En matemáticas , una transformación integral es un tipo de transformación que asigna una función desde su espacio funcional original a otro espacio funcional mediante integración , donde algunas de las propiedades de la función original pueden caracterizarse y manipularse más fácilmente que en el espacio funcional original. La función transformada generalmente se puede asignar nuevamente al espacio funcional original mediante la transformación inversa .
Una transformación integral es cualquier transformación de la siguiente forma:
La entrada de esta transformación es una función y la salida es otra función . Una transformación integral es un tipo particular de operador matemático .
Existen numerosas transformaciones integrales útiles. Cada una de ellas se especifica mediante la elección de la función de dos variables , que se denomina núcleo de la transformación.
Algunos núcleos tienen un núcleo inverso asociado que (en términos generales) produce una transformación inversa:
Un núcleo simétrico es aquel que no cambia cuando se permutan las dos variables; es una función de núcleo tal que . En la teoría de ecuaciones integrales, los núcleos simétricos corresponden a operadores autoadjuntos . [1]
Existen muchas clases de problemas que son difíciles de resolver (o al menos bastante difíciles de manejar algebraicamente) en sus representaciones originales. Una transformación integral "mapea" una ecuación de su "dominio" original a otro dominio, en el que manipular y resolver la ecuación puede ser mucho más fácil que en el dominio original. La solución puede entonces mapearse nuevamente al dominio original con la inversa de la transformación integral.
Hay muchas aplicaciones de probabilidad que se basan en transformaciones integrales, como el "núcleo de precios" o el factor de descuento estocástico , o el suavizado de datos recuperados a partir de estadísticas robustas; véase kernel (estadísticas) .
El precursor de las transformadas fueron las series de Fourier para expresar funciones en intervalos finitos. Más tarde se desarrolló la transformada de Fourier para eliminar el requisito de intervalos finitos.
Utilizando la serie de Fourier, prácticamente cualquier función práctica del tiempo ( por ejemplo , el voltaje entre los terminales de un dispositivo electrónico ) se puede representar como una suma de senos y cosenos , cada uno adecuadamente escalado (multiplicado por un factor constante), desplazado (adelantado o retardado en el tiempo) y "comprimido" o "estirado" (aumentando o disminuyendo la frecuencia). Los senos y cosenos de la serie de Fourier son un ejemplo de una base ortonormal .
Como ejemplo de una aplicación de transformadas integrales, considere la transformada de Laplace . Esta es una técnica que mapea ecuaciones diferenciales o integrodiferenciales en el dominio del "tiempo" en ecuaciones polinómicas en lo que se denomina el dominio de la "frecuencia compleja" . (La frecuencia compleja es similar a la frecuencia física real, pero bastante más general. Específicamente, el componente imaginario ω de la frecuencia compleja s = − σ + iω corresponde al concepto habitual de frecuencia, es decir , la velocidad a la que una sinusoide realiza un ciclo, mientras que el componente real σ de la frecuencia compleja corresponde al grado de "amortiguación", es decir, una disminución exponencial de la amplitud). La ecuación formulada en términos de frecuencia compleja se resuelve fácilmente en el dominio de la frecuencia compleja (las raíces de las ecuaciones polinómicas en el dominio de la frecuencia compleja corresponden a los valores propios en el dominio del tiempo), lo que conduce a una "solución" formulada en el dominio de la frecuencia. Al emplear la transformada inversa , es decir , el procedimiento inverso de la transformada de Laplace original, se obtiene una solución en el dominio del tiempo. En este ejemplo, los polinomios en el dominio de frecuencia complejo (que normalmente aparecen en el denominador) corresponden a series de potencias en el dominio del tiempo, mientras que los desplazamientos axiales en el dominio de frecuencia complejo corresponden a la amortiguación por exponenciales decrecientes en el dominio del tiempo.
La transformada de Laplace tiene una amplia aplicación en física y, en particular, en ingeniería eléctrica, donde las ecuaciones características que describen el comportamiento de un circuito eléctrico en el dominio complejo de frecuencias corresponden a combinaciones lineales de sinusoides amortiguadas desplazadas en el tiempo y escaladas exponencialmente en el dominio del tiempo. Otras transformadas integrales tienen una aplicación especial en otras disciplinas científicas y matemáticas.
Otro ejemplo de uso es el kernel en la integral de trayectoria :
Esto indica que la amplitud total a la que se llega es la suma (la integral) de todos los valores posibles de la amplitud total para llegar al punto multiplicada por la amplitud para ir de a [ ie ] . [2] A menudo se hace referencia a esto como el propagador para un sistema dado. Este núcleo (físico) es el núcleo de la transformada integral. Sin embargo, para cada sistema cuántico, hay un núcleo diferente. [3]
En los límites de integración para la transformada inversa, c es una constante que depende de la naturaleza de la función de transformada. Por ejemplo, para la transformada de Laplace unilateral y bilateral, c debe ser mayor que la parte real más grande de los ceros de la función de transformada.
Tenga en cuenta que existen notaciones y convenciones alternativas para la transformada de Fourier.
Aquí se definen transformaciones integrales para funciones en números reales, pero se pueden definir de forma más general para funciones en un grupo.
Aunque las propiedades de las transformadas integrales varían ampliamente, tienen algunas propiedades en común. Por ejemplo, cada transformada integral es un operador lineal , ya que la integral es un operador lineal y, de hecho, si se permite que el núcleo sea una función generalizada , entonces todos los operadores lineales son transformadas integrales (una versión correctamente formulada de esta afirmación es el teorema del núcleo de Schwartz ).
La teoría general de tales ecuaciones integrales se conoce como teoría de Fredholm . En esta teoría, se entiende por núcleo un operador compacto que actúa sobre un espacio de Banach de funciones. Dependiendo de la situación, el núcleo se denomina operador de Fredholm , operador nuclear o núcleo de Fredholm .
