Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon

El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon es un principio esencial para el procesamiento de señales digitales que vincula el rango de frecuencia de una señal y la frecuencia de muestreo necesaria para evitar un tipo de distorsión denominada aliasing . El teorema establece que la frecuencia de muestreo debe ser al menos el doble del ancho de banda de la señal para evitar el aliasing. En la práctica, se utiliza para seleccionar filtros limitadores de banda para mantener el aliasing por debajo de una cantidad aceptable cuando se muestrea una señal analógica o cuando se modifican las frecuencias de muestreo dentro de una función de procesamiento de señales digitales.

Ejemplo de magnitud de la transformada de Fourier de una función de banda limitada

El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon es un teorema en el campo del procesamiento de señales que sirve como un puente fundamental entre las señales de tiempo continuo y las señales de tiempo discreto . Establece una condición suficiente para una frecuencia de muestreo que permita que una secuencia discreta de muestras capture toda la información de una señal de tiempo continuo de ancho de banda finito .

Estrictamente hablando, el teorema sólo se aplica a una clase de funciones matemáticas que tienen una transformada de Fourier que es cero fuera de una región finita de frecuencias. Intuitivamente esperamos que cuando uno reduce una función continua a una secuencia discreta y la interpola de nuevo a una función continua, la fidelidad del resultado depende de la densidad (o frecuencia de muestreo ) de las muestras originales. El teorema de muestreo introduce el concepto de una frecuencia de muestreo que es suficiente para una fidelidad perfecta para la clase de funciones que están limitadas por banda a un ancho de banda dado, de modo que no se pierda información real en el proceso de muestreo. Expresa la frecuencia de muestreo suficiente en términos del ancho de banda para la clase de funciones. El teorema también conduce a una fórmula para reconstruir perfectamente la función de tiempo continuo original a partir de las muestras.

Aún es posible realizar una reconstrucción perfecta cuando no se satisface el criterio de frecuencia de muestreo, siempre que se conozcan otras restricciones de la señal (consulte el apartado Muestreo de señales que no son de banda base y detección comprimida más adelante ). En algunos casos (cuando no se satisface el criterio de frecuencia de muestreo), la utilización de restricciones adicionales permite realizar reconstrucciones aproximadas. La fidelidad de estas reconstrucciones se puede verificar y cuantificar utilizando el teorema de Bochner . ^[1]

El nombre de teorema de muestreo de Nyquist-Shannon rinde homenaje a Harry Nyquist y Claude Shannon , pero el teorema también fue descubierto previamente por ET Whittaker (publicado en 1915), y Shannon citó el artículo de Whittaker en su trabajo. Por lo tanto, el teorema también se conoce con los nombres de teorema de muestreo de Whittaker-Shannon , Whittaker-Shannon y Whittaker-Nyquist-Shannon , y también puede denominarse teorema cardinal de interpolación .

Introducción

El muestreo es un proceso de conversión de una señal (por ejemplo, una función de tiempo o espacio continuo) en una secuencia de valores (una función de tiempo o espacio discreto). La versión de Shannon del teorema establece: ^[2]

Teorema  :  Si una función no contiene frecuencias mayores que B hertz , entonces puede determinarse completamente a partir de sus ordenadas en una secuencia de puntos espaciados a menos de segundos de distancia. ${\displaystyle x(t)}$  ${\displaystyle 1/(2B)}$

Por lo tanto, una frecuencia de muestreo suficiente es cualquier valor mayor que muestras por segundo. De manera equivalente, para una frecuencia de muestreo dada , se garantiza la posibilidad de una reconstrucción perfecta para un límite de banda . ${\displaystyle 2B}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle B<f_{s}/2}$

Cuando el límite de banda es demasiado alto (o no hay límite de banda), la reconstrucción exhibe imperfecciones conocidas como aliasing . Las declaraciones modernas del teorema a veces son cuidadosas al indicar explícitamente que no debe contener ningún componente sinusoidal exactamente a la frecuencia o que debe ser estrictamente menor que la mitad de la frecuencia de muestreo. El umbral se llama frecuencia de Nyquist y es un atributo de la entrada de tiempo continuo que se va a muestrear. La frecuencia de muestreo debe exceder la frecuencia de Nyquist para que las muestras sean suficientes para representar   El umbral se llama frecuencia de Nyquist y es un atributo del equipo de muestreo . Todos los componentes de frecuencia significativos de la muestra correctamente muestreada existen por debajo de la frecuencia de Nyquist. La condición descrita por estas desigualdades se llama criterio de Nyquist o, a veces, condición de Raabe . El teorema también es aplicable a funciones de otros dominios, como el espacio, en el caso de una imagen digitalizada. El único cambio, en el caso de otros dominios, son las unidades de medida atribuidas a y ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle 2B}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t).}$ ${\displaystyle f_{s}/2}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle f_{s},}$ ${\displaystyle B.}$

La función sinc normalizada : sin(π x ) / (π x ) ... mostrando el pico central en x = 0 y cruces por cero en los otros valores enteros de x .

El símbolo se utiliza habitualmente para representar el intervalo entre muestras y se denomina período de muestra o intervalo de muestreo . Las muestras de la función se denotan comúnmente por ^[3] (alternativamente en la literatura de procesamiento de señales más antigua), para todos los valores enteros de   El multiplicador es un resultado de la transición del tiempo continuo al tiempo discreto (consulte Transformada_de_Fourier_en_tiempo_discreto#Relación_con_la_Transformada_de_Fourier ), y conserva la energía de la señal a medida que varía. ${\displaystyle T\triangleq 1/f_{s}}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x[n]\triangleq T\cdot x(nT)}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Una forma matemáticamente ideal de interpolar la secuencia implica el uso de funciones sinc . Cada muestra de la secuencia se reemplaza por una función sinc, centrada en el eje de tiempo en la ubicación original de la muestra con la amplitud de la función sinc escalada al valor de la muestra. Posteriormente, las funciones sinc se suman en una función continua. Un método matemáticamente equivalente utiliza el peine de Dirac y procede mediante la convolución de una función sinc con una serie de pulsos delta de Dirac , ponderados por los valores de la muestra. Ninguno de los métodos es numéricamente práctico. En su lugar, se utiliza algún tipo de aproximación de las funciones sinc, de longitud finita. Las imperfecciones atribuibles a la aproximación se conocen como error de interpolación . ${\displaystyle nT,}$ ${\displaystyle x(nT).}$

Los convertidores digitales a analógicos prácticos no producen funciones sinc escaladas y retardadas ni pulsos de Dirac ideales , sino que producen una secuencia constante por partes de pulsos rectangulares escalados y retardados (la retención de orden cero ), generalmente seguida de un filtro de paso bajo (llamado "filtro anti-imagen") para eliminar réplicas falsas de alta frecuencia (imágenes) de la señal de banda base original.

Alias

Las muestras de dos ondas sinusoidales pueden ser idénticas cuando al menos una de ellas está en una frecuencia superior a la mitad de la frecuencia de muestreo.

Cuando una función tiene una transformada de Fourier : ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle X(f)}$

${\displaystyle X(f)\ \triangleq \ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i2\pi ft}\ {\rm {d}}t,}$

Entonces, las muestras de son suficientes para crear una suma periódica de (ver Transformada de Fourier de tiempo discreto#Relación con la Transformada de Fourier ) : ${\displaystyle x[n],}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle X(f).}$

${\displaystyle X(f)}$(arriba en azul) y (abajo en azul) son transformadas de Fourier continuas de dos funciones diferentes , y (no se muestra). Cuando las funciones se muestrean a una frecuencia , las imágenes (verde) se suman a las transformadas originales (azul) cuando se examinan las transformadas de Fourier de tiempo discreto (DTFT) de las secuencias. En este ejemplo hipotético, las DTFT son idénticas, lo que significa que las secuencias muestreadas son idénticas , aunque las funciones premuestreadas continuas originales no lo sean. Si fueran señales de audio, y podrían no sonar igual. Pero sus muestras (tomadas a una frecuencia ) son idénticas y darían lugar a sonidos reproducidos idénticos; por lo tanto, es un alias de a esta frecuencia de muestreo. ${\displaystyle X_{A}(f)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x_{A}(t)}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x_{A}(t)}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle x_{A}(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$

que es una función periódica y su representación equivalente es una serie de Fourier , cuyos coeficientes son . Esta función también se conoce como transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) de la secuencia de muestra. ${\displaystyle x[n]}$

Como se muestra, las copias de se desplazan por múltiplos de la frecuencia de muestreo y se combinan por adición. Para una función limitada por banda y suficientemente grande, es posible que las copias permanezcan distintas entre sí. Pero si no se satisface el criterio de Nyquist, las copias adyacentes se superponen y, en general, no es posible discernir una inequívoca Cualquier componente de frecuencia superior es indistinguible de un componente de frecuencia inferior, llamado alias , asociado con una de las copias. En tales casos, las técnicas de interpolación habituales producen el alias, en lugar del componente original. Cuando la frecuencia de muestreo está predeterminada por otras consideraciones (como un estándar de la industria), generalmente se filtra para reducir sus frecuencias altas a niveles aceptables antes de muestrearlo. El tipo de filtro requerido es un filtro de paso bajo , y en esta aplicación se llama filtro anti-aliasing . ${\displaystyle X(f)}$ ${\displaystyle f_{s}=1/T}$ ${\displaystyle (X(f)=0,{\text{ for all }}|f|\geq B)}$ ${\displaystyle f_{s},}$ ${\displaystyle X(f).}$ ${\displaystyle f_{s}/2}$ ${\displaystyle x(t)}$

Espectro, , de una señal de banda limitada muestreada correctamente (azul) y las imágenes DTFT adyacentes (verde) que no se superponen. Un filtro de paso bajo de pared de ladrillos , , elimina las imágenes, deja el espectro original, , y recupera la señal original a partir de sus muestras. ${\displaystyle X_{s}(f)}$ ${\displaystyle H(f)}$ ${\displaystyle X(f)}$

La figura de la izquierda muestra una función (en gris/negro) que se está muestreando y reconstruyendo (en dorado) a densidades de muestra que aumentan constantemente, mientras que la figura de la derecha muestra el espectro de frecuencia de la función gris/negra, que no cambia. La frecuencia más alta del espectro es la mitad del ancho del espectro completo. El ancho del sombreado rosa que aumenta constantemente es igual a la frecuencia de muestreo. Cuando abarca todo el espectro de frecuencia, es el doble de grande que la frecuencia más alta, y es entonces cuando la forma de onda reconstruida coincide con la muestreada.

La derivación como caso especial de la suma de Poisson

Cuando no hay superposición de las copias (también conocidas como "imágenes") de , el término de la ecuación 1 se puede recuperar mediante el producto: ${\displaystyle X(f)}$ ${\displaystyle k=0}$

$${\displaystyle X(f)=H(f)\cdot X_{1/T}(f),}$$

dónde:

$${\displaystyle H(f)\ \triangleq \ {\begin{cases}1&|f|<B\\0&|f|>f_{s}-B.\end{cases}}}$$

El teorema de muestreo queda demostrado ya que determina de forma única . ${\displaystyle X(f)}$ ${\displaystyle x(t)}$

Todo lo que queda es derivar la fórmula para la reconstrucción. no necesita estar definida con precisión en la región porque es cero en esa región. Sin embargo, el peor caso es cuando la frecuencia de Nyquist. Una función que es suficiente para ese y todos los casos menos severos es : ${\displaystyle H(f)}$ ${\displaystyle [B,\ f_{s}-B]}$ ${\displaystyle X_{1/T}(f)}$ ${\displaystyle B=f_{s}/2,}$

$${\displaystyle H(f)=\mathrm {rect} \left({\frac {f}{f_{s}}}\right)={\begin{cases}1&|f|<{\frac {f_{s}}{2}}\\0&|f|>{\frac {f_{s}}{2}},\end{cases}}}$$

donde es la función rectangular . Por lo tanto: ${\displaystyle \mathrm {rect} }$

${\displaystyle X(f)=\mathrm {rect} \left({\frac {f}{f_{s}}}\right)\cdot X_{1/T}(f)}$

${\displaystyle =\mathrm {rect} (Tf)\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\ e^{-i2\pi nTf}}$      (de   la ecuación 1 , arriba).

${\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \underbrace {T\cdot \mathrm {rect} (Tf)\cdot e^{-i2\pi nTf}} _{{\mathcal {F}}\left\{\mathrm {sinc} \left({\frac {t-nT}{T}}\right)\right\}}.}$     ^[A]

La transformación inversa de ambos lados produce la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon :

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {t-nT}{T}}\right),}$

que muestra cómo las muestras, , se pueden combinar para reconstruir . ${\displaystyle x(nT)}$ ${\displaystyle x(t)}$

• Valores mayores de lo necesario (valores menores de ), llamados sobremuestreo , no tienen efecto en el resultado de la reconstrucción y tienen el beneficio de dejar espacio para una banda de transición en la que es libre tomar valores intermedios. El submuestreo , que causa aliasing, no es en general una operación reversible. ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H(f)}$
• En teoría, la fórmula de interpolación se puede implementar como un filtro de paso bajo , cuya respuesta al impulso es y cuya entrada es que es una función de peine de Dirac modulada por las muestras de señal. Los convertidores digitales a analógicos (DAC) prácticos implementan una aproximación como la retención de orden cero . En ese caso, el sobremuestreo puede reducir el error de aproximación. ${\displaystyle \mathrm {sinc} (t/T)}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \delta (t-nT),}$

Prueba original de Shannon

Poisson demuestra que la serie de Fourier en la ecuación 1 produce la suma periódica de , independientemente de y . Sin embargo, Shannon solo deriva los coeficientes de la serie para el caso . Citando virtualmente el artículo original de Shannon: ${\displaystyle X(f)}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f_{s}=2B}$

Sea el espectro de   Entonces ${\displaystyle X(\omega )}$ ${\displaystyle x(t).}$

${\displaystyle x(t)={1 \over 2\pi }\int _{-\infty }^{\infty }X(\omega )e^{i\omega t}\;{\rm {d}}\omega ={1 \over 2\pi }\int _{-2\pi B}^{2\pi B}X(\omega )e^{i\omega t}\;{\rm {d}}\omega ,}$

porque se supone que es cero fuera de la banda   Si dejamos donde es cualquier entero positivo o negativo, obtenemos: ${\displaystyle X(\omega )}$ ${\displaystyle \left|{\tfrac {\omega }{2\pi }}\right|<B.}$ ${\displaystyle t={\tfrac {n}{2B}},}$ ${\displaystyle n}$

A la izquierda se encuentran los valores de en los puntos de muestreo. La integral de la derecha se reconocerá esencialmente como ^[a] el coeficiente en una expansión en serie de Fourier de la función que toma el intervalo a como un período fundamental. Esto significa que los valores de las muestras determinan los coeficientes de Fourier en la expansión en serie de   Por lo tanto, determinan ya que es cero para frecuencias mayores que y para frecuencias menores se determina si se determinan sus coeficientes de Fourier. Pero determina la función original por completo, ya que una función se determina si se conoce su espectro. Por lo tanto, las muestras originales determinan la función por completo. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle n^{th}}$ ${\displaystyle X(\omega ),}$ ${\displaystyle -B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x(n/2B)}$ ${\displaystyle X(\omega ).}$ ${\displaystyle X(\omega ),}$ ${\displaystyle X(\omega )}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle X(\omega )}$ ${\displaystyle X(\omega )}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$

La prueba del teorema de Shannon está completa en ese punto, pero continúa discutiendo la reconstrucción a través de funciones sinc , lo que ahora llamamos la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon como se discutió anteriormente. No deriva ni prueba las propiedades de la función sinc, ya que la relación de pares de Fourier entre las funciones rect (la función rectangular) y sinc era bien conocida en ese momento. ^[4]

Sea la muestra. Entonces la función queda representada por: ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle n^{th}}$ ${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}{\sin(\pi (2Bt-n)) \over \pi (2Bt-n)}.}$

Al igual que en la otra prueba, se supone la existencia de la transformada de Fourier de la señal original, por lo que la prueba no dice si el teorema de muestreo se extiende a procesos aleatorios estacionarios de banda limitada.

Notas

1. Al multiplicar ambos lados de la ecuación 2 por se obtienen, a la izquierda, los valores de muestra escalados en la fórmula de Poisson ( Ecuación 1 ), y, a la derecha, la fórmula real para los coeficientes de expansión de Fourier. ${\displaystyle T=1/2B}$ ${\displaystyle (T\cdot x(nT))}$

Aplicación a señales e imágenes multivariables

Imagen submuestreada que muestra un patrón muaré

Imagen muestreada correctamente

El teorema de muestreo suele formularse para funciones de una sola variable. En consecuencia, el teorema es directamente aplicable a señales dependientes del tiempo y normalmente se formula en ese contexto. Sin embargo, el teorema de muestreo se puede extender de manera sencilla a funciones de un número arbitrario de variables. Las imágenes en escala de grises, por ejemplo, suelen representarse como conjuntos (o matrices) bidimensionales de números reales que representan las intensidades relativas de los píxeles (elementos de la imagen) ubicados en las intersecciones de las ubicaciones de muestra de las filas y columnas. Como resultado, las imágenes requieren dos variables independientes, o índices, para especificar cada píxel de forma única: uno para la fila y otro para la columna.

Las imágenes en color suelen constar de una composición de tres imágenes en escala de grises independientes, una para representar cada uno de los tres colores primarios: rojo, verde y azul, o RGB para abreviar. Otros espacios de color que utilizan 3 vectores para los colores incluyen HSV, CIELAB, XYZ, etc. Algunos espacios de color, como el cian, el magenta, el amarillo y el negro (CMYK), pueden representar el color en cuatro dimensiones. Todos ellos se tratan como funciones con valores vectoriales en un dominio muestreado bidimensional.

De manera similar a las señales unidimensionales de tiempo discreto, las imágenes también pueden sufrir aliasing si la resolución de muestreo, o densidad de píxeles, es inadecuada. Por ejemplo, una fotografía digital de una camisa a rayas con frecuencias altas (en otras palabras, la distancia entre las rayas es pequeña), puede causar aliasing de la camisa cuando es muestreada por el sensor de imagen de la cámara . El aliasing aparece como un patrón muaré . La "solución" para un muestreo más alto en el dominio espacial para este caso sería acercarse a la camisa, usar un sensor de mayor resolución o desenfocar ópticamente la imagen antes de adquirirla con el sensor usando un filtro óptico de paso bajo .

Otro ejemplo se muestra aquí en los patrones de ladrillos. La imagen superior muestra los efectos cuando no se cumple la condición del teorema de muestreo. Cuando el software cambia la escala de una imagen (el mismo proceso que crea la miniatura que se muestra en la imagen inferior), en efecto, pasa la imagen primero por un filtro de paso bajo y luego reduce la resolución de la imagen para obtener una imagen más pequeña que no exhibe el patrón muaré . La imagen superior es lo que sucede cuando se reduce la resolución de la imagen sin un filtro de paso bajo: se produce un aliasing.

El teorema de muestreo se aplica a los sistemas de cámara, donde la escena y la lente constituyen una fuente de señal espacial analógica, y el sensor de imagen es un dispositivo de muestreo espacial. Cada uno de estos componentes se caracteriza por una función de transferencia de modulación (MTF), que representa la resolución precisa (ancho de banda espacial) disponible en ese componente. Pueden producirse efectos de aliasing o desenfoque cuando la MTF de la lente y la MTF del sensor no coinciden. Cuando la imagen óptica que es muestreada por el dispositivo sensor contiene frecuencias espaciales más altas que el sensor, el submuestreo actúa como un filtro de paso bajo para reducir o eliminar el aliasing. Cuando el área del punto de muestreo (el tamaño del sensor de píxeles) no es lo suficientemente grande como para proporcionar un anti-aliasing espacial suficiente , se puede incluir un filtro anti-aliasing separado (filtro de paso bajo óptico) en un sistema de cámara para reducir la MTF de la imagen óptica. En lugar de requerir un filtro óptico, la unidad de procesamiento de gráficos de las cámaras de los teléfonos inteligentes realiza un procesamiento de señal digital para eliminar el aliasing con un filtro digital. Los filtros digitales también aplican nitidez para amplificar el contraste de la lente a frecuencias espaciales altas, que de lo contrario disminuye rápidamente en los límites de difracción.

El teorema de muestreo también se aplica al posprocesamiento de imágenes digitales, como el muestreo ascendente o descendente. Los efectos de aliasing, desenfoque y nitidez se pueden ajustar con un filtrado digital implementado en software, que necesariamente sigue los principios teóricos.

Una familia de sinusoides en la frecuencia crítica, todas con las mismas secuencias de muestreo de +1 y -1 alternados. Es decir, todas son alias entre sí, aunque su frecuencia no sea superior a la mitad de la frecuencia de muestreo.

Frecuencia crítica

Para ilustrar la necesidad de considerar la familia de senoides generadas por diferentes valores de en esta fórmula: ${\displaystyle f_{s}>2B,}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle x(t)={\frac {\cos(2\pi Bt+\theta )}{\cos(\theta )}}\ =\ \cos(2\pi Bt)-\sin(2\pi Bt)\tan(\theta ),\quad -\pi /2<\theta <\pi /2.}$

Con o equivalentemente las muestras vienen dadas por: ${\displaystyle f_{s}=2B}$ ${\displaystyle T=1/2B,}$

${\displaystyle x(nT)=\cos(\pi n)-\underbrace {\sin(\pi n)} _{0}\tan(\theta )=(-1)^{n}}$

Independientemente del valor de ${\displaystyle \theta .}$ ese tipo de ambigüedad es la razón de la estricta desigualdad de la condición del teorema de muestreo.

Muestreo de señales que no son de banda base

Como lo comenta Shannon: ^[2]

Un resultado similar es cierto si la banda no comienza en la frecuencia cero sino en un valor más alto, y puede demostrarse mediante una traducción lineal (que corresponde físicamente a la modulación de banda lateral única ) del caso de frecuencia cero. En este caso, el pulso elemental se obtiene mediante modulación de banda lateral única. ${\displaystyle \sin(x)/x}$

Es decir, existe una condición de ausencia de pérdidas suficiente para muestrear señales que no tienen componentes de banda base que involucra el ancho del intervalo de frecuencia distinto de cero en lugar de su componente de frecuencia más alta. Consulte el muestreo para obtener más detalles y ejemplos.

Por ejemplo, para muestrear señales de radio FM en el rango de frecuencia de 100-102  MHz , no es necesario muestrear a 204 MHz (el doble de la frecuencia superior), sino que es suficiente muestrear a 4 MHz (el doble del ancho del intervalo de frecuencia).

Una condición de paso de banda es que para todos los no negativos fuera de la banda abierta de frecuencias: ${\displaystyle X(f)=0,}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \left({\frac {N}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {N+1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right),}$

para algún entero no negativo . Esta formulación incluye la condición de banda base normal como el caso ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=0.}$

La función de interpolación correspondiente es la respuesta al impulso de un filtro de paso de banda de pared de ladrillos ideal (a diferencia del filtro de paso bajo de pared de ladrillos ideal utilizado anteriormente) con cortes en los bordes superior e inferior de la banda especificada, que es la diferencia entre un par de respuestas al impulso de paso bajo:

$${\displaystyle (N+1)\,\operatorname {sinc} \left({\frac {(N+1)t}{T}}\right)-N\,\operatorname {sinc} \left({\frac {Nt}{T}}\right).}$$

También son posibles otras generalizaciones, por ejemplo, para señales que ocupan múltiples bandas no contiguas. Incluso la forma más generalizada del teorema de muestreo no tiene una recíproca que pueda demostrarse como cierta. Es decir, no se puede concluir que la información se pierde necesariamente sólo porque no se satisfacen las condiciones del teorema de muestreo; sin embargo, desde una perspectiva de ingeniería, en general es seguro asumir que si no se satisface el teorema de muestreo, lo más probable es que se pierda información.

Muestreo no uniforme

La teoría de muestreo de Shannon se puede generalizar para el caso de muestreo no uniforme , es decir, muestras tomadas no igualmente espaciadas en el tiempo. La teoría de muestreo de Shannon para muestreo no uniforme establece que una señal limitada en banda se puede reconstruir perfectamente a partir de sus muestras si la frecuencia de muestreo promedio satisface la condición de Nyquist. ^[5] Por lo tanto, aunque las muestras uniformemente espaciadas pueden dar lugar a algoritmos de reconstrucción más fáciles, no es una condición necesaria para una reconstrucción perfecta.

La teoría general para muestras no uniformes y de banda base fue desarrollada en 1967 por Henry Landau . ^[6] Demostró que la frecuencia de muestreo promedio (uniforme o no) debe ser el doble del ancho de banda ocupado de la señal, asumiendo que se sabe a priori qué porción del espectro estaba ocupada.

A finales de los años 1990, este trabajo se amplió parcialmente para cubrir señales para las que se conoce la cantidad de ancho de banda ocupado pero se desconoce la porción ocupada real del espectro. ^[7] En la década de 2000, se desarrolló una teoría completa (consulte la sección Muestreo por debajo de la tasa de Nyquist bajo restricciones adicionales a continuación) utilizando detección comprimida . En particular, la teoría, que utiliza lenguaje de procesamiento de señales, se describe en un artículo de 2009 de Mishali y Eldar. ^[8] Muestran, entre otras cosas, que si se desconocen las ubicaciones de frecuencia, entonces es necesario muestrear al menos al doble de los criterios de Nyquist; en otras palabras, debe pagar al menos un factor de 2 por no conocer la ubicación del espectro . Tenga en cuenta que los requisitos mínimos de muestreo no garantizan necesariamente la estabilidad .

Muestreo por debajo de la tasa de Nyquist bajo restricciones adicionales

El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon proporciona una condición suficiente para el muestreo y la reconstrucción de una señal limitada en banda. Cuando la reconstrucción se realiza mediante la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon , el criterio de Nyquist también es una condición necesaria para evitar el aliasing, en el sentido de que si las muestras se toman a una velocidad inferior al doble del límite de banda, entonces hay algunas señales que no se reconstruirán correctamente. Sin embargo, si se imponen más restricciones a la señal, entonces el criterio de Nyquist puede dejar de ser una condición necesaria .

Un ejemplo no trivial de explotación de suposiciones adicionales sobre la señal lo da el campo reciente de la detección comprimida , que permite una reconstrucción completa con una frecuencia de muestreo sub-Nyquist. Específicamente, esto se aplica a señales que son dispersas (o comprimibles) en algún dominio. Como ejemplo, la detección comprimida se ocupa de señales que pueden tener un ancho de banda general bajo (por ejemplo, el ancho de banda efectivo ) pero las ubicaciones de frecuencia son desconocidas, en lugar de estar todas juntas en una sola banda, de modo que la técnica de banda de paso no se aplica. En otras palabras, el espectro de frecuencia es escaso. Tradicionalmente, la frecuencia de muestreo necesaria es, por lo tanto, utilizando técnicas de detección comprimida, la señal podría reconstruirse perfectamente si se muestrea a una frecuencia ligeramente inferior a Con este enfoque, la reconstrucción ya no viene dada por una fórmula, sino por la solución de un programa de optimización lineal . ${\displaystyle EB}$ ${\displaystyle 2B.}$ ${\displaystyle 2EB.}$

Otro ejemplo en el que el muestreo sub-Nyquist es óptimo surge bajo la restricción adicional de que las muestras se cuanticen de manera óptima, como en un sistema combinado de muestreo y compresión con pérdida óptima . ^[9] Esta configuración es relevante en casos en los que se debe considerar el efecto conjunto del muestreo y la cuantización , y puede proporcionar un límite inferior para el error de reconstrucción mínimo que se puede lograr al muestrear y cuantizar una señal aleatoria . Para señales aleatorias gaussianas estacionarias, este límite inferior generalmente se logra a una tasa de muestreo sub-Nyquist, lo que indica que el muestreo sub-Nyquist es óptimo para este modelo de señal bajo una cuantización óptima . ^[10]

Antecedentes históricos

El teorema de muestreo fue implícito en el trabajo de Harry Nyquist en 1928, ^[11] en el que demostró que se podían enviar muestras de pulsos independientes a través de un sistema de ancho de banda ; pero no consideró explícitamente el problema del muestreo y la reconstrucción de señales continuas. Casi al mismo tiempo, Karl Küpfmüller mostró un resultado similar ^{[12] y analizó la respuesta al impulso de función sinc de un filtro limitador de banda, a través de su integral, la} integral sinusoidal de respuesta escalonada ; este filtro limitador de banda y reconstrucción que es tan central para el teorema de muestreo a veces se denomina filtro Küpfmüller (pero rara vez así en inglés). ${\displaystyle 2B}$ ${\displaystyle B}$

El teorema de muestreo, esencialmente un dual del resultado de Nyquist, fue demostrado por Claude E. Shannon . ^[2] El matemático ET Whittaker publicó resultados similares en 1915, ^[13] JM Whittaker en 1935, ^[14] y Gabor en 1946 ("Teoría de la comunicación").

En 1948 y 1949, Claude E. Shannon publicó los dos artículos revolucionarios en los que fundó la teoría de la información. ^{[15] [16] [2]} En Shannon 1948, el teorema de muestreo se formula como "Teorema 13": Sea que no contenga frecuencias sobre W. Entonces ${\displaystyle f(t)}$

$${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}{\frac {\sin \pi (2Wt-n)}{\pi (2Wt-n)}},}$$dónde ${\displaystyle X_{n}=f\left({\frac {n}{2W}}\right).}$

No fue hasta la publicación de estos artículos que el teorema conocido como "teorema de muestreo de Shannon" se convirtió en propiedad común entre los ingenieros de comunicaciones, aunque el propio Shannon escribe que se trata de un hecho de conocimiento común en el arte de la comunicación. ^[B] Sin embargo, unas líneas más adelante, añade: "pero a pesar de su evidente importancia, [parece] no haber aparecido explícitamente en la literatura de la teoría de la comunicación". A pesar de que su teorema de muestreo se publicó a finales de la década de 1940, Shannon ya había derivado su teorema de muestreo en 1940. ^[17]

Otros descubridores

En varios artículos históricos se ha hablado de otros que descubrieron o desempeñaron papeles en el desarrollo del teorema de muestreo de forma independiente, por ejemplo, en Jerri ^[18] y en Lüke ^[19] . Por ejemplo, Lüke señala que H. Raabe, un asistente de Küpfmüller, demostró el teorema en su tesis doctoral de 1939; el término condición de Raabe llegó a asociarse con el criterio de representación inequívoca (frecuencia de muestreo mayor que el doble del ancho de banda). Meijering ^[20] menciona a otros descubridores y nombres en un párrafo y un par de notas a pie de página:

Como señaló Higgins, el teorema de muestreo debería considerarse en dos partes, como se hizo anteriormente: la primera establece el hecho de que una función limitada en banda está completamente determinada por sus muestras, la segunda describe cómo reconstruir la función usando sus muestras. Ambas partes del teorema de muestreo fueron dadas en una forma algo diferente por JM Whittaker y antes de él también por Ogura. Probablemente no eran conscientes del hecho de que la primera parte del teorema había sido establecida ya en 1897 por Borel. ^{[Meijering 1]} Como hemos visto, Borel también utilizó en esa época lo que se conoció como la serie cardinal. Sin embargo, parece que no hizo el vínculo. En años posteriores se supo que el teorema de muestreo había sido presentado antes que Shannon a la comunidad de comunicación rusa por Kotel'nikov . En forma verbal más implícita, también había sido descrito en la literatura alemana por Raabe. Varios autores han mencionado que Someya introdujo el teorema en la literatura japonesa paralelamente a Shannon. En la literatura inglesa, Weston lo introdujo independientemente de Shannon casi al mismo tiempo. ^{[Meijering 2]}

1. Varios autores, siguiendo a Black, han afirmado que esta primera parte del teorema de muestreo fue enunciada incluso antes por Cauchy, en un artículo publicado en 1841. Sin embargo, el artículo de Cauchy no contiene tal afirmación, como ha señalado Higgins.
2. Como consecuencia del descubrimiento de las diversas introducciones independientes del teorema de muestreo, la gente comenzó a referirse al teorema incluyendo los nombres de los autores antes mencionados, lo que dio lugar a frases hechas como "el teorema de muestreo de Whittaker–Kotel'nikov–Shannon (WKS)" o incluso "el teorema de muestreo de Whittaker–Kotel'nikov–Raabe–Shannon–Someya". Para evitar confusiones, tal vez lo mejor sea referirse a él como el teorema de muestreo, "en lugar de intentar encontrar un título que haga justicia a todos los que lo afirman".

—  Eric Meijering, "Una cronología de la interpolación desde la astronomía antigua hasta el procesamiento moderno de señales e imágenes" (citas omitidas)

En la literatura rusa se le conoce como teorema de Kotelnikov, en honor a Vladimir Kotelnikov , quien lo descubrió en 1933. ^[21]

¿Por qué Nyquist?

Aún no se sabe exactamente cómo, cuándo ni por qué Harry Nyquist hizo que su nombre se asociara al teorema de muestreo. El término Teorema de muestreo de Nyquist (con mayúscula inicial) apareció en 1959 en un libro de su antiguo empleador, Bell Labs , ^[22] y volvió a aparecer en 1963, ^[23] y sin mayúscula inicial en 1965. ^[24] Ya en 1954 se lo había llamado Teorema de muestreo de Shannon , ^[25] pero también se lo había llamado simplemente Teorema de muestreo en varios otros libros a principios de los años 50.

En 1958, Blackman y Tukey citaron el artículo de Nyquist de 1928 como referencia para el teorema de muestreo de la teoría de la información ^[26] , aunque ese artículo no trata el muestreo y la reconstrucción de señales continuas como lo hicieron otros. Su glosario de términos incluye estas entradas:

Teorema de muestreo (teoría de la información)

Resultado de Nyquist de que los datos equiespaciados, con dos o más puntos por ciclo de frecuencia más alta, permiten la reconstrucción de funciones limitadas por banda. (Véase el teorema de Cardinal ).

Teorema cardinal (de la teoría de interpolación)

Una declaración precisa de las condiciones bajo las cuales los valores dados en un conjunto doblemente infinito de puntos igualmente espaciados pueden interpolarse para producir una función continua limitada en banda con la ayuda de la función $${\displaystyle {\frac {\sin(x-x_{i})}{x-x_{i}}}.}$$

A qué "resultado de Nyquist" se refieren exactamente sigue siendo un misterio.

Cuando Shannon enunció y demostró el teorema de muestreo en su artículo de 1949, según Meijering, ^[20] "se refirió al intervalo crítico de muestreo como el intervalo de Nyquist correspondiente a la banda en reconocimiento del descubrimiento de Nyquist de la importancia fundamental de este intervalo en relación con la telegrafía". Esto explica el nombre de Nyquist para el intervalo crítico, pero no para el teorema. ${\displaystyle T={\frac {1}{2W}}}$ ${\displaystyle W,}$

De manera similar, el nombre de Nyquist fue agregado a la tarifa Nyquist en 1953 por Harold S. Black :

Si el rango de frecuencia esencial está limitado a ciclos por segundo, Nyquist lo dio como el número máximo de elementos de código por segundo que podrían resolverse de manera inequívoca, suponiendo que la interferencia máxima es menor que la mitad de un paso cuántico. Esta tasa se conoce generalmente como señalización a la tasa de Nyquist y se ha denominado intervalo de Nyquist . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle 2B}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2B}}}$

—  Harold Black, Teoría de la modulación ^[27] (negrita añadida para enfatizar; cursiva como en el original)

Según el Oxford English Dictionary , este podría ser el origen del término tasa de Nyquist . En el uso que le da Black, no se trata de una tasa de muestreo, sino de una tasa de señalización.

Véase también

• 44.100 Hz , una frecuencia habitual utilizada para muestrear frecuencias audibles, se basa en los límites de la audición humana y el teorema de muestreo.
• Teorema de Balian-Low , un límite inferior teórico similar para las tasas de muestreo, pero que se aplica a las transformaciones de tiempo-frecuencia
• Teorema de Cheung-Marks , que especifica las condiciones en las que la restauración de una señal mediante el teorema de muestreo puede volverse incorrecta.
• Teorema de Shannon-Hartley
• Criterio ISI de Nyquist
• Reconstrucción a partir de cruces por cero
• Retención de orden cero
• Peine de Dirac

Notas

1. La función sinc se desprende de las filas 202 y 102 de las tablas de transformación
2. Shannon 1949, pág. 448.

Referencias

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Lectura adicional

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• Marks, II, RJ (1991). Introducción a la teoría de muestreo e interpolación de Shannon (PDF) . Springer Texts in Electrical Engineering. Springer. doi :10.1007/978-1-4613-9708-3. ISBN. 978-1-4613-9708-3. Archivado (PDF) del original el 14 de julio de 2011.
• Marks, II, RJ, ed. (1993). Temas avanzados en muestreo de Shannon y teoría de interpolación (PDF) . Textos de Springer en ingeniería eléctrica. Springer. doi :10.1007/978-1-4613-9757-1. ISBN . 978-1-4613-9757-1. Archivado (PDF) del original el 6 de octubre de 2011.
• Marks, II, RJ (2009). "Capítulos 5-8". Manual de análisis de Fourier y sus aplicaciones. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-804430-7.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "§13.11. Uso numérico del teorema de muestreo", Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, archivado desde el original el 11-08-2011 , consultado el 13-08-2011
• Unser, Michael (abril de 2000). "Muestreo: 50 años después de Shannon" (PDF) . Proc. IEEE . 88 (4): 569–587. doi :10.1109/5.843002. S2CID  11657280. Archivado (PDF) desde el original el 3 de noviembre de 2022.

Enlaces externos

• Aprendizaje mediante simulaciones Simulación interactiva de los efectos de un muestreo inadecuado
• Presentación interactiva del muestreo y la reconstrucción en una demostración web Instituto de Telecomunicaciones, Universidad de Stuttgart
• Submuestreo y su aplicación
• Teoría del muestreo para audio digital
• Revista dedicada a la teoría del muestreo
• Huang, J.; Padmanabhan, K.; Collins, OM (junio de 2011). "El teorema de muestreo con pulsos de ancho variable de amplitud constante". IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers . 58 (6): 1178–90. doi :10.1109/TCSI.2010.2094350. S2CID  13590085.
• Lüke, Hans Dieter (abril de 1999). "Los orígenes del teorema de muestreo" (PDF) . Revista de comunicaciones del IEEE . 37 (4): 106–108. CiteSeerX  10.1.1.163.2887 . doi :10.1109/35.755459.

Sufficiency theorem for reconstructing signals from samples