Teorema de Goddard-Thorn

Teorema de la teoría de cuerdas

En matemáticas , y en particular en el contexto matemático de la teoría de cuerdas , el teorema de Goddard-Thorn (también llamado teorema de no fantasma ) es un teorema que describe las propiedades de un funtor que cuantifica cuerdas bosónicas . Recibe su nombre en honor a Peter Goddard y Charles Thorn .

El nombre "teorema de no fantasmas" se deriva del hecho de que en el enunciado original del teorema, el producto interno natural inducido en el espacio vectorial de salida es definido positivo. Por lo tanto, no existían los llamados fantasmas ( fantasmas de Pauli-Villars ) o vectores de norma negativa. El nombre "teorema de no fantasmas" también es un juego de palabras con el teorema de no-go de la mecánica cuántica.

Declaración

Esta afirmación es de Borcherds (1992).

Supóngase que es una representación unitaria del álgebra de Virasoro , por lo que está equipada con una forma bilineal no degenerada y hay un homomorfismo de álgebra de modo que donde el adjunto está definido con respecto a la forma bilineal, y Supóngase también que se descompone en una suma directa de espacios propios de con valores propios enteros no negativos , denotados , y que cada uno es de dimensión finita (dando una - gradación ). Supóngase también que admite una acción de un grupo que preserva esta gradación. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathrm {Vir} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle \rho :\mathrm {Vir} \rightarrow \mathrm {End} (V)}$ $${\displaystyle \rho (L_{i})^{\dagger }=\rho (L_{-i})}$$ $${\displaystyle \rho (c)=24\mathrm {id} _{V}.}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle i\geq 0}$ ${\displaystyle V^{i}}$ ${\displaystyle V^{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$

Para la red lorentziana unimodular bidimensional II _1,1 , denotemos el álgebra de vértices de la red correspondiente por . Esta es un álgebra graduada II _1,1 con una forma bilineal y conlleva una acción del álgebra de Virasoro. ${\displaystyle V_{II_{1,1}}}$

Sea el subespacio del álgebra de vértices que consta de vectores tales que para . Sea el subespacio de de grado . Cada espacio hereda una -acción que actúa como se prescribe en y trivialmente en . ${\displaystyle P^{1}}$ ${\displaystyle V\otimes V_{II_{1,1}}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle L_{0}\cdot v=v,L_{n}\cdot v=0}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle P_{r}^{1}}$ ${\displaystyle P^{1}}$ ${\displaystyle r\in II_{1,1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{II_{1,1}}}$

El cociente de por el espacio nulo de su forma bilineal es naturalmente isomorfo como un -módulo con una forma bilineal invariante, a si y si . ${\displaystyle P_{r}^{1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V^{1-(r,r)/2}}$ ${\displaystyle r\neq 0}$ ${\displaystyle V^{1}\oplus \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle r=0}$

II1,1

La red II _1,1 es la red de rango 2 con forma bilineal . Esta es par, unimodular e integral con signatura (+,-). $${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$$

Formalismo

Hay dos funtores naturalmente isomorfos que se utilizan normalmente para cuantificar cuerdas bosónicas. En ambos casos, se empieza con representaciones de energía positiva del álgebra de Virasoro de carga central 26, equipadas con formas bilineales invariantes de Virasoro, y se termina con espacios vectoriales equipados con formas bilineales. Aquí, "invariante de Virasoro" significa que L _n es adjunto a L _{− n} para todos los números enteros n .

El primer funtor es históricamente una "cuantización canónica antigua", y se obtiene tomando el cociente del subespacio primario de peso 1 por el radical de la forma bilineal. Aquí, el "subespacio primario" es el conjunto de vectores aniquilados por L _n para todos los n estrictamente positivos , y "peso 1" significa que L ₀ actúa por identidad. Un segundo funtor, naturalmente isomorfo, se obtiene mediante la cohomología BRST de grado 1. Los tratamientos más antiguos de la cohomología BRST a menudo tienen un cambio en el grado debido a un cambio en la elección de la carga BRST, por lo que se puede ver una cohomología de grado −1/2 en artículos y textos anteriores a 1995. Se puede encontrar una prueba de que los funtores son naturalmente isomorfos en la Sección 4.4 del texto de Teoría de Cuerdas de Polchinski .

El teorema de Goddard-Thorn equivale a la afirmación de que este funtor de cuantificación cancela más o menos la adición de dos bosones libres, como conjeturó Lovelace en 1971. La afirmación precisa de Lovelace era que en la dimensión crítica 26, las identidades de Ward de tipo Virasoro cancelan dos conjuntos completos de osciladores. Matemáticamente, esta es la siguiente afirmación:

Sea V una representación unitarizable de Virasoro de carga central 24 con forma bilineal invariante de Virasoro, y sea π^1,1
_λsea ​​el módulo irreducible del álgebra de Lie de Heisenberg R ^1,1 unido a un vector λ distinto de cero en R ^1,1 . Entonces la imagen de V  ⊗  π^1,1
_λbajo cuantificación es canónicamente isomorfo al subespacio de V sobre el que L ₀ actúa por 1-( λ , λ ).

La propiedad de no-fantasma se desprende inmediatamente, ya que la estructura hermítica positiva-definida de V se transfiere a la imagen bajo cuantificación.

Aplicaciones

Los funtores de cuantificación de cuerdas bosónicas descritos aquí se pueden aplicar a cualquier álgebra de vértices conforme con carga central 26, y la salida naturalmente tiene una estructura de álgebra de Lie. El teorema de Goddard-Thorn se puede aplicar entonces para describir concretamente el álgebra de Lie en términos del álgebra de vértices de entrada.

Tal vez el caso más espectacular de esta aplicación es la prueba de Richard Borcherds de la monstruosa conjetura de la luz de la luna, donde la representación unitarizable de Virasoro es el álgebra de vértices monstruosa (también llamada "módulo de la luz de la luna") construida por Frenkel , Lepowsky y Meurman . Al tomar un producto tensorial con el álgebra de vértices adjunta a una red hiperbólica de rango 2 y aplicar la cuantización, se obtiene el álgebra de Lie monstruosa , que es un álgebra de Kac-Moody generalizada graduada por la red. Al usar el teorema de Goddard-Thorn, Borcherds mostró que las partes homogéneas del álgebra de Lie son naturalmente isomorfas a las partes graduadas del módulo de la luz de la luna, como representaciones del grupo simple monstruoso .

Las aplicaciones anteriores incluyen la determinación de Frenkel de los límites superiores de las multiplicidades de raíces del álgebra de Lie de Kac-Moody cuyo diagrama de Dynkin es la red de Leech , y la construcción de Borcherds de un álgebra de Lie de Kac-Moody generalizada que contiene el álgebra de Lie de Frenkel y satura el límite 1/∆ de Frenkel.

Referencias

• Borcherds, Richard E (1990). "El álgebra de Lie monstruosa". Avances en Matemáticas . 83 (1): 30–47. doi : 10.1016/0001-8708(90)90067-w . ISSN  0001-8708.
• Borcherds, Richard E. (1992). "Monstruosas luces de luna y monstruosas superálgebras de Lie" (PDF) . Inventiones Mathematicae . 109 (1). Springer Science and Business Media LLC: 405–444. Bibcode :1992InMat.109..405B. doi :10.1007/bf01232032. ISSN  0020-9910. S2CID  16145482.
• I. Frenkel, Representaciones de álgebras de Kac-Moody y modelos de resonancia dual Aplicaciones de la teoría de grupos en física teórica, Lect. Appl. Math. 21 AMS (1985) 325–353.
• Goddard, P.; Thorn, CB (1972). "Compatibilidad del Pomeron dual con unitaridad y ausencia de fantasmas en el modelo de resonancia dual". Physics Letters B . 40 (2). Elsevier BV: 235–238. Bibcode :1972PhLB...40..235G. doi :10.1016/0370-2693(72)90420-0. ISSN  0370-2693.
• Lovelace, C. (1971). "Factores de forma de Pomeron y cortes duales de Regge". Physics Letters B . 34 (6). Elsevier BV: 500–506. Bibcode :1971PhLB...34..500L. doi :10.1016/0370-2693(71)90665-4. ISSN  0370-2693.
• Polchinski, Joseph (1998). Teoría de cuerdas . Cambridge: Cambridge University Press . doi :10.1017/cbo9780511816079. ISBN. 978-0-511-81607-9. PMC  33894 . PMID  9736684.