Tetraedro heroniano

Tetraedro cuyas longitudes de aristas, áreas de caras y volumen son todos números enteros

Un tetraedro heroniano ^[1] (también llamado tetraedro de Heron ^[2] o pirámide perfecta ^[3] ) es un tetraedro cuyas longitudes de aristas, áreas de caras y volumen son todos números enteros . Por lo tanto, todas las caras deben ser triángulos heronianos (llamados así por Herón de Alejandría ). Todo tetraedro heroniano se puede organizar en el espacio euclidiano de modo que las coordenadas de sus vértices también sean números enteros. ^[1]

Ejemplos

Un ejemplo conocido por Leonhard Euler es un tetraedro birrectangular heroniano , un tetraedro con una trayectoria de tres aristas paralelas a los tres ejes de coordenadas y con todas las caras siendo triángulos rectángulos . Las longitudes de las aristas en la trayectoria de aristas paralelas al eje son 153, 104 y 672, y las otras tres longitudes de aristas son 185, 680 y 697, formando cuatro caras de triángulos rectángulos descritas por las ternas pitagóricas (153,104,185), (104,672,680), (153,680,697) y (185,672,697). ^[4]

En 1877 Reinhold Hoppe descubrió ocho ejemplos de tetraedros heronianos . ^[5]

117 es la longitud más pequeña posible de la arista más larga de un tetraedro perfecto con longitudes de arista integrales. Sus otras longitudes de arista son 51, 52, 53, 80 y 84. ^[3] 8064 es el volumen más pequeño posible (y 6384 es la superficie más pequeña posible) de un tetraedro perfecto. Las longitudes de arista integrales de un tetraedro heroniano con este volumen y superficie son 25, 39, 56, 120, 153 y 160. ^[6]

En 1943, EP Starke publicó otro ejemplo, en el que dos caras son triángulos isósceles con base 896 y lados 1073, y las otras dos caras también son isósceles con base 990 y los mismos lados. ^[7] Sin embargo, Starke cometió un error al informar su volumen que ha sido ampliamente copiado. ^[2] El volumen correcto es124 185 600 , el doble de la cifra informada por Starke. ^[8]

Sascha Kurz ha utilizado algoritmos de búsqueda por ordenador para encontrar todos los tetraedros heronianos con la longitud de arista más larga como máximo600 000 . ^[9]

Clasificación, familias infinitas y tipos especiales de tetraedros

Un tetraedro regular (uno cuyas caras son equiláteras) no puede ser un tetraedro heroniano porque, para los tetraedros regulares cuyas longitudes de aristas son números enteros, las áreas de las caras y el volumen son números irracionales . ^[10] Por la misma razón, ningún tetraedro heroniano puede tener un triángulo equilátero como una de sus caras. ^[3]

Hay infinitos tetraedros heronianos y, más fuertemente, infinitos disfenoides heronianos , tetraedros en los que todas las caras son congruentes y cada par de lados opuestos tiene longitudes iguales. En este caso, solo se necesitan tres longitudes de arista para describir el tetraedro, en lugar de seis, y los triples de longitudes que definen los tetraedros heronianos se pueden caracterizar utilizando una curva elíptica . ^{[3] [11]} También hay infinitos tetraedros heronianos con un ciclo de cuatro longitudes de arista iguales, en los que todas las caras son triángulos isósceles . ^[2]

También hay infinitos tetraedros birectangulares heronianos. Un método para generar tetraedros de este tipo deriva las longitudes de las aristas paralelas al eje , , y de dos sumas iguales de cuartas potencias ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle p^{4}+s^{4}=q^{4}+r^{4}}$

usando las fórmulas

${\displaystyle a={\bigl |}(pq)^{2}-(rs)^{2}{\bigr |},}$

${\displaystyle b={\bigl |}2pqrs{\bigr |},}$

${\displaystyle c={\bigl |}(pr)^{2})-|(qs)^{2}{\bigr |}.}$

Por ejemplo, el tetraedro derivado de esta manera a partir de una identidad de Leonhard Euler , , tiene , , y es igual a ${\displaystyle 59^{4}+158^{4}=133^{4}+134^{4}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$386 678 175 ,332 273 368 , y379 083 360 , con la hipotenusa del triángulo rectángulo igual a ${\displaystyle ab}$509 828 993 , la hipotenusa del triángulo rectángulo es igual a ${\displaystyle bc}$504 093 032 , y la hipotenusa de los dos lados restantes es igual a635 318 657 . ^[8] Para estos tetraedros, , , y forman las longitudes de los bordes de un cuboide casi perfecto , un cuboide rectangular en el que los lados, dos de las tres diagonales de las caras y la diagonal del cuerpo son todos números enteros. ^[4] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

No se ha encontrado ningún ejemplo de un tetraedro trirectangular heroniano y nadie ha demostrado que no exista.

Se desconoce una clasificación completa de todos los tetraedros heronianos. ^{[1] [2]}

Formas relacionadas

Una definición alternativa de los triángulos heronianos es que se pueden formar pegando dos triángulos rectángulos enteros a lo largo de un lado común. Esta definición también se ha generalizado a tres dimensiones, lo que ha dado lugar a una clase diferente de tetraedros que también se han denominado tetraedros de Heron. ^[12]

Referencias

1. Marshall, Susan H. ; Perlis, Alexander R. (2013), "Los tetraedros heronianos son tetraedros reticulares" (PDF) , American Mathematical Monthly , 120 (2): 140–149, doi :10.4169/amer.math.monthly.120.02.140, MR  3029939, S2CID  15888158
2. Chisholm, C.; MacDougall, JA (2006), "Tetraedros racionales y de Heron", Journal of Number Theory , 121 (1): 153–185, doi : 10.1016/j.jnt.2006.02.009 , hdl : 1959.13/26739 , MR  2268761
3. Buchholz, Ralph Heiner (1992), "Pirámides perfectas" (PDF) , Boletín de la Sociedad Matemática Australiana , 45 (3): 353–368, doi : 10.1017/S0004972700030252 , MR  1165142, archivado desde el original (PDF) el 27 de octubre de 2009
4. Gardner, Martin (1983), "Capítulo 2: Análisis diofántico y el último teorema de Fermat", Ruedas, vida y otras diversiones matemáticas , WH Freeman, págs. 10-19, Bibcode :1983wlom.book.....G; véase en particular la página 14
5. Hoppe, R. (1877), "Über racionale Dreikante und Tetraeder", Archiv der Mathematik und Physik , 61 : 86–98, citado por Chisholm y MacDougall (2006)
6. Peterson, Ivars (julio de 2003), "Math Trek: Perfect Pyramids", Science News , archivado desde el original el 20 de febrero de 2008
7. Starke, EP (junio-julio de 1943), "E 544: Un tetraedro conmensurable", Problemas y soluciones, The American Mathematical Monthly , 50 (6): 390, doi :10.2307/2303724, JSTOR  2303724
8. "Problema 930" (PDF) , Soluciones, Crux Mathematicorum , 11 (5): 162–166, mayo de 1985
9. Kurz, Sascha (2008), "Sobre la generación de triángulos heronianos", Serdica Journal of Computing , 2 (2): 181–196, arXiv : 1401.6150 , MR  2473583
10. Coxeter, HSM (1973), Politopos regulares (3.ª ed.), Dover, Tabla I(i), págs. 292-293
11. Güntsche, R. (1907), "Rationale Tetraeder mit kongruenten Seiten", Sitzungsberichte der Berliner Mathematische Gesellschaft , 6 : 38–53, citado por Chisholm y MacDougall (2006)
12. Lin, C.-S. (noviembre de 2011), "95.66 El volumen recíproco de un tetraedro de Heron", The Mathematical Gazette , 95 (534): 542–545, doi :10.1017/S0025557200003740, JSTOR  23248533(sobre un concepto diferente con el mismo nombre)

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Tetraedro heroniano". MathWorld .