Teorema del caos de McKelvey-Schofield

Resultado en la teoría de la elección social

El teorema del caos de McKelvey-Schofield es un resultado de la teoría de la elección social . Afirma que si las preferencias se definen en un espacio de políticas multidimensional, entonces la elección de políticas utilizando la regla de la mayoría es inestable. En la mayoría de los casos no habrá un ganador de Condorcet y cualquier política puede implementarse mediante una secuencia de votaciones, independientemente de la política original. Esto significa que se pueden utilizar más políticas y cambiar el orden de las votaciones ("manipulación de la agenda") para elegir arbitrariamente al ganador. ^[1]

Se han demostrado versiones del teorema para diferentes tipos de preferencias, con diferentes clases de excepciones. Una versión del teorema fue demostrada por primera vez por Richard McKelvey en 1976, para preferencias basadas en distancias euclidianas en . Otra versión del teorema fue demostrada por Norman Schofield en 1978, para preferencias diferenciables . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Se puede pensar que el teorema muestra que el teorema de imposibilidad de Arrow se cumple cuando las preferencias se restringen a ser cóncavas en . El teorema del votante mediano muestra que cuando las preferencias se restringen a tener un solo pico en la línea real, el teorema de Arrow no se cumple y el punto ideal del votante mediano es un ganador de Condorcet. El teorema del caos muestra que esta buena noticia no continúa en múltiples dimensiones. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Definiciones

El teorema considera un número finito de votantes, n , que votan por políticas que se representan como puntos en el espacio euclidiano de dimensión m . Cada voto se realiza entre dos políticas utilizando la regla de la mayoría . Cada votante, i , tiene una función de utilidad , U _i , que mide cuánto valora las diferentes políticas. ^{[ aclaración necesaria ]}

Preferencias euclidianas

Richard McKelvey consideró el caso en el que las preferencias son "métricas euclidianas". ^[2] Esto significa que la función de utilidad de cada votante tiene la forma para todas las políticas x y algunas x _i , donde d es la distancia euclidiana y es una función decreciente monótona . $${\displaystyle U_{i}(x)=\Phi _{i}\cdot d(x,x_{i})}$$ ${\displaystyle \Phi _{i}}$

En estas condiciones, podría haber una serie de políticas que no tengan un ganador de Condorcet utilizando la regla de la mayoría. Esto significa que, dada una cantidad de políticas X _a , X _b , X _c , podría haber una serie de elecciones por pares donde:

1. X _a gana sobre X _b
2. X _b gana a X _c
3. X _c gana a X _a

McKelvey demostró que las elecciones pueden ser incluso más "caóticas" que eso: si no hay un resultado de equilibrio ^{[ aclaración necesaria ]} entonces dos políticas cualesquiera, por ejemplo A y B , tienen una secuencia de políticas, , donde cada una gana por pares sobre la otra en una serie de elecciones, lo que significa: ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{s}}$

1. A gana sobre X ₁
2. X ₁ gana a X ₂
3. ...
4. X gana sobre _B

Esto es cierto independientemente de si A vence a B o viceversa .

Ejemplo

Un ejemplo del teorema de McKelvey

El ejemplo más simple que ilustra esto es en dos dimensiones , con tres votantes. Cada votante tendrá entonces una política preferida máxima, y ​​cualquier otra política tendrá una curva de indiferencia circular correspondiente centrada en la política preferida. Si se propusiera una política, entonces cualquier política en la intersección de las curvas de indiferencia de dos votantes la superaría. Cualquier punto en el plano casi siempre tendrá un conjunto de puntos que son preferidos por 2 de cada 3 votantes.

Generalizaciones

Norman Schofield extendió el teorema a clases más generales de funciones de utilidad, exigiendo únicamente que sean diferenciables . También estableció condiciones para la existencia de una trayectoria continua dirigida de políticas, donde cada política que se encuentre más adelante en la trayectoria ganaría frente a una anterior. ^{[3] [1]} Jeffrey S. Banks descubrió posteriormente que algunas de las pruebas de Schofield eran incorrectas y corrigió sus pruebas. ^{[4] [5]}

Referencias

1. Cox, Gary W. ; Shepsle, Kenneth A. (2007). "Ciclos de mayoría y manipulación de la agenda: contribuciones y legado de Richard McKelvey". En Aldrich, John Herbert; Alt, James E.; Lupia, Arthur (eds.). Cambios positivos en la ciencia política . Perspectivas analíticas sobre la política. Ann Arbor, Michigan: University of Michigan Press. págs. 20–23. ISBN 978-0-472-06986-6.
2. McKelvey, Richard D. (junio de 1976). "Intransitividades en modelos de votación multidimensionales y algunas implicaciones para el control de la agenda". Journal of Economic Theory . 12 (3): 472–482. doi :10.1016/0022-0531(76)90040-5.
3. Schofield, N. (1 de octubre de 1978). "Inestabilidad de juegos dinámicos simples". The Review of Economic Studies . 45 (3): 575–594. doi :10.2307/2297259. JSTOR  2297259.
4. Banks, Jeffrey S. (1 de enero de 1995). "Teoría de la singularidad y existencia de núcleos en el modelo espacial". Revista de economía matemática . 24 (6): 523–536. doi : 10.1016/0304-4068(94)00704-E . ISSN  0304-4068.
5. Saari, Donald G. (2008). "Deliver Us from the Plurality Vote". Desechar dictadores, desmitificar las paradojas del voto: análisis de la elección social. Cambridge, Nueva York: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-51605-1.OCLC 227031682  .