La proyección ortográfica (también proyección ortogonal y analema ) [a] es un medio para representar objetos tridimensionales en dos dimensiones . La proyección ortográfica es una forma de proyección paralela en la que todas las líneas de proyección son ortogonales al plano de proyección , [2] lo que da como resultado que cada plano de la escena aparezca en una transformación afín en la superficie de visualización. El anverso de una proyección ortográfica es una proyección oblicua , que es una proyección paralela en la que las líneas de proyección no son ortogonales al plano de proyección.
El término ortográfico a veces significa una técnica de proyección multivista en la que los ejes principales o los planos del sujeto también son paralelos al plano de proyección para crear las vistas primarias . [2] Si los planos o ejes principales de un objeto en una proyección ortográfica no son paralelos al plano de proyección, la representación se llama vista axonométrica o auxiliar . ( La proyección axonométrica es sinónimo de proyección paralela ). Los subtipos de vistas primarias incluyen planos , alzados y secciones ; Los subtipos de vistas auxiliares incluyen proyecciones isométricas , dimétricas y trimétricas .
Una lente que proporciona una proyección ortográfica es una lente telecéntrica de espacio-objeto .
Una proyección ortográfica simple sobre el plano z = 0 se puede definir mediante la siguiente matriz:
Para cada punto v = ( v x , v y , v z ), el punto transformado Pv sería
A menudo, resulta más útil utilizar coordenadas homogéneas . La transformación anterior se puede representar para coordenadas homogéneas como
Para cada vector homogéneo v = ( v x , v y , v z , 1), el vector transformado Pv sería
En gráficos por computadora , una de las matrices más comunes utilizadas para la proyección ortográfica se puede definir mediante una tupla de 6 ( izquierda , derecha , abajo , arriba , cerca , lejos ), que define los planos de recorte . Estos planos forman una caja con la esquina mínima en ( izquierda , abajo , -cerca ) y la esquina máxima en ( derecha , arriba , -lejos ). [3]
La caja se traslada para que su centro esté en el origen, luego se escala al cubo unitario que se define por tener una esquina mínima en (−1, −1, −1) y una esquina máxima en (1,1, 1).
La transformación ortográfica puede venir dada por la siguiente matriz:
que se puede dar como una escala S seguida de una traducción T de la forma
La inversión de la matriz de proyección P −1 , que puede usarse como matriz de desproyección, se define:
Tres subtipos de proyección ortográfica son la proyección isométrica , la proyección dimétrica y la proyección trimétrica , dependiendo del ángulo exacto en el que la vista se desvía de la ortogonal. [2] [4] Normalmente en el dibujo axonométrico, como en otros tipos de pictóricas, un eje del espacio se muestra vertical.
En la proyección isométrica , la forma más comúnmente utilizada de proyección axonométrica en el dibujo de ingeniería, [5] la dirección de visión es tal que los tres ejes del espacio aparecen igualmente escorzados y hay un ángulo común de 120° entre ellos. Como la distorsión provocada por el escorzo es uniforme, se conserva la proporcionalidad entre longitudes y los ejes comparten una escala común; esto facilita la capacidad de tomar medidas directamente desde el dibujo. Otra ventaja es que los ángulos de 120° se construyen fácilmente usando sólo un compás y una regla .
En la proyección dimétrica , la dirección de visión es tal que dos de los tres ejes del espacio aparecen igualmente escorzados, cuya escala y ángulos de presentación se determinan según el ángulo de visión; la escala de la tercera dirección se determina por separado. Las aproximaciones dimensionales son comunes en los dibujos dimétricos. [ se necesita aclaración ]
En la proyección trimétrica , la dirección de visión es tal que los tres ejes del espacio aparecen en escorzo desigual. La escala a lo largo de cada uno de los tres ejes y los ángulos entre ellos se determinan por separado según lo dicta el ángulo de visión. Las aproximaciones dimensionales en dibujos trimétricos son comunes, [ se necesita aclaración ] y la perspectiva trimétrica rara vez se utiliza en dibujos técnicos. [4]
En la proyección multivista , se producen hasta seis imágenes de un objeto, llamadas vistas primarias , con cada plano de proyección paralelo a uno de los ejes de coordenadas del objeto. Las vistas se colocan entre sí según cualquiera de dos esquemas: proyección del primer ángulo o del tercer ángulo . En cada uno de ellos, se puede pensar que las apariencias de las vistas se proyectan en planos que forman una caja de seis lados alrededor del objeto. Aunque se pueden dibujar seis lados diferentes, normalmente tres vistas de un dibujo brindan suficiente información para crear un objeto tridimensional. Estas vistas se conocen como vista frontal (también en alzado ), vista superior (también en planta ) y vista de frente (también en sección ). Cuando el plano o eje del objeto representado no es paralelo al plano de proyección, y donde son visibles varios lados de un objeto en la misma imagen, se denomina vista auxiliar . Por lo tanto, la proyección isométrica , la proyección dimétrica y la proyección trimétrica se considerarían vistas auxiliares en la proyección multivista. Una característica típica de la proyección multivista es que un eje del espacio suele mostrarse vertical.
Un mapa de proyección ortográfica es una proyección cartográfica de la cartografía . Al igual que la proyección estereográfica y la proyección gnomónica , la proyección ortográfica es una proyección en perspectiva (o azimutal) , en la que la esfera se proyecta sobre un plano tangente o plano secante . El punto de perspectiva de la proyección ortográfica está a una distancia infinita . Representa un hemisferio del globo tal como aparece desde el espacio exterior , donde el horizonte es un círculo máximo . Las formas y áreas están distorsionadas , particularmente cerca de los bordes. [6] [7]
La proyección ortográfica es conocida desde la antigüedad, estando bien documentados sus usos cartográficos. Hiparco utilizó la proyección en el siglo II a. C. para determinar los lugares de salida y puesta de las estrellas. Aproximadamente en el año 14 a. C., el ingeniero romano Marco Vitruvio Polión utilizó la proyección para construir relojes de sol y calcular las posiciones del sol. [7]
Vitruvio también parece haber ideado el término ortográfico – del griego orthos (“recto”) y graphē (“dibujo”) – para la proyección. Sin embargo, el nombre analemma , que también significaba un reloj de sol que mostraba la latitud y la longitud, fue el nombre común hasta que François d'Aguilon de Amberes promovió su nombre actual en 1613. [7]
Los mapas más antiguos que se conservan en la proyección aparecen como dibujos grabados en madera de globos terrestres de 1509 (anónimo), 1533 y 1551 (Johannes Schöner) y 1524 y 1551 (Apian). [7]
