El Teorema Egregium de Gauss (del latín "Teorema notable") es un resultado importante de la geometría diferencial , demostrado por Carl Friedrich Gauss en 1827, que se refiere a la curvatura de las superficies. El teorema dice que la curvatura gaussiana se puede determinar completamente midiendo ángulos, distancias y sus proporciones en una superficie, sin referencia a la manera particular en que la superficie está incrustada en el espacio euclidiano tridimensional ambiental. En otras palabras, la curvatura gaussiana de una superficie no cambia si se dobla la superficie sin estirarla. Por lo tanto, la curvatura gaussiana es un invariante intrínseco de una superficie.
Gauss presentó el teorema de esta manera (traducido del latín):
El teorema es "notable" porque la definición de curvatura gaussiana hace amplia referencia a la forma específica en que la superficie está incrustada en el espacio tridimensional, y es bastante sorprendente que el resultado no dependa de su incrustación.
En la terminología matemática moderna, el teorema puede enunciarse de la siguiente manera:
La curvatura gaussiana de una superficie es invariante bajo isometría local .
Una esfera de radio R tiene una curvatura gaussiana constante que es igual a 1/ R 2 . Al mismo tiempo, un plano tiene una curvatura gaussiana cero. Como corolario del Teorema Egregium, un trozo de papel no se puede doblar sobre una esfera sin que se arrugue. A la inversa, la superficie de una esfera no se puede desplegar sobre un plano sin distorsionar las distancias. Si uno pisara una cáscara de huevo vacía, sus bordes tienen que dividirse en expansión antes de aplanarse. Matemáticamente, una esfera y un plano no son isométricos , ni siquiera localmente. Este hecho es significativo para la cartografía : implica que ningún mapa plano de la Tierra puede ser perfecto, ni siquiera para una porción de la superficie terrestre. Por lo tanto, toda proyección cartográfica necesariamente distorsiona al menos algunas distancias. [1]
El catenoide y el helicoide son dos superficies de aspecto muy diferente. Sin embargo, cada una de ellas puede doblarse continuamente hacia la otra: son localmente isométricas. Del teorema Egregium se deduce que, bajo esta flexión, la curvatura gaussiana en cualesquiera dos puntos correspondientes del catenoide y el helicoide es siempre la misma. Por lo tanto, la isometría es simplemente la flexión y torsión de una superficie sin arrugamiento ni desgarro interno, en otras palabras, sin tensión, compresión ni esfuerzo cortante adicionales.
Una aplicación del teorema se ve cuando un objeto plano se pliega o dobla ligeramente a lo largo de una línea, creando rigidez en la dirección perpendicular. Esto es de uso práctico en la construcción, así como en una estrategia común para comer pizza : una porción plana de pizza puede verse como una superficie con una curvatura gaussiana constante 0. Doblar suavemente una porción debe mantener aproximadamente esta curvatura (asumiendo que la curva es aproximadamente una isometría local). Si uno dobla una porción horizontalmente a lo largo de un radio, se crean curvaturas principales distintas de cero a lo largo de la curva, lo que dicta que la otra curvatura principal en estos puntos debe ser cero. Esto crea rigidez en la dirección perpendicular al pliegue, un atributo deseable para comer pizza, ya que mantiene su forma el tiempo suficiente para ser consumida sin ensuciarse. Este mismo principio se utiliza para fortalecer los materiales corrugados, más familiarmente con el tablero de fibra corrugado y el hierro galvanizado corrugado , [2] y también en algunas formas de papas fritas .