertas condiciones, es posible generar ciertos vórtices con una carga mayor que 1. ${\displaystyle \kappa =h/m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q>1}$ ${\displaystyle q=1}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

Propiedades de las líneas de vórtice

Las líneas de vórtice son defectos lineales topológicos de la fase. Su nucleación hace que la región del fluido cuántico se convierta en una región con múltiples conexiones. Como se muestra en la Fig. 2, se puede observar una disminución de la densidad cerca del eje, con en la línea de vórtice. El tamaño del núcleo del vórtice varía entre diferentes fluidos cuánticos. El tamaño del núcleo del vórtice es de alrededor de para el helio II, para ^{el 3} He-B y para los condensados ​​atómicos típicos . El sistema de vórtices más simple en un fluido cuántico consiste en una sola línea de vórtice recta; el campo de velocidad de dicha configuración es puramente azimutal dado por . Esta es la misma fórmula que para una solución de línea de vórtice clásica de la ecuación de Euler, sin embargo, clásicamente, este modelo es físicamente poco realista ya que la velocidad diverge como . Esto conduce a la idea del vórtice de Rankine como se muestra en la fig. 2, que combina la rotación del cuerpo sólido para valores pequeños y el movimiento del vórtice para valores grandes de , y es un modelo más realista de los vórtices clásicos ordinarios. ${\displaystyle \rho =0}$ ${\displaystyle a_{0}=10^{-10}{\text{m}}}$ ${\displaystyle a_{0}=10^{-8}{\text{m}}}$ ${\displaystyle a_{0}=10^{-4}{\text{m}}}$ ${\displaystyle v_{\theta }=\kappa /{2\pi r}}$ ${\displaystyle r\rightarrow 0}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

Se pueden establecer muchas similitudes con los vórtices en fluidos clásicos, por ejemplo, el hecho de que las líneas de vórtice obedecen al teorema clásico de circulación de Kelvin : la circulación se conserva y las líneas de vórtice deben terminar en los límites o existir en forma de bucles cerrados. En el límite de temperatura cero, un punto en una línea de vórtice se desplazará de acuerdo con el campo de velocidad que se genera en ese punto por las otras partes de la línea de vórtice, siempre que la línea de vórtice no sea recta (un vórtice recto aislado no se mueve). La velocidad también puede ser generada por cualquier otra línea de vórtice en el fluido, un fenómeno que también está presente en fluidos clásicos. Un ejemplo simple de esto es un anillo de vórtices (un vórtice en forma de toro) que se mueve a una velocidad autoinducida inversamente proporcional al radio del anillo , donde . ^[5] Todo el anillo se mueve a una velocidad ${\displaystyle v_{R}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R>>a_{0}}$

${\displaystyle v_{R}={\frac {\kappa }{4\pi R}}\left[\ln {\left({\frac {8R}{a_{0}}}\right)}-{\frac {1}{2}}\right]}$

Ondas de Kelvin y reconexiones de vórtices

Fig. 4. Izquierda: Esquema de una onda de Kelvin con amplitud y longitud de onda . Derecha: Configuración de vórtice recto que se ha perturbado hasta convertirse en una configuración de vórtice curvo. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda }$

Fig. 5. Esquema de la reconexión de dos vórtices. Las flechas en los vórtices representan la dirección de la vorticidad en la línea de vórtices. Izquierda: Antes de la reconexión. Centro: La reconexión de los vórtices está teniendo lugar. Derecha: Después de la reconexión.

Los vórtices en fluidos cuánticos soportan ondas Kelvin, que son perturbaciones helicoidales de una línea de vórtice que se aleja de su configuración recta y que gira a una velocidad angular , con ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega \approx {\frac {\kappa k^{2}}{4\pi }}\ln {\left({\frac {1}{ka_{0}}}\right)}}$

Aquí donde está la longitud de onda y es el vector de onda. ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$

Los vórtices que viajan en fluidos cuánticos pueden interactuar entre sí, lo que da como resultado la reconexiones de las líneas de vórtice y, en última instancia, el cambio de la topología de la configuración del vórtice cuando chocan, como lo sugirió Richard Feynman. ^[6] A temperaturas distintas de cero, las líneas de vórtice dispersan las excitaciones térmicas, lo que crea una fuerza de fricción con el componente normal del fluido (nube térmica para condensados ​​atómicos). Este fenómeno conduce a la disipación de la energía cinética. Por ejemplo, los anillos de vórtice se encogerán y las ondas Kelvin disminuirán en amplitud.

Red de vórtices

Fig. 6. Esquema de un recipiente cilíndrico que gira a una velocidad de , formando una red de vórtices de seis líneas de vórtices rectas. ${\displaystyle \Omega }$

Las redes de vórtices son configuraciones laminares (ordenadas) de líneas de vórtices que se pueden crear al rotar el sistema. Para un recipiente cilíndrico de radio , se puede derivar una condición para la formación de una red de vórtices minimizando la expresión , donde es la energía libre, es el momento angular del fluido y es la rotación, con magnitud y dirección axial. La velocidad crítica para la aparición de una red de vórtices es entonces . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle F'=F-\mathbf {L} _{v}\cdot \mathbf {\Omega } }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{v}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega _{c}^{1}={\frac {\kappa }{R^{2}}}\ln {\left({\frac {R}{a_{0}}}\right)}}$

Si se supera esta velocidad, se forma un vórtice en el fluido. Se pueden formar estados con más vórtices aumentando aún más la rotación, más allá de las siguientes velocidades críticas . Los vórtices se organizan en configuraciones ordenadas que se denominan redes de vórtices. ${\displaystyle \Omega _{c}^{2},\,\Omega _{c}^{3},\cdots }$

Dos naturalezas fluidas

Fig. 7. Fracciones de componentes graficadas en función de la temperatura, que muestran la mezcla de fluido normal y superfluido en helio II, donde es la fracción superfluida y es la fracción de fluido normal. Para temperaturas superiores a la temperatura crítica, el fluido normal constituye todo el fluido. ${\displaystyle \rho _{s}/\rho }$ ${\displaystyle \rho _{n}/\rho }$

A temperaturas distintas de cero , se deben tener en cuenta los efectos térmicos. En el caso de los gases atómicos a temperaturas distintas de cero, una fracción de los átomos no forman parte del condensado, sino que forman una nube térmica enrarecida (camino medio libre grande) que coexiste con el condensado (que, en una primera aproximación, se puede identificar con el componente superfluido). Dado que el helio es un líquido, no un gas diluido como los condensados ​​atómicos, existe una interacción mucho más fuerte entre los átomos, y el condensado es solo una parte del componente superfluido. Las excitaciones térmicas (que consisten en fonones y rotones) forman un componente de fluido viscoso (camino medio libre muy corto, análogo al fluido viscoso clásico regido por la ecuación de Navier-Stokes ), llamado fluido normal que coexiste con el componente superfluido. Esto constituye la base de la teoría de dos fluidos de Tisza y Landau, que describe el helio II como la mezcla de componentes de fluido normal y superfluido co-penetrantes, con una densidad total dictada por la ecuación . La tabla muestra las propiedades clave de los componentes de fluido normal y superfluido: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \rho =\rho _{n}+\rho _{s}}$

Las proporciones relativas de los dos componentes cambian con la temperatura, desde un flujo de fluido completamente normal en la temperatura de transición ( y ), hasta un flujo superfluido completo en el límite de temperatura cero ( y ). A velocidades pequeñas, las ecuaciones de dos fluidos son ${\displaystyle T_{c}}$ ${\displaystyle \rho _{n}/\rho \rightarrow 1}$ ${\displaystyle \rho _{s}/\rho \rightarrow 0}$ ${\displaystyle \rho _{s}/\rho \rightarrow 1}$ ${\displaystyle \rho _{n}/\rho \rightarrow 0}$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho _{s}\mathbf {v} _{s}+\rho _{n}\mathbf {v} _{n})=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial (\rho S)}{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho S\mathbf {v} _{n})=0}$

${\displaystyle \rho _{s}\left[{\frac {\partial \mathbf {v} _{s}}{\partial t}}+(\mathbf {v} _{s}\cdot \nabla )\mathbf {v} _{s}\right]=-{\frac {\rho _{s}}{\rho }}\nabla P+\rho _{s}S\nabla T}$

${\displaystyle \rho _{n}\left[{\frac {\partial \mathbf {v} _{n}}{\partial t}}+(\mathbf {v} _{n}\cdot \nabla )\mathbf {v} _{n}\right]=-{\frac {\rho _{n}}{\rho }}\nabla P-\rho _{s}S\nabla T+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} _{n}}$

donde aquí es la presión, es la entropía por unidad de masa y es la viscosidad del componente de fluido normal como se indica en la tabla anterior. La primera de estas ecuaciones se puede identificar como la ecuación de conservación de la masa , mientras que la segunda ecuación se puede identificar como la de conservación de la entropía. Los resultados de estas ecuaciones dan lugar a los fenómenos de segundo sonido y contraflujo térmico. A grandes velocidades, el superfluido se vuelve turbulento y aparecen líneas de vórtice; a velocidades aún mayores, tanto el fluido normal como el superfluido se vuelven turbulentos. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mu }$

Turbulencia clásica vs turbulencia cuántica

Fig. 8. Diagrama esquemático de la cascada de energía de Kolmogorov en el interior de un túnel de viento. La inyección de aire se produce en donde es el tamaño del túnel de viento. La cantidad , el número de onda de Kolmogorov, es el valor en el espacio k asociado a la escala de longitud de Kolmogorov , el punto en el que la energía cinética turbulenta se disipa en calor. ${\displaystyle k_{D}=2\pi /D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle k_{\eta }}$

Los experimentos y las soluciones numéricas muestran que la turbulencia cuántica es una maraña aparentemente aleatoria de líneas de vórtice dentro de un fluido cuántico. El estudio de la turbulencia cuántica tiene como objetivo explorar dos cuestiones principales:

1. ¿Los vórtices enredados son realmente aleatorios o contienen algunas propiedades características o estructuras organizadas?
2. ¿Cómo se compara la turbulencia cuántica con la turbulencia clásica?

Para entender la turbulencia cuántica es útil hacer una conexión con la turbulencia de los fluidos clásicos. La turbulencia de los fluidos clásicos es un fenómeno cotidiano, que se puede observar fácilmente en el flujo de un arroyo o río, como lo hizo por primera vez Leonardo da Vinci en sus famosos bocetos. Al abrir un grifo de agua, uno nota que al principio el agua fluye de manera regular (llamado flujo laminar), pero si se abre el grifo a velocidades de flujo más altas, el flujo se adorna con protuberancias irregulares, dividiéndose impredeciblemente en múltiples hilos a medida que salpica en un torrente siempre cambiante, conocido como flujo turbulento. Leonardo da Vinci observó por primera vez y anotó en sus cuadernos privados que los flujos turbulentos de fluidos clásicos incluyen áreas de fluido circulante llamadas vórtices (o remolinos).

El caso más simple de turbulencia clásica es el de la turbulencia isotrópica homogénea (HIT) mantenida en un estado estacionario estadístico. Dicha turbulencia se puede crear dentro de un túnel de viento , por ejemplo, un canal con un flujo de aire impulsado por un ventilador de un lado al otro. A menudo está equipado con una malla para crear un flujo de aire turbulento. Un estado estacionario estadístico asegura que las principales propiedades del flujo se estabilicen aunque fluctúen localmente. Debido a la presencia de viscosidad, sin el suministro continuo de energía, la turbulencia del flujo decaerá debido a las fuerzas de fricción. En el túnel de viento, la energía es proporcionada constantemente por el ventilador. Es útil introducir el concepto de distribución de energía sobre las escalas de longitud , el vector de onda y el número de onda . En una dimensión, el número de onda se puede relacionar con la longitud de onda simplemente utilizando . La energía total por unidad de masa está dada por ${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})}$ ${\displaystyle k=|\mathbf {k} |}$ ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle E_{tot}}$

${\displaystyle E_{tot}={\frac {1}{\mathcal {V}}}\int _{\mathcal {V}}{\frac {\mathbf {v} ^{2}}{2}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\int _{0}^{\infty }E(k)\,\mathrm {d} k}$

donde es el espectro de energía , que representa esencialmente la distribución de la energía cinética turbulenta sobre los números de onda. La noción de una cascada de energía , donde se produce una transferencia de energía desde vórtices de gran escala a vórtices de menor escala, que finalmente conducen a la disipación viscosa, fue memorablemente señalada por Lewis Fry Richardson . La disipación ocurre en las escalas de longitud de disipación (denominadas escala de longitud de Kolmogorov), donde donde es la viscosidad cinemática. Mediante el trabajo pionero de Andrey Kolmogorov , se descubrió que el espectro de energía toma la forma ${\displaystyle E(k)}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta =(\nu ^{3}/\varepsilon )^{1/4}}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle E(k)=C\varepsilon ^{\frac {2}{3}}k^{-{\frac {5}{3}}}}$

donde es la tasa de disipación de energía por unidad de volumen . La constante es adimensional y toma el valor . En el espacio k, el valor asociado a la escala de longitud de Kolmogorov es el número de onda de Kolmogorov , donde se produce la disipación viscosa. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle -\mathrm {d} E/\mathrm {d} t}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\approx 1.5}$ ${\displaystyle k_{\eta }}$

Cascada de Kolmogorov en fluidos cuánticos

Fig. 9a. Maraña de vórtices simulada numéricamente que representa la turbulencia cuántica de Kolmogorov. Las líneas delgadas representan líneas de vórtices dentro de un contenedor cúbico. La barra de colores ^{[7] [8]} representa la cantidad de interacción no local, es decir, la cantidad en que una sección de la línea de vórtice se ve afectada por las otras líneas de vórtice que la rodean. (Crédito AW Baggaley)

Fig. 9. Diagrama esquemático del espectro de energía para la turbulencia de Kolmogorov a temperaturas muy pequeñas. La cascada de energía está presente para escalas de longitud grandes, y se puede observar una cascada de ondas de Kelvin para escalas de longitud muy pequeñas que experimentan emisión de sonido. Se produce una acumulación de cuellos de botella alrededor de la escala de longitud cuántica . ^[9] ${\displaystyle k^{-5/3}}$ ${\displaystyle \ell }$

Para temperaturas lo suficientemente bajas como para que los efectos mecánicos cuánticos gobiernen el fluido, la turbulencia cuántica es una maraña aparentemente caótica de líneas de vórtice con una topología altamente anudada, que se mueven entre sí y se reconectan cuando chocan. En un superfluido puro, no hay un componente normal para transportar la entropía del sistema y, por lo tanto, el fluido fluye sin viscosidad, lo que resulta en la falta de una escala de disipación . De manera análoga a los fluidos clásicos, se puede introducir una escala de longitud cuántica (y el valor correspondiente en el espacio k ) reemplazando la viscosidad cinemática en la escala de longitud de Kolmogorov con el cuanto de circulación . ^[2] Para escalas mayores que , una pequeña polarización de las líneas de vórtice permite el estiramiento requerido para sostener una cascada de energía de Kolmogorov. ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle k_{\ell }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \ell }$

Se han realizado experimentos en el superfluido Helio II para crear turbulencias que se comporten de acuerdo con la cascada de Kolmogorov. Un ejemplo de esto es el caso de dos hélices que giran en sentido contrario ^[10] , donde tanto por encima como por debajo de la temperatura crítica se observó un espectro de energía de Kolmogorov que es indistinguible de los observados en la turbulencia de los fluidos clásicos. Para temperaturas más altas, la existencia del componente fluido normal conduce a la presencia de fuerzas viscosas y a la eventual disipación de calor que calienta el sistema. Como consecuencia de esta fricción, los vórtices se vuelven más suaves y las ondas de Kelvin que surgen debido a las reconexiones de los vórtices son más suaves que en la turbulencia cuántica de baja temperatura. La turbulencia de Kolmogorov surge en fluidos cuánticos para la entrada de energía a grandes escalas de longitud, donde el espectro de energía sigue el rango inercial . Para escalas de longitud menores que , en cambio, el espectro de energía sigue un régimen. ^[11] ${\displaystyle T_{c}}$ ${\displaystyle k^{-5/3}}$ ${\displaystyle k_{D}<k<k_{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle k^{-1}}$

Para temperaturas en el límite cero, las ondas Kelvin no amortiguadas dan como resultado la aparición de más torceduras en las formas de los vórtices. Para grandes escalas de longitud, la turbulencia cuántica se manifiesta como una cascada de energía de Kolmogorov (simulaciones numéricas utilizando la ecuación de Gross-Pitaevskii ^[12] y el modelo de filamento de vórtice confirmaron este efecto ^{[13] [14]} ), con el espectro de energía siguiente . Al carecer de disipación térmica, es intuitivo asumir que la turbulencia cuántica en el límite de baja temperatura no decae como lo haría para temperaturas más altas, sin embargo, la evidencia experimental mostró que este no era el caso: la turbulencia cuántica decae incluso a temperaturas muy bajas. Las ondas Kelvin interactúan y crean ondas Kelvin más cortas, hasta que son lo suficientemente cortas como para la emisión de sonido (fonones), lo que resulta en la conversión de energía cinética en calor, por lo tanto, disipación de energía. Este proceso que desplaza la energía a escalas de longitud cada vez más pequeñas en números de onda mayores que 1 se denomina cascada de ondas de Kelvin y procede en vórtices individuales. ^{[15] [16]} Por lo tanto, la turbulencia cuántica de baja temperatura debería consistir en una doble cascada: un régimen de Kolmogorov (una cascada de remolinos) en el rango inercial , seguido de una meseta de cuello de botella, seguida de la cascada de ondas de Kelvin (una cascada de ondas) que obedece a la misma ley pero con diferente origen físico. Esto es un consenso actual, pero debe enfatizarse que surge solo de la teoría y simulaciones numéricas: actualmente no hay evidencia experimental directa de la cascada de ondas de Kelvin debido a la dificultad de observar y medir en escalas de longitud tan pequeñas. ${\displaystyle k^{-5/3}}$ ${\displaystyle k_{\ell }}$ ${\displaystyle k_{D}<k<k_{\ell }}$ ${\displaystyle k^{-5/3}}$

Turbulencia de Vinen

Fig. 9b. Maraña de vórtices simulada numéricamente que representa la turbulencia cuántica de Vinen. Las líneas delgadas representan líneas de vórtices dentro de un contenedor cúbico. La barra de colores ^{[7] [8]} representa la cantidad de interacción no local, es decir, la cantidad en que una sección de la línea de vórtice se ve afectada por las otras líneas de vórtice que la rodean. (Crédito AW Baggaley)

Fig. 10. Diagrama esquemático del espectro de energía para la turbulencia de Vinen. Se puede observar un régimen para números de onda muy grandes, con el pico del espectro de energía en el número de onda asociado a la escala de longitud cuántica . La línea verde representa un régimen para comparación. ${\displaystyle k^{-1}}$ ${\displaystyle k_{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle k^{-5/3}}$

La turbulencia de Vinen puede generarse en un fluido cuántico mediante la inyección de anillos de vórtices en el sistema, lo que se ha observado tanto numéricamente como experimentalmente. También se ha observado en simulaciones numéricas de helio II turbulento impulsado por un pequeño flujo de calor y en simulaciones numéricas de condensados ​​atómicos de Bose-Einstein atrapados; se ha encontrado incluso en estudios numéricos de modelos superfluidos del universo primitivo. ^[7] A diferencia del régimen de Kolmogorov, que parece tener una contraparte clásica, la turbulencia de Vinen no se ha identificado en la turbulencia clásica.

La turbulencia de Vinen se produce para entradas de energía muy bajas en el sistema, lo que evita la formación de las estructuras parcialmente polarizadas a gran escala que prevalecen en la turbulencia de Kolmogorov, como se muestra en la figura 9a. La polarización parcial contribuye en gran medida a la cantidad de interacciones no locales entre las líneas de vórtice, que se pueden ver en la figura. En marcado contraste, la figura 9b muestra el régimen de turbulencia de Vinen, donde hay muy poca interacción no local. El espectro de energía de la turbulencia de Vinen alcanza su pico en las escalas intermedias alrededor de , en lugar de en escalas de longitud grandes . De la figura 10, se puede ver que para escalas de longitud pequeñas la turbulencia sigue el comportamiento típico de un vórtice aislado. Como resultado de estas propiedades, la turbulencia de Vinen aparece como un flujo casi completamente aleatorio con una cascada de energía muy débil o despreciable. ${\displaystyle k_{\ell }}$ ${\displaystyle k_{D}}$ ${\displaystyle k^{-1}}$

Desintegración de la turbulencia cuántica

A partir de las diferentes firmas, la turbulencia de Kolmogorov y la de Vinen siguen leyes de potencia relacionadas con su decaimiento temporal. Para el régimen de Kolmogorov, después de eliminar la fuerza que sostiene la turbulencia en un estado estacionario estadístico, se observa un decaimiento de para la energía y para la densidad de líneas de vórtices (definida como la longitud de vórtice por unidad de volumen). La turbulencia de Vinen decae temporalmente a un ritmo más lento que la turbulencia de Kolmogorov: la energía decae como y la densidad de líneas de vórtices como . ${\displaystyle E(t)\sim t^{-2}}$ ${\displaystyle L(t)\sim t^{-3/2}}$ ${\displaystyle E(t)\sim t^{-1}}$ ${\displaystyle L(t)\sim t^{-1}}$

Turbulencia en condensados ​​atómicos

Las simulaciones por computadora han jugado un papel particularmente importante en el desarrollo de la comprensión teórica de la turbulencia cuántica ^{[17] [18] [19]}

La turbulencia en los condensados ​​atómicos se ha estudiado muy recientemente, lo que significa que hay menos información disponible. ^{[20] [21]} Los condensados ​​atómicos turbulentos contienen una cantidad mucho menor de vórtices en comparación con la turbulencia en helio. Debido al pequeño tamaño de los condensados ​​atómicos típicos, no hay una gran separación de escala de longitud entre el tamaño del sistema y el tamaño entre vórtices y, por lo tanto, el espacio k está restringido. Las simulaciones numéricas sugieren que es más probable que aparezca turbulencia en el régimen de Vinen. ^{[11] [13] [15] [22]} Los experimentos realizados en Cambridge también han encontrado la aparición de escalas de turbulencia de onda. ^{[23] [24] [14]}

Generación y detección de turbulencia cuántica

Generación física de turbulencia cuántica

Fig. 11. Una maraña de vórtices simulada que representa la turbulencia cuántica en un volumen cúbico y muestra los vórtices cuantificados.

Existe una gran cantidad de métodos que se pueden utilizar para generar una maraña de vórtices (visualizada en la figura 11) en el laboratorio. Aquí se enumeran según el fluido cuántico en el que se pueden generar.

QT en helio II

• Remolcando repentinamente una rejilla en la muestra de fluido en reposo ^{[25] [26]}
• Hacer que el fluido se desplace a lo largo de tuberías o canales mediante fuelles o bombas, creando un túnel de viento superfluido (el experimento TOUPIE en Grenoble ^[27] )
• Rotación de una o dos hélices dentro de un contenedor; la configuración de dos hélices que giran en sentido contrario se denomina "flujo de von Karman" (por ejemplo, el experimento SHREK en Grenoble) ^[25]
• Creación de ondas de choque y cavitación mediante el enfoque local de ultrasonidos (esto permite la generación de turbulencia cuántica lejos de los límites) ^{[28] [29]}
• Horquillas o cables oscilantes/vibratorios ^[30]
• Aplicación de un flujo de calor (también denominado "contraflujo térmico " ^[31] ): el experimento prototipo es un canal que está abierto a un baño de helio en un extremo y el opuesto está cerrado y tiene una resistencia . Se hace pasar una corriente eléctrica a través de la resistencia y genera calor óhmico ; el calor es llevado desde el calentador hacia el baño por el componente de fluido normal, mientras que el superfluido se mueve hacia el calentador de modo que el flujo de masa neto es cero ya que el canal está cerrado. De esta manera se establece una velocidad relativa (contraflujo) de los dos componentes del fluido que es proporcional al calor aplicado. Por encima de un pequeño valor crítico de la velocidad de contraflujo, se genera una maraña de vórtices turbulentos. ${\displaystyle v_{ns}=|v_{n}-v_{s}|}$
• Inyección de anillos de vórtice (los anillos se generan inyectando electrones que forman una pequeña burbuja de unos 16 Angstroms de tamaño que son acelerados por un campo eléctrico, hasta que, al superar la velocidad crítica, el anillo de vórtice se nuclea) ^[32]

QT en³He-B y condensados ​​atómicos

En ³ He-B, la turbulencia cuántica se puede generar mediante la vibración de cables. ^[33] Para los condensados ​​atómicos, la turbulencia cuántica se puede generar agitando u oscilando la trampa que confina el BEC ^{[24] [23]} y mediante la impresión de fase de los vórtices cuánticos.

Detección de turbulencia cuántica

En la turbulencia clásica, se suele medir la velocidad, ya sea en una posición fija en función del tiempo (algo típico de los experimentos físicos) o al mismo tiempo en muchas posiciones (algo típico de las simulaciones numéricas). La turbulencia cuántica se caracteriza por una maraña desordenada de líneas de vórtice discretas (individuales).

En helio II existen técnicas para medir la densidad de líneas de vórtice (la longitud de las líneas de vórtice por unidad de volumen basada en la detección de la segunda atenuación del sonido. La distancia promedio entre líneas de vórtice, , se puede encontrar en términos de la densidad de líneas de vórtice como . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell =1/{\sqrt {L}}}$

Detección en helio II

• Medición de la atenuación de segundas ondas sonoras
• Medición de gradientes de temperatura o presión ^[34]
• Medición de iones atrapados en los vórtices ^[35]
• Utilizando partículas trazadoras (pequeñas esferas de vidrio o plástico/bolas de nieve de hidrógeno sólido) de tamaño del orden de un micrón, y luego imaginándolas mediante láseres. Las técnicas que se pueden utilizar son PIV (velocimetría de imagen de partículas) o PTV (velocimetría de seguimiento de partículas). Más recientemente, se han utilizado moléculas de helio excimer ^{[36] [37] [38]}
• Utilizando horquillas oscilantes ^[29]
• Utilizando voladizos ^[39]
• Utilizando alambres calientes criogénicos ^[40]

Detección en³He-B y condensados ​​atómicos

La turbulencia cuántica se puede detectar en ³ He-B de dos maneras: resonancia magnética nuclear (RMN) ^[41] y por dispersión de Andreev de cuasipartículas térmicas. ^[42] Para los condensados ​​atómicos, es típico que el condensado deba expandirse (desactivando el potencial de atrapamiento) para que sea lo suficientemente grande como para tomar una imagen. Este procedimiento tiene una desventaja, ya que conduce a la destrucción del condensado. El resultado conduce a una imagen bidimensional que permite el estudio de la turbulencia cuántica bidimensional, pero impone una restricción al estudiar la turbulencia cuántica tridimensional utilizando este método. Se han observado vórtices cuánticos individuales en 3 dimensiones, moviéndose y reconectándose utilizando una técnica que extrae pequeñas fracciones del condensado a la vez, lo que permite la observación de una secuencia temporal de la misma configuración de vórtice.

Véase también

• Helio-4 superfluido
• Fenómenos cuánticos macroscópicos
• Vórtice cuántico
• Hidrodinámica cuántica
• Turbulencia cuántica 2D

Referencias

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