cúpula triangular

Cúpula con base hexagonal

En geometría , la cúpula triangular es la cúpula con un hexágono como base y un triángulo como cima. Si las aristas tienen la misma longitud, la cúpula triangular es el sólido de Johnson. Puede verse como medio cuboctaedro . Se pueden construir muchos poliedros implicando la fijación de la base de una cúpula triangular.

Propiedades

La cúpula triangular tiene como caras 4 triángulos , 3 cuadrados y 1 hexágono ; el hexágono es la base y uno de los cuatro triángulos es la cima. Si todas las aristas tienen la misma longitud, los triángulos y el hexágono se vuelven regulares ; la longitud del borde de ese hexágono es igual a la longitud del borde de los cuadrados y los triángulos. ^{[1] [2]} El ángulo diédrico entre cada triángulo y el hexágono es aproximadamente , el entre cada cuadrado y el hexágono es , y el entre cuadrado y triángulo es . ^[3] Un poliedro convexo en el que todas las caras son regulares es un sólido de Johnson , y entre ellas se encuentra la cúpula triangular, enumerada como el tercer sólido de Johnson . ^[2] ${\displaystyle 70.5^{\circ }}$ ${\displaystyle 54.7^{\circ }}$ ${\displaystyle 125.3^{\circ }}$ ${\displaystyle J_{3}}$

Dado que esa es la longitud del borde de una cúpula triangular. Su superficie se puede calcular sumando el área de cuatro triángulos equiláteros, tres cuadrados y un hexágono: ^[1] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A=\left(3+{\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}\right)a^{2}\approx 7.33a^{2}.}$$

^{[4] [1]} ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {\sqrt {6}}{3}}a\approx 0.82a,\\V&=\left({\frac {5}{3{\sqrt {2}}}}\right)a^{3}\approx 1.18a^{3}.\end{aligned}}}$$

Modelo 3D de una cúpula triangular.

Tiene un eje de simetría que pasa por el centro de su parte superior y base, que es simétrico al girar alrededor de él en uno y dos tercios de un ángulo de giro completo. También es simétrico en espejo con respecto a cualquier plano perpendicular que pase por una bisectriz de la base hexagonal. Por tanto, tiene simetría piramidal , el grupo cíclico de orden 6. ^[3] ${\displaystyle C_{3v}}$

Poliedros y panales relacionados

El poliedro dual de una cúpula triangular.

El dual de la cúpula triangular es el poliedro con 6 caras triangulares y 3 en forma de cometa .

La cúpula triangular se puede encontrar en la construcción de muchos poliedros. Un ejemplo es el cuboctaedro en el que la cúpula triangular puede considerarse como su hemisferio. ^[5] Se conoce como aumento a una construcción que implica la unión de su base a otro poliedro ; unirlo a prismas o antiprismas se conoce como alargamiento o giroelongación . ^{[6] [7]} Algunos de los otros sólidos de Johnson construidos de esta manera son cúpula triangular alargada , cúpula triangular giroelongada , ortobicúpula triangular, ortobicúpula triangular alargada , girobicúpola triangular alargada , bicúpula triangular giroelongada , tetraedro truncado aumentado . ^[8] ${\displaystyle J_{18}}$ ${\displaystyle J_{22}}$ ${\displaystyle J_{27}}$ ${\displaystyle J_{35}}$ ${\displaystyle J_{36}}$ ${\displaystyle J_{44}}$ ${\displaystyle J_{65}}$

el panal

La cúpula triangular puede ampliarse con 3 pirámides cuadradas , dejando caras coplanares adyacentes. No es un sólido de Johnson porque las caras son coplanares . Al fusionar esos triángulos coplanares en otros más grandes, topológicamente esta es otra cúpula triangular con caras laterales trapezoidales isósceles . Si se conservan todos los triángulos y se reemplaza el hexágono base por 6 triángulos, se genera un deltaedro coplanar con 22 caras.

La cúpula triangular puede formar un mosaico del espacio con pirámides cuadradas y/u octaedros , ^[9] de la misma manera que los octaedros y cuboctaedros pueden llenar el espacio.

Referencias

1. Berman, Martín (1971). "Poliedros convexos de caras regulares". Revista del Instituto Franklin . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. SEÑOR  0290245.
2. Uehara, Ryuhei (2020). Introducción al origami computacional: el mundo de la nueva geometría computacional. Saltador. pag. 62.doi : 10.1007 /978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4470-5. S2CID  220150682.
3. Johnson, Norman W. (1966). "Poliedros convexos de caras regulares". Revista Canadiense de Matemáticas . 18 : 169-200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . SEÑOR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.
4. Sapiña, R. "Área y volumen del sólido de Johnson J 3 {\displaystyle J_ {3}}". Problemas y Ecuaciones (en español). ISSN  2659-9899 . Consultado el 8 de septiembre de 2020 .
5. Cromwell, Peter R. (1997). Poliedros. Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 86.ISBN​ 978-0-521-55432-9.
6. Demey, Lorenz; Smessaert, Hans (2017). "Distancia lógica y geométrica en diagramas aristotélicos poliédricos en la representación del conocimiento". Simetría . 9 (10): 204. Bibcode : 2017Symm....9..204D. doi : 10.3390/sym9100204 .
7. Slobodan, Mišić; Obradovic, Marija; Ðukanović, Gordana (2015). "Cúpulas cóncavas compuestas como formas geométricas y arquitectónicas" (PDF) . Revista de Geometría y Gráfica . 19 (1): 79–91.
8. Rajwade, AR (2001). Poliedros convexos con condiciones de regularidad y tercer problema de Hilbert. Textos y Lecturas en Matemáticas. Agencia de libros Hindustan. pag. 84–89. doi :10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
9. "Panal J3".

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Cúpula triangular" ("Sólido de Johnson") en MathWorld .